1、第四章 电磁波的传播Electromagnetic Wave Propagation Maxwells equations的另一个重要成果，就是它揭示了在非稳恒情况下，电磁场变化具有波动性质。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。电磁波已在广播通讯、光学和其他科学技术中得到广泛应用。本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论。也就是说，只研讨电磁场在电介质、导体以及在边界上的传播特性。本章主要内容平面电磁波平面电磁波单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射有导体存在时电磁波的传播有导体存在时电磁波的传播电磁波在波导中的传播电磁波在波导中的传播4.
2、1 4.1 平面电磁波平面电磁波Plane Electromagnetic Wave 1、电磁场波动方程电磁场波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是Maxwells equations，即(4)(3)0(2)(1)tDjHBtBED在自由空间中（即 ），电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律将由无源情况下的Maxwells equations导出。即此时有：其中：0 ,0j(8)(7)0(6)(5)0tDHBtBEDHBED ,a)真空情形：真空情形：即 对（6）式两边取旋度，并将（8）式代入，即：HBED00 ,EtEttDttHtEEBtE220000002 )()(0即同理，对（8）式两
3、边取旋度，并将（6）式代入，即可得到：令022002tEE022002tBB001C则得到：这就是众所周知的波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、(10)01(9)0122222222tBCBtECE光波、X射线和 射线等）都以速度C传播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。b)介质情形介质情形 当以一定角频率 作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受场作用，亦以同样频率作正弦振荡，可知)()()()()()(HBED对于不同频
4、率的电磁波，介质的介电常数是不同的，即和随频率而变化的现象，称为介质的色散介质的色散。由于色散，对于一般非正弦变化的电场 ，关系式 不再成立，这是因为)(,)()(tE)()(tEtD000)()(21)()(21)(21)(tEdeEdeEdeDtDtititi因此在介质内不能导出 、的一般波动方程，千万不要把（9）、（10）两式中的 ，即由真空情况就转在介质情形，这是不正确的。2、时谐电磁波（单色电磁波）、时谐电磁波（单色电磁波）在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡。这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电磁波）
5、。一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用Fourier频谱分析方法分解为不同频率的正弦波的叠加。E00B 下面，我们只讨论一定频率的电磁波。设角频率为，电磁场对时间的依赖总是cost，其复数形式为 a)时谐情形下的时谐情形下的Maxwells equations 由于在一定频率条件下，有把(11)式代入到一般情况下的Maxwells equations中去，则有：(11)()()()(titiexBtxBexEtxEHBED ,由得：同理，由得：由得：0 E0HHB0 HHiexHiexHtHtBtEtiti)()(HiE0EEEED0同理得到：故有：b)亥姆霍兹（亥姆霍兹（Helmho
6、ltz)方程方程 由时谐电磁波的Maxwells equations可看出：EiH(14)0(13)0(12)(11)HEEiHHiE即 (16)、(17)即为Helmholtz方程。应该看到：Helmholtz方程是一定频率下的电磁波的基本方程，(17)0 :(16)0 0 222222HkHEkEkEE同理可得则令EiEEHiE )()(20其解 代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模波模。概括起来，在一定频率下，Maxwells equations可以化为以下方程：(18)0022EiBEEkE)(,)(xHxE或者3、平面电磁波、平面电磁波 主要求解亥姆霍兹方程
7、。我们知道，时谐情形下的Maxwells equations为所谓的Helmholtz方程，以电场为例：(19)0022BiEBBkB以任意一个标量f 表示 中的任一分量，则有在直角坐标系中，其解的形式为 另外，我们还知道，电荷和电流 是产生电磁场的源，如果 只在空间某一有限区域内，在此区域外，因此在距离 存在的区域线度l，即0)()(22xEkxEBE和022fkf)cos(xkAf),(j即j，0 ,0jjx，这样，在 xl 的条件下，不为零的区域对A点来说可视为一个“物理点”。即在A点附近，场的大小只与距离有关，与方向无关，BC段是很大球面上的一小部分，可视为平面，该平面上场强的大小相等
