1、一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.1 含参量正常积分数学分析 第十九章含参量积分*点击以上标题可直接前往对应内容四、含参量正常积分的可积性五、例题(,)f x y,Ra bc d设设是定义在矩形区域是定义在矩形区域上的上的 定义在定义在,c d上以上以 y 为自变量的一元函数为自变量的一元函数.(,)f x y,c d在在上可积上可积,()(,)d,(1)dcxf x yyxa b 是定义在是定义在 ,a b上的函数上的
2、函数.二元函数二元函数.1 含参量正常积分定义连续性可微性含参量正常积分的定义例题可积性上的定值时上的定值时,函数函数 是是(,)f x y,a b当当 x取取倘若这时倘若这时 后退 前进 目录 退出则其积分值则其积分值(,)|()(),Gx yc xyd xaxb其中其中c(x),d(x)191 图图OyxbaG()yc x()yd x 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上的二元函数上的二元函数,一般地一般地,设设(,)f x y为定义在区域为定义在区域(),()c xd x 上可积上可积,()()()(,)d,(2)d xc xF xf x yy xa b是定义在是定义在 ,a
3、b上的函数上的函数.,a b若对于若对于上每一固定的上每一固定的 x 值值,(,)f x y作为作为 y 的函的函数在闭区间数在闭区间 则其积分值则其积分值 ,a b上的连上的连续函数续函数,为定义在为定义在()I x()F x用积分形式用积分形式(1)和和(2)所定义的这函数所定义的这函数 与与通称为定义在通称为定义在 ,a b上的含参量上的含参量 x 的的(正常正常)积分积分,或简称为含参量积分或简称为含参量积分.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性含参量正常积分的连续性1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性 定理19.1（）()x 的的连连续续性性(,)f x y若二元函数
4、若二元函数在矩形区域在矩形区域,Ra bc d上连续上连续,()(,)ddcxf x yy 在在 a,b上连续上连续.则函数则函数由于由于(,)f x y在有界闭区域在有界闭区域 R上连续上连续,1212|,|,xxyy 就有就有 1122|(,)(,)|.(4)f xyf xy()()(,)(,)d,(3)dcxxxf xx yf x yy于是于是1122(,)(,)xyxy与与，证证 设设 对充分小的对充分小的,xa b,xxxa b有有 (若若x 为区间的端点为区间的端点,则仅考虑则仅考虑 00 xx 或或),0,0,即对任意即对任意总存在总存在对对R 内任意两点内任意两点 1 含参量正
5、常积分定义连续性可微性例题可积性从而一致连续从而一致连续.只要只要|()()|xxx d().dcxdc即即 I(x)在在,a b 上连续上连续.同理可证同理可证:若若(,)f x y在矩形区域在矩形区域 R上连续上连续,量量 y的积分的积分()(,)d(5)bayf x yx 在在c,d 上连续上连续.所以由所以由(3),(4)可得可得,|,x 当当时时1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则含参则含参|(,)(,)|ddcf xx yf x yy 若若(,)f x y在矩形区域在矩形区域 R 上连续上连续,0,xa b都有都有 00lim(,)dlim(,)d.ddccxxxxf x
6、 yyf x yy这个结论表明这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数定义在矩形区域上的连续函数,其极其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,a bc dc d上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续 其其中中 为任意区间为任意区间.注注2 由于连续性是局部性质由于连续性是局部性质,定理定理19.1中条件中条件f 在在注注1 对于定理对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式的结论也可以写成如下的形式:1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则对任何则对任何 定理19.2（的连续性）()F x(,)f x y若二元函数若二元函数在区域在区域(,)|()(
7、),Gx yc xyd xaxb()()()(,)d(6)d xc xF xf x yy在在,a b上连续上连续.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性证证 对积分对积分(6)用换元积分法用换元积分法,()()().yc xt d xc x则函数则函数 其中其中c(x),d(x)为为 ,a b上的连续函数上的连续函数,上连续上连续,令令d()()d.yd xc xt所以从所以从(6)式可得式可得()()()(,)dd xc xF xf x yy10(,()()()()()d.f x c xt d xc xd xc xt由于被积函数由于被积函数(,()()()()()f x c xt d
