1、3.3.2 均匀随机数的产生2.2.古典概型与几何概型的区别与联系：古典概型与几何概型的区别与联系：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个不同：古典概型要求基本事件有有限个;几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个.3.3.几何概型的概率公式：几何概型的概率公式：.构成事件 区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积A A（）P P(A A)=（）如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度度(面积或体积面积或体积)成比例成比例,则称这样的概
2、率模型为几则称这样的概率模型为几何概率模型何概率模型,简称为几何概型简称为几何概型.1.1.几何概型的定义及其特点几何概型的定义及其特点?用几何概型解简单试验问题的方法：用几何概型解简单试验问题的方法：1.1.选择适当的观察角度，把问题转化为几何概型求解；选择适当的观察角度，把问题转化为几何概型求解；2.2.把基本事件转化为与之对应的区域把基本事件转化为与之对应的区域D D；3.3.把随机事件把随机事件A A转化为与之对应的区域转化为与之对应的区域d d；4.4.利用几何概型概率公式计算利用几何概型概率公式计算.注意：要注意基本事件是等可能的注意：要注意基本事件是等可能的.我们可以利用计算器或
3、计算机产生整数值随机数，我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作于几何概型，我们也可以进行上述工作.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他打开收音机的时刻电台报时，他打开收音机的时刻x x是随机的，可以是是随机的，可以是0 06060之间的任何一刻，并且是等可能的之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称我们称x x服从服从0,600,60上的均匀分布，上的均匀分布，x x为为0,600,60上的均匀随机
4、数上的均匀随机数.在前面我们已经会用计算器或计算机产生整数值的随在前面我们已经会用计算器或计算机产生整数值的随机数，那么能否利用计算器或计算机产生在区间机数，那么能否利用计算器或计算机产生在区间0,10,1上上的均匀随机数呢？的均匀随机数呢？如何利用计算机产生如何利用计算机产生0 01 1之间的均匀随机数？之间的均匀随机数？用用ExcelExcel演示演示.（1 1）选定）选定A A1 1格，键入格，键入“RANDRAND（）（）”，按，按EnterEnter键，则在此键，则在此格中的数是随机产生的格中的数是随机产生的00，11上的均匀随机数；上的均匀随机数；（2 2）选定）选定A A1 1格
5、，点击复制，然后选定要产生随机数的格，格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如比如A A2 2A A100100，点击粘贴，则在，点击粘贴，则在A A1 1A A100100的数都是的数都是00，11上的上的均匀随机数，这样我们很快就得到了均匀随机数，这样我们很快就得到了100100个个0 01 1之间的均匀之间的均匀随机数，相当于做了随机数，相当于做了100100次随机试验次随机试验.如果试验的结果是区间如果试验的结果是区间aa，bb上等可能出现的任何一个上等可能出现的任何一个值，则需要产生值，则需要产生aa，bb上的均匀随机数，对此，你有什上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？么办法
6、解决？首先利用计算器或计算机产生首先利用计算器或计算机产生00，11上的均匀随机数上的均匀随机数X=RAND,X=RAND,然后利用伸缩和平移变换：然后利用伸缩和平移变换：Y=XY=X*(b(b a)a)a a计计算算Y Y的值，则的值，则Y Y为为aa，bb上的均匀随机数上的均匀随机数.变换变换随机模拟方法随机模拟方法例例1 1 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:306:307 7：3030之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上在早上7 7：00008 8：00 00 之间，问你父亲在离开
7、家前能得到之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件报纸（称为事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？法一（几何法）法一（几何法）解：解：设送报人到达的时间为设送报人到达的时间为x x，父亲离开家的时间为，父亲离开家的时间为y.(x,y)y.(x,y)可以看成平面中的点可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成的区域面积为试验的全部结果所构成的区域面积为S S=1=11=1.1=1.事件事件A A构成的区域为构成的区域为A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8即图中的阴影部分，面积为即图中的阴影部分，面积为11171.2228AS 7().8A
8、SP AS 法二（随机模拟法）法二（随机模拟法）我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，标上时我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报纸的次数，则纸的次数，则().父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数P A 设设X X、Y Y为为00，11上的均匀随机数，上的均匀随机数，6.56.5X X表示送报表示送报人到达你家的时间，人到达你家的时间，7 7Y Y表示父亲离开家的时间，若事表示父亲离开家的时间，若事件件A A发生，则发生，则X X、Y Y应满足什么关系？应满足什么关系？7 7Y 6.5Y
9、6.5X X，即，即YXYX0.5.0.5.如何利用计算机做如何利用计算机做100100次模拟试验，计算事件次模拟试验，计算事件A A发生的频率，发生的频率，从而估计事件从而估计事件A A发生的概率？发生的概率？（1 1）在）在A A1 1A A100100，B B1 1B B100100产生两组产生两组00，11上的均匀随机数；上的均匀随机数；（2 2）选定）选定D D1 1格，键入格，键入“=A=A1 1-B-B1 1”，按，按EnterEnter键，再选定键，再选定D D1 1格，格，拖动至拖动至D D100100，则在，则在D D1 1D D100100的数为的数为X-YX-Y的值；的