8、，所以离电荷，电流 很远处的场可视为平面场。ACBxl0j，j和j 因此，波动方程的解形式其中A代表振幅，代表位相，为等相面的法线矢量，且等相面是平面，其满足这种波称为平面波平面波。一般情况下，考虑时间因子在内，则有)cos(xkAf)(xkk常数xk)(0)()cos()(txkitxkieAAetxkAtxf这里 故由此可得到电场和磁场的Helmholtz方程的解：讨论：讨论：单色平面电磁波的特性：a)沿 方向的两个相距为 的等相面，其位相差为2，所以波长为iAeA 0)(0)(0)()(txkitxkieBtxBeEtxEkk2即 由于 的方向为等相面的法线方向，其大小与波长相关，所以
9、称为波矢量波矢量，其大小称为2距离内的波数。b)在单色情形下，麦克斯韦方程组中只有两个方程是独立的，即由此可看到 k22kkk由此出发，可得00HEEiHHiE00)(00)(EHHE c)由单色平面电磁波的解 出发，在微分过程中，注意到：这样即可得到：这表明，电磁场振动方向与传播方向互相垂直，由此可见电磁波是横波电磁波是横波。)(0),(txkieEtxE)(0),(txkieBtxBik it ,出发即得和由00BD0 ,000BkEk d)这表明电场 和磁场 之间不独立,且电磁场 ，振动方向与传播方向三者互相垂直，并满足右手螺旋法则。:,可得由方程tDHtBEEBEB0000EBkBEk
10、EkB 另外，还可看到：此值 0000 ,EBkBEk1 ,000000BEEBBkEk故这表明电场 和磁场 位相相同，振幅之比为。EB单色平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如下图所示：4、电磁波的能量和能流、电磁波的能量和能流 a)电磁波的能量密度 根据电磁场的能量密度 EBkx)(21BHDEw式子，对于单色平面电磁波，满足则有：又因为电磁波的振幅之比关系 ，即得HBED ,)1(2122BEw100BE221BE从而得到说明了电场能量和磁场能量相等。b)电磁波的能流密度 因为 ，则：221BEwBEk11BkEnEnE 故有：211()()()SEHEBEnEEnEE E nE
11、 n EE n 0也可以看到 的关系：注意：由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入，这是因为 这就要求计算 的瞬时值时，应把场强的实部代入，即为wS与21wSE nnwnwn tteetiticoscoswS和)(2cos121)(cos20220txkEtxkEw实际上，都是随时间迅速脉动的量，只需用到它们的时间平均值，即因为Sw和TTTTdttxkTdtTEdttxkETwdtTw00200020)(2cos1121)(2cos121110)(2cos11100dttxkTdtTTT故得同理可得：从而得到 20202121BEw00201112TTSSdtwnd
12、tTTE nSwn4.2 4.2 单色平面电磁波在介质单色平面电磁波在介质 界面上的反射和折射界面上的反射和折射 Reflection and Refraction of Monochromatic Plane Electromagnetic Wave at Interface of Medium 本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。关于反射和折射的规律包括两个方面：（1）运动学规律:入射角、反射角和折射角的关系；（2）动力学规律:入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。运动学规律是直接从光在两种介质的分界面上的反射和折射现象的
13、波动性质及其所满足的边界条件得出的，但不依赖于波的性质或边界条件。而动力学规律完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件。1 1、反射和折射定律（即相位关系）、反射和折射定律（即相位关系）Law of Reflection and Refraction(i.e.Phase Relation)任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的。对电磁波而言，是由 的边值关系确定的。因此，研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。BE和 一般情况下，电磁场的边值关系为：在介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电流，即0)()()