8、xc xd xc x在矩形区域在矩形区域,0,1a b 上连续上连续,(6)所确定的函数所确定的函数 F(x)在在a,b连续连续.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性当当 y 在在c(x)与与d(x)之间取值时之间取值时,t 在在 0,1 上取值上取值,且且 由定理由定理19.1得积分得积分 含参量正常积分的可微性 定理19.3（）()x 的的可可微微性性(,)f x y若函数若函数 与其偏导数与其偏导数(,)xfx y都在矩形区域都在矩形区域 ,Ra bc d 上连续上连续,则函数则函数 ()(,)ddcxf x yy 在在,a b上可微上可微,d(,)d(,)d.dddxccf x
9、 yyfx yyx且且1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性,a b,xxa b 证证 对于对于 内任意一点内任意一点x,设设(若若 x为区为区间的端点间的端点,就讨论单侧导数就讨论单侧导数),()()(,)(,)d.dcxxxf xx yf x yyxx由拉格朗日中值定理及由拉格朗日中值定理及(,)xfx y在有界闭域在有界闭域 R上连续上连续(从而一致连续从而一致连续),就有就有(,)(,)(,)xf xx yf x yfx yx 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则则x 时时，只要只要 0,0,对对(,)(,),xxfxx yfx y(0,1).其其中中(,)ddxcfx
10、 yyx (,)(,)(,)ddxcf xx yf x yfx yyx ().dc ,xa b这就证明了对一切这就证明了对一切 有有1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因此因此d()(,)d.ddxcxfx yyx 定理19.4（的可微性）()F x,a bc(x),d(x)为定义在为定义在上其值含于上其值含于 p,q内的内的可微函数可微函数,()()()(,)dd xc xF xf x yy在在,a b上可微上可微,()()()(,)d(,()()d xxc xFxfx yyf x d x d x(,()().(7)f x c x c x1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性,
11、Ra bp q(,),(,)xf x yfx y在在 设设上连续上连续,则函数则函数且且证证 把把 F(x)看作复合函数看作复合函数:()(,)(,)d,dcF xH x c df x yy(),().cc xdd x由复合函数求导法则及变动上限积分的性质由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,ddd()dddHHcHdF xxxcxdx()()(,)d(,()()d xxc xfx yyf x d x d x1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性有有(,()().f x c x c x注注 由于可微性也是局部性质由于可微性也是局部性质,定理定理19.3 和定理和定理19.4,xffa
12、bc dc d中中条条件件 与与在在上上连连续续可可改改为为在在其中其中 为任意区间为任意区间.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上连续，上连续，由定理由定理19.1与定理与定理19.2推得推得:定理19.5（）()x 的的可可积积性性含参量正常积分的可积性(,)f x y若若在矩形区域在矩形区域 ,Ra bc d上连续上连续,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性,a b则则 与与 分别在分别在和和,c d上可积上可积.()x()x()(,)ddcxf x yy()(,)dbayf x yx 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性为书写简便起见为书写简便起见,今后将上述
13、两个积分写作今后将上述两个积分写作d(,)dbdacxf x yyd(,)d.dbcayf x yx 与与 前者表示前者表示(,)f x y先对先对 y 后对后对 x 求积分求积分,求积求积顺序相反顺序相反.它们统称为累次积分它们统称为累次积分.后者则表示后者则表示这就是说这就是说:在在(,)f x y连续性假设下连续性假设下,同时存在两个同时存在两个求积顺序不同的积分求积顺序不同的积分:(,)ddbdacf x yyx(,)dd.dbcaf x yxy 与与 定理19.6则则 d(,)dd(,)d.(8)bddbaccaxf x yyyf x yx1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性
14、在在(,)f x y连续性假设下连续性假设下,累次积分与求积顺序无关累次积分与求积顺序无关.(,)f x y若若在矩形区域在矩形区域 ,Ra bc d上连续上连续,1()d(,)d,udacuxf x yy 2()d(,)d,ducauyf x yx 证证 记记 1d()()d().duauI xxuu,.ua b其中其中2()(,)d.dcuH u yy 2(),(,)(,)d,uauH u yf x yx 令令对于对于 则有则有1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性12()(),I uIu分分别别求求与与的的导导数数(,)H u y(,)(,)uHu yf u y因为因为 与与都在都
