1、2.1.1合情推理（合情推理（1）归纳推理归纳推理 传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的根针上的6464个圆环个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡过渡”的作用的作用.1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个圆环；个圆环；2.2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这6464个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移
2、到另一根针上，那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了.请你试着推测：把请你试着推测：把 个圆环从个圆环从1 1号针移到号针移到3 3号针号针,最少需要移最少需要移动多少次动多少次?1 12 23 3n例例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片;2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针
3、,最少需要移动多少次最少需要移动多少次?解解;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2=3 3123当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2=3 3解解;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n n=3=3时时,a,a3 3=7 7当当n=4n=4时时,a,a4 4=1515猜想猜想 a an n=2 2n n-1-1123123(1)1f n=1时,123(2)3f n=2时,n=1时,(1)1f
4、 123(3)7f n=3时,(2)3f n=2时,n=1时,(1)1f 123(3)f 15 n=4时,n=3时,(2)3f n=2时,n=1时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff 1(3)f(4)f(4)f 15n=4时,n=3时,(2)3f n=2时,n=1时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff 1,1()2(1)1,2nf nf nn (3)1(3)ff 归纳:()21nf n 例例2.观察图观察图2.1-1，可以发现，可以发现2211134221359321357164213579255 由上述具体事实能得出怎样的结论？由上述具体事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述如
5、下：解：将上述事实分别叙述如下：1等于等于1的平方的平方前前2个正奇数的和等于个正奇数的和等于2的平方的平方前前3个正奇数的和等于个正奇数的和等于3的平方的平方猜想：前猜想：前n个连续正奇数的和等于个连续正奇数的和等于n的平方的平方213(21)nn凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四
6、棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱558四棱锥四棱锥凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E
7、E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱558四棱锥四棱锥9169尖顶塔尖顶塔问题问题4:由归纳推理得到的结论是否一定可靠由归纳推理得到的结论是否一定可靠?反例反例:费马猜想费马猜想(P77).3.3.在十进制中在十进制中012320044 100 100 102 10 那么在那么在5 5进制中数码进制中数码20042004折合成十进制为折合成十进制为 （）（）A.29 B.254 A.29 B.254 C.602 D.2004C.602 D.2004B2.2.观察下列数观察下列数:
8、1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,中中x,y,zx,y,z的值的值 依次是依次是 ()()(A)42,41,123;(B)13,39,123;(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.(C)24,23,123;(D)28,27,123.A练习：练习：1.1.一同学在电脑中打出如下若干个圈一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈得到一系列的圈,那么在那么在前前120120个圈中的的个个圈中的的个(
9、)()(A)12 (B)13 (C)14 (D)15(A)12 (B)13 (C)14 (D)15C)()(,sin)(010 xfxfxxf21()(),fxfx1()()nnfxfx2007()fx sin xsin xcosxcosx4.4.设设，nNnN，则，则 A.A.B.B.C.C.D.D.D2()(1),(1)1()2f xf xff x*xN（）(f x）4()22xf x 2()1fxx1()1fxx2()21f xx5.5.已知已知，猜想，猜想的表达式为的表达式为 ()()B.B.A.A.C.C.D.D.B7.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等
10、比数列,则a+b+c的值是()1 12 20.50.51 1a ab bc c(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4A4522xxy258.8.函数函数的最小值为的最小值为 ()()C.2 D.3 C.2 D.3B.B.A.1 A.1 B9.(9.(0505年广东年广东)设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3),3),其中有且仅有两条直线互其中有且仅有两条直线互相平行相平行,任意三条直线不过同一点任意三条直线不过同一点.若用若用f(n)表示这表示这n条直线交点的条直线交点的个数个数.21(2)2nn当当n 3 时时,f(n)=.(.(用用n表示表示)v1