14、(0)(12121212BBnDDnHHnEEn0 ,0因此，介质的分界面上的Maxwells equations为：但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态（一定频率）电磁波时，介质界面上的边值关系只取下列两式：0)(0)(0)(0)(12121212BBnDDnHHnEEn也就是说，即切向连续性。下面，证明边值关系式不是完全独立的这个下面，证明边值关系式不是完全独立的这个问题。问题。a)由法拉第（Faraday)电磁感应定律出发：因为0)(0)(1212HHnEEnttttHHEE1212 ,LSSdtBl dE对于单色平面电磁波，上式可改写为：设
15、在介质、的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，如图所示：LSSdBil dEL2L1对于两个回路，有考虑到L1=L2=L，S1=S2=S，则22112211LSLSSdBil dESdBil dELSLSSdBil dESdBil dE2211即两式相减，得如果 。故上式左边为零，则得到右边 ，即得B2n=B1n。这就是说LSntLSntdSBidlEdSBidlE2211LSnnttdsBBidlEE)()(1212ttEEEEn1212 ,0)(即成立0)(12nnBB 与只有一个是独立的。b)同理，由 出发，对于单色平面电磁波，有对于两个完全相同的回路，有0)(0)(1
16、212EEnBBnLSDH dldStLSsdDil dH即两式相减，有1122LSLSHdliD dSHdliDdS 1122tnLStnLSHdliDdSHdliDdS 2121()()ttnnLSHHdliDDdS 如果 ，故上式左边为零。则得右边 ，即得D2n=D1n。这也就是说：与 只有一个是独立的。证毕。下面来讨论反射和折射定律。下面来讨论反射和折射定律。假若所考虑的交界面为一平面，即设 x-y 平面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在z=0 平面的上、下方的介质不同，如图所示ttHHHHn1212 ,0)(即成立0)(0)(1212HHnDDn0)(12nnDD 设入射波、
17、反射波和折射波的电场强度为 ，波矢量分别为 、。由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也介质2介质1zxKK K 22 11 EEE 和KKK 和 是平面波。这样就可以把入射波、反射波和折射波写为：同时由 可得磁场矢量为)(0)(0)(0 txkitxkitxkieEEeEEeEE 折射波反射波入射波tBE)(0)(0)(0)(0)(0)(01 1 1 txkitxkitxkitxkitxkitxkieEkeBBeEkeBBeEkeBB 折射波反射波入射波 在 z=0 的平面上有一些边界条件，该平面上的一切点必须永远满足这些边界条件。这个事实意味着：在 z=0 处，所有场的
18、空间和时间变化必须相同。因此，所有的相因子在 z=0 处必须相等，即在边界面上 E2t=E1t，所以 要使该式成立，只有 ()()000()00 i k xti k xtttzi k xttzE eE eE e 因为x、y、t 都是独立变量，必然有由此可见：00000000 zzzztztttxktxktxkEEE以及tykxktykxktykxkyxyxyx yyyxxxkkkkkk 讨论：讨论：a)，这说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。b)根据 ，假若 ，则必有 。这说明反射波和折射波与入射波在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢 与分界面的法线 所组成的平面）。c)根据由此
19、得到：，即反射角=入射角。（反射定（反射定律）律）yyykkk 0 yykkknsinsin ,|k|k|,11kkkkxx有0ykd)根据 ，有 则这就是折射定律，其中n21为介质2相对于介质1的折射率，一般介质 （除铁磁质外），故 为两介质的相对折射率。211211221122sinsinnnnkk 012xxkk sinsin ,|k|,sink k ,sin2211xkkkkkx2 2、菲涅耳公式（即振幅关系）、菲涅耳公式（即振幅关系）Fresnels Formula（i.e.Amplitude Relation）所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系
20、。由于对每一个波矢 有两个独立的偏振波，所以我们只需要分别讨论电场 入射面和电场 入射面两种情况就可以了。kEE a)入射面E zx2211kEHHEkk E H 这时电场只有y分量，并入射面（纸面）指向外面，以 表示。因为介质1中有入射波和反射波，介质2中只有折射波，因此根据边界条件（边值关系）：即考虑到XXXttttHHHHEEEEE0001200012H ,有由有由 coscoscos000HHH|,12211kkkEkBH故有 联立、两式得 coscos)(0220011EEE coscoscos2coscoscoscos221111002211221100EEEE对于光波，即有021