15、在R上连续上连续,12()()().I uI ukk为为常常数数2d()(,)dddcIuH u yyu(,)d().dcf u yyI u由定理由定理19.3,12()(),I uIu故得故得 ,ua b因此对一切因此对一切 有有 12()(),.I uIuua b即得即得当当 时时,12()()0,0,I aI ak 于于是是ua取取 就得到所要证明的就得到所要证明的(8)式式.ub1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性=(,)dducHu yy例题122d().1aaxI axa解解 记记,1aa以以及及由于由于 例例1 求求 1220dlim.1aaaxxa2211xa都是都是
16、a 和和 x 的连续函数的连续函数,0lim()(0)aI aII(a)在在 处连续处连续,0 a所以所以1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性由定理由定理19.2 已知已知120d.14xx例例2 讨论函数讨论函数21ln(1)()dxyI xyy 的连续性的连续性.()I x(1 2,).解解 易见易见的定义域为的定义域为令令ln(1)1(,),(,)(,)1,2.2xyf x yx yy 0011(,),22xa baxb使得使得 (,)f x y,1,2a b 在在上连续上连续,0 x而在而在上连续上连续.上连续上连续.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性(),I xa
17、b在在上连续上连续,因此因此0 x()I x(1 2,)的任意性可得的任意性可得在在由由从从 例例3 计算积分计算积分120ln(1)d.1xIxx解解 令令120ln(1)()d,0,1.1xIxx 上满足定理上满足定理19.3的条件的条件,120()d.(1)(1)xIxxx (0)0,(1),III0,1 0,1R显然显然 且函数且函数 在在()I 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性于是于是2(1)(1)xxx 1112220001()ddd1111xIxxxxxx 1112200011arctanln(1)ln(1)12xxx 所以所以211ln2ln(1).142 1 含参
18、量正常积分定义连续性可微性例题可积性因为因为221,111xxx1120011()ln2ln(1)d142I 112001ln(1)ln2arctan(1)82I ln2ln2(1)88I因此因此 ln2(1).4I 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性10()d(1)(0)(1),IIII另一方面另一方面 (1)ln2.8II 所以所以 分小时分小时,函函数数101()()()d(1)!xnxxtf ttn (9)的各阶导数存在，且的各阶导数存在，且 ()()().nxf x 例例4 设设 在在 的某个邻域内连续的某个邻域内连续,验证当验证当|x|充充0 x)(xf1 含参量正常积分
19、定义连续性可微性例题可积性解解 由于由于(9)中被积函数中被积函数 1(,)()()nF x txtf t以及以及其偏导数其偏导数 (,)xFx t在原点的某个方邻域内连续在原点的某个方邻域内连续,于是由定理于是由定理 19.4 可得可得 201()(1)()()d(1)!xnxnxtf ttn 11+()()(1)!nxxf xn201(1)()()d.(2)!xnnxtf ttn1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性301()(1)()()d,(3)!xnxnxtf ttn 同理同理如此继续下去，求得如此继续下去，求得 k 阶导数为阶导数为()101()(1)()()d.(1)!xk
20、n kxnxtf ttnk (1)0()()d,xnxf tt 1kn 特别当特别当 时有时有 ()()().nxf x 于是于是 ()x 附带说明附带说明:当当 x=0 时时,及其各导数为及其各导数为(1)(0)(0)(0)0.n例例5 求求10d(0).lnbaxxIxbax10dd.byaIxxyd,lnbabyaxxxyx所所以以解解 因为因为 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性条件条件,10ddbyaIyxx又由于函数又由于函数 0,1 ,yxRa b在在上满足定理上满足定理19.6 的的 所以交换积分顺序得到所以交换积分顺序得到1d1+bayy1ln.1ba2sin()(
21、)d,sinyxyI xyyy 10()d.I xx例例6 设设 求求 解解 显然显然,本题不宜先求出本题不宜先求出 ()I x,再算积分值再算积分值.可试用交换积分次序的方法求出积分值可试用交换积分次序的方法求出积分值.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上连续上连续,sin()(,),sinyxyf x yyy(,)f x y0,1 ,2 设设 则则 在在由定理由定理19.6,10()dI xx120sin()ddsinyxyxyyy 10()dI xx120sin()ddsinyxyxyyy 210sin()ddsinyxyyxyy 120cos()dsinxxxyyyy 21cosdsinyyyy 2lnsinyy ln2.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性1.参照定理参照定理19.1的证明的证明,定理定理19.1中条件是否可减弱为中条件是否可减弱为:(1)120,0,xxa byc d 则则12(,)(,).f xyf xy (2),(,),xa bf x yc d 在在上上可可积积.验证你的结论验证你的结论.(,)f x y,),ac d 2.若若 在在上一致连续上一致连续,复习思考题()(,)d,dcxf x yx ()x ,)a 能否推得能否推得 在在上一致连续上一致连续?