10、值；（3 3）选定）选定E E1 1格，键入格，键入“=FREQUENCY=FREQUENCY（D D1 1：D D100100，0.50.5）”，统，统计计D D列中小于列中小于0.50.5的数的频数的数的频数.方法三：计算机模拟方法三：计算机模拟例例2 2 在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值估计圆周率的值圆的面积圆的面积正方形的面积正方形的面积解：解：豆子落在圆内的概率豆子落在圆内的概率=落在圆中的豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正方形中的豆子数圆的面积圆的面积正方形的面积正方形的面积21=.2 24 落在圆中的
11、豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正方形中的豆子数 4.假设正方形的边长为假设正方形的边长为2,2,则则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以.用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND;=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=2a=2*a a1 1-1,b=2-1,b=2*b b1 1-1;-1;（3 3）数出落在圆内）数出落在圆内x x2
12、2+y+y2 211的点的点(a,b)(a,b)的个数的个数N N1 1，计算计算 （N N代表落在正方形中的点代表落在正方形中的点(a,b)(a,b)的个数）的个数）.14=NN 用随机模拟的方法计算不规则图形的面积用随机模拟的方法计算不规则图形的面积例例3 3 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（利用随机模拟方法计算图中阴影部分（y=1=1和和 所围成的部分）的面积所围成的部分）的面积.解：解：以直线以直线x=1x=1，x=-1x=-1，y=0y=0，y=1y=1为边界作矩形，用随机模为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物线区域内的拟方法计算落在抛物线区域内的均匀随机点的频率，则所求区均匀
13、随机点的频率，则所求区域的面积域的面积=频率频率2.2.x xy y0 01 1-1-11 12yx 用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND;=RAND,b=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=2a=2*a a1 1-1;-1;（3 3）数出落在阴影内）数出落在阴影内（即满足（即满足0b10b0b-a20）的样本的样本点数点数N N1 1,用几何概型公式计算阴影部分的面积用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做例如做1
14、 0001 000次试验，即次试验，即N=1 000,N=1 000,模拟得到模拟得到N N1 1=698,=698,所以所以121.396.NSN 根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘频率图形的面积乘频率.1.1.下列说法与均匀随机数特点不符的是下列说法与均匀随机数特点不符的是()()A.A.我们常用的是我们常用的是0,10,1内的均匀随机数内的均匀随
15、机数B.B.它是一个随机数它是一个随机数C.C.出现每一个实数是等可能的出现每一个实数是等可能的D.D.是随机数的平均数是随机数的平均数D2.2.将将100100粒大小一样的豆子随机撒入图中长粒大小一样的豆子随机撒入图中长3 cm3 cm，宽，宽2 cm2 cm的的长方形内，恰有长方形内，恰有3030粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为面积约为_._.1.8 cm1.8 cm2 23.3.甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在0 0点到点到5 5点之间在某地会面，先到者等点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达
16、是设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率.解：解：以以 x,y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是乙二人到达的时刻，于是0 x5,0y5.0 x5,0y5.试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为25.25.二人会面的条件是二人会面的条件是|x-y|1,|x-y|1,0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x+1记记“二二人会面人会面”为事件为事件A.A.2()1252492=.2525P A 阴影（红色）部分的面积正方形的面积y=
17、x-1y=x-11.1.在区间在区间aa，bb上的均匀随机数与整数值随机数的共同点上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值知识的应用价值.3.3.用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构用随机模拟试验求不
18、规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决比来解决.4.4.利用计算机和线性变换利用计算机和线性变换Y=XY=X*(b-a)(b-a)a a，可以产生任意区，可以产生任意区间间aa，bb上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实验才上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实验才能掌握能掌握.知识是桥，思想是河知识是桥，思想是河.桥是重要的，没有了桥是重要的，没有了桥，有些地方就连不起来桥，有些地方就连不起来.桥通常连接两个地方，桥通常连接两个地方，但河却流经许多的桥但河却流经许多的桥.站在桥上，可以看到一处站在桥上，可以看到一处风景风景.但如果在河里游走，不仅可以看到很多的但如果在河里游走，不仅可以看到很多的桥，还能领略一处处美景桥，还能领略一处处美景.