21、)sin(sincos2coscoscos2)sin()sin(cossinsincoscossinsincoscoscoscoscos1200121200 EEEE b)入射面E zx2211kEHHEkk E H 这时磁场只有y分量，并入射面（纸面）指向外面，以 表示。由边界条件，即在 z=0 的界面上有：即同理由 的关系,把上式中的磁场换为 000000HHHEEEXXX 000000coscoscosHHHEEEEkH1电场。从而得到：联合上述两式即得：0220011000)(coscos)(EEEEEE 211221|0|021122112|0|0coscoscos2coscosco
22、scosEEEE对于光波，则有 021)(tg)(tg)cos()sin()cos()sin(cossincossincossincossincossinsincoscossinsincoscoscoscoscos1212|0|0 EE综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅耳公式。因此，这也有力地证示了光是电磁波的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波长由4000 到8000 ）的电磁波。cossincossinsincos2cossinsincoscoscoscoscos212|0|0EEAA下面，就菲涅耳公式进行讨论：下面，就菲涅耳公式进行讨论：1）电磁波的偏振性 偏振系指电场矢量
23、偏振系指电场矢量 在垂直于传播方向在垂直于传播方向的平面内的振动状态。的平面内的振动状态。例如，时谐波按偏振状态可分为线偏振、圆偏振、椭圆偏振等。平面波为线偏振波，而圆偏振波和椭圆偏振波实际上是两个频率相同、振动方向互相垂直的平面波的叠加。线偏振波线偏振波的电场矢量可写为 式中 是与传播方向相垂直的振动平面内任一方向上的单位矢量。)(01txkieEeE1eE 圆偏振波圆偏振波的电场矢量可写为 式中 为振动平面内的一对互相正交的单位矢量。且 和 之间构成右手螺旋关系。若迎着电磁波观察，取“+”号时将观察到 矢量按逆时针旋转，称为左旋圆偏振波；取“-”号时将观察到 矢量按顺时针旋转，称为右旋圆偏
24、振波；椭圆偏振波椭圆偏振波中，两垂直振动的电场矢量的振幅不相同（）可写为)(021)(txkieEe ieE21ee、21ee、kEE2010EE)(202101)(txkieEeEeE其中取“+”号与左旋波相应，取“-”号与右旋波相应。以上都是以线矢量为基矢描述了各类偏振状态，这是常用的描述方法。但是有时也可以采用左旋单位圆矢量 及右旋单位圆矢量为基矢（偏振基矢）来描述各类偏振状态。2/)(21e iee2/)(21e iee 2）对于水平偏振（水平极化）：即 当 时，由振幅关系式可以看到，。这种情况只有两介质完全相同才能满足。即可由说明两种介质完全相同。因此，除同种介质外，反射波总是存在的
25、 3）对于垂直偏振：即 当 ，即反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反射波是完全的线偏振波，此时的,|0|0EE 0 ,000 EEE即可见 1sinsin 2121 ,)0(0E 900 ,0 ,900|0 EE时?,00 EE 根据 ，令此时的则有故 这个角称为Brewsters angle。由此可见，一个任意偏振的波，总可以分为平行和垂直入射面的两个入射波。平面波以布儒斯特角入射时，反射波只有垂直入射面偏振的波，反射波和折射波传播方向互相垂直。4）当平面波从光疏介质入射到光密介质时 21)90sin(sinsinsinn bbbbbbtgcossin)90sin(sin211tg n
26、b（即n211）。根据折射定律，有，可知 ，光线向法线方向偏折。这时从菲涅耳公式可看出：当 时：实际的反射波，不管是垂直分量还是平行分量，都和入射波的相应分量反向。即反射波与入射波位相相差 ，好象差个半波长，这种现象称为半半波损失。波损失。sinsin21n;0 :00EEE 入射面时 0 :|0|0EEE 入射面时2 当平面波从光密介质入射到光疏介质时，反射波与入射波同位相，即没有半波损失。5）由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和透射系数。反射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比称为反射系数，即以 R 表示之。折射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比称为透射系数，即以
27、T 表示之。0 ,2 ;0 ,|0|000 EEEE 入射面：入射波的能流平均值：反射波的能流平均值：E|21)(212011*kkEHERSe入|21|21)(2120112011*kkEkkEHERSe反 折射波的能流平均值：从而得到：|21)(2120212*kkEHERSe 折 )(sin2sin2sin|cos|cos)(sin)(sin|2201202222020EnEnnSnSTEEnSnSR入折入反同理可得：根据能量守恒定律，容易证明：:|入射面E )(cos)(sin2sin2sin)()(tg|22|222020|TtgEER11|TRTR3、全反射（Total Refle