11、.平面内有平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们交点的个数过同一点，试归纳它们交点的个数 12n nf n*-.-.111111练习：f(n)=1+(nN)计算得练习：f(n)=1+(nN)计算得23n23n3535f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3,f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3,2222推测当n2时,有推测当n2时,有7(32)2,fLL练习练习1.40.)4()3()2()1(41)(2验证猜想用同时作出归纳猜想，并的值，计算，设nffffNnnnnf6141416)4(534139)3(
12、474124)2(434111)1(ffff解的值都是质数，所以由此归纳猜想：当都是质数，因为41)(615347432nnnfNn4141)140(4141404141)140(40414040)40(2f故上面的归纳猜想不正确.n猜想：猜想：f(n)=1+nx(n-1)=n2-n+1析析:f(1)=1,f(2)=1+2x1,f(3)=1+3x2,f(4)=1+4x3,f(5)=1+5x4(1)(2)(3)(4)(5)（2）、如图第）、如图第n个图中花的盆数个图中花的盆数12343n2-3n+1an=an-1+6（n-1）（n2,n N*)观察到事实观察到事实:练习练习 3.公式。试猜想这个
13、数列的通项，中，在数列)2)(1(211111naaaaannnn ）的值。的值，猜想，试通过计算记）（的通项公式已知数列项公式。并归纳出这个数列的通项，写出它的前，中，已知在数列nfffffaaanfnaanaaaannnnnn()4()3()2()1()1()1)(1()(11.24)12(0.121211例例1.三角形的内角和是三角形的内角和是1800,凸四边形的内角和是凸四边形的内角和是3600,凸五边形的凸五边形的 内角和是内角和是5400,由此我们猜想由此我们猜想:凸凸n边形的内角和是边形的内角和是22 1 22 2 22 3233 1 33 2 33 3例，由此我们猜想：bb m
14、aa m，（a，b，m均 为 正 数）(n-2)1800.v1根据给出的数塔猜测123 45697等于()v19211v1293111v123941 111v1 2349511 111v12 34596111 111vA1 111 110B1 111 111vC1 111 112 D1 111 113Dv2.观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()vA BvC DAv3观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_v答案：1323334353632124.有两种花色的正六边形地板砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有
15、菱形纹的正六边形的个数是v ()vA26 B31vC32 D36B根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式公根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式公式已知数列式已知数列an满足满足a11，an12an1(n1,2,3)(1)求求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式归纳猜想通项公式an.例例1可归纳猜想出可归纳猜想出an2n1(nN*)【解解】(1)当当n1时，知时，知a11，由由an12an1得得a23，a531.(2)由由a11a23221，a37231，a415241，a531251，a37，a415，211，【思维总结思维总结】猜想通项公式时，首先从整体形式上分析：猜想通项公式时
16、，首先从整体形式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用两相邻项之间相减、相整数型、分数型、根式型等，再利用两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等运算寻找规律除、加减某常数、平方等运算寻找规律2n110n11.观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：11,22112,2631113,2612411114,2612205(1)(2)11，1-4（1+2），），1-4+91+2+3，1-4+9-16（1+2+3+4），），数学巩固：凸四边形有凸四边形有2条对角线，条对角线，凸五边形有凸五边形有5条对角线，条对角线，比凸四边形多比凸四边形多3条；条；凸六边形有
17、凸六边形有9条对角线，条对角线，比凸五边形多比凸五边形多4条；条；猜想：凸猜想：凸n边形的对角线条数比凸边形的对角线条数比凸n-1边形多边形多n-2条对角线。由此，凸条对角线。由此，凸n边形边形对角线条数为对角线条数为2+3+4+5+(n-2).凸凸n边形有多少条对角线？边形有多少条对角线？2.凸凸n边形有多少条对角线？边形有多少条对角线？3.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；三条直线相交，最多有几个交点？三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？六条直线相交，最多有几个交点？六条直线相交，最多有几个
18、交点？n条直线相交，最多有几个交点？条直线相交，最多有几个交点？32?2132121.14321naaaaa猜想拓展例122242n2例例1 拓展拓展2则可归纳出：观察下列式子：474131211,3531211,23211222222112)1(131211222 nnn练习练习2.2.根据给出的数塔猜根据给出的数塔猜测测1234561234569+7=_9+7=_19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=111111111111例例.平面上平面上2条直线最多有条直线最多有1个交点，个交点，3条直线最多有条直线最多有3个交点，个交点，4条直线最多有条直线最多有6个
19、交点，个交点，5条直线最多有条直线最多有10个交点，个交点，则则n条直线最多交点数比条直线最多交点数比n-1条直线最多交点数多条直线最多交点数多_个个.（nN,n2）分析：1)2(,2fn3)3(,3fn2)2(f6)4(,4fn3)3(f 1)1()(nnfnf2、（、（05湖南）湖南）xAxfNnxfxfxfxfxfxfxfxfxxfnnsin.)(),(),()()()(),()(),()(,sin)(200512312010则则设设xBsin.xC cos.xDcos.C)(cos)()(,sin)()(,cos)()(,sin)()(,cos)(sin)(xfxxfxfxxfxfxxfxfxxfxfxxxfxf14534231201 ）（解解：xxfxfxfxfncos)()()(,)(11501420054则则为为周周期期的的函函数数是是以以故故可可猜猜测测