28、ction)若 ，即电磁波从介质1入射时，折射角入射角。当 ，这时折射波沿界面掠过，此时的入射角为 。即此称为全反射临界角(Total Reflection Critical Angle)，即入射波以 入射时的反射为全反射，没有折射波出现。如果再增大入射角，使得1sinsin ,1,2121 说明则n1221sin ,2 n则时)(sin2110n210sin ,n即00 假设在 情形下两介质中的电场形式仍然为则根据边值关系确定的表示式形式上仍然成立，即仍有21sinn)(0)(txkieEtxEyyyxxxkkkkkk ,212121sinknkkkkkkkkkkxxxx 即由此可见，在 情
29、形下有 因而这表明 是一虚数，令21sinnkkx zk 2212sin ,nkikz 221222221222222sinsinnikknkkkkkkkxyxz 0故折射波的传播因子为：这里即从而可得折射波的电场能量为：)()(zkxkixkizxee cos ,sinkkkkkzxxzikxzk iikxxkieeeez sinsin)(该式表明折射波将沿 z 方向衰减，沿 x 方向传播。因此，在全反射时，介质2中的电磁波并不为零，如果介质2的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为表面波。)sin(
30、0)(0)(0tkxiztkxkitxkieeEeEeEEzx 通过对分界面内侧（即折射波）的坡印亭矢量的法向分量对时间平均值的计算，我们得到即使在介质2中有电场存在，显然也没有能量流过分界面。即：xzk其中 但是，为一纯虚数，故 。202*|)(21)(21EknRHEnRnSSeez EkH 21zkkkn cos0 nSSz能流曲线的大致走向如图所示：x0zs从而可见，在界面的法线方向上能流的频率2作振动，在第二种介质中 Sz 对时间平均为零，能流沿 x方向传播，即在半周内电磁能量进入第二种介质，在另半周内能量重新释放出来变成反射波能量。在全反射情况下：1sincossinsin2212
31、21 nikknkkzx 当 入射面时：根据指数表达式E222122122212222122212001sincos2)(sincossincossincosienninniniEEcossin2)sin(cos2sin2cos222iiei比较上式，可得故有该式表示在全反射时，入射波和反射波振幅相同，两者存在相位差。2212sinsincoscosncossincossintg2212n222122421221222122122421221221221221221221221221|0|0sincossincos2)(sincossincossincos1sincos1sincosiennn
32、ninnninninninninEE 当 入射面时：|E比较指数表达式：可见故有：2212221sinsincoscosnnsincos2)sin(cos2sin2cos222iieicossincossintg2212212nn比较 ，可见 ，并与入射角有关，如果 入射波是线编振波，但其振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相差，因而是一个椭园偏振波，即一个线偏振波入射在介质界面上经过反射成了一个椭园偏振波。和04.3 有导体存在时电磁波的传播Electromagnetic Wave Propagation in Conduction Medium 本节所要研讨的问题是：导
33、电介质中的电磁波的传播。由于导体内有自由电荷存在，在电磁波的电场作用下，自由电荷运动形成传导电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁波能量有损耗。由此可见，在导体内部的电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程中，电磁能量转化为热量。1 1、导体内的自由电荷的分布、导体内的自由电荷的分布 设导体是均匀各向同性的，其性质由一组物质常数、确定，根据焦耳定律的微分形式和电荷守恒定律以及电场的 Gauss 定理 ，得到：Ej0tj D即解此微分方程，得式中0是t=0时的电荷密度。由此可见，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间 为tEEEEj)(0ttet0)()1(0的时间值减小到e0因此，只要电磁波的频率满
34、足或者 （这就是良导体条件）一般金属：10-17秒，也就是说只要电磁波频率b，于是 给出矩形波导中的最小截止频率。凡是频率比截止频率 小的电磁波不能在波导内传输。和 对应的波长为这就是波导管中能够传播的最大波长。e)中有 ，这里的 是电磁波在自由空间中的传播速度，不是在波导中的传播速度。那么电磁波在波导中的传播速度有多大呢？按照相速u和群速ug的定义：zk10,c10,c10,c,102 (1,0)camn相速度反映的是位相变化状况的速度，群速度反映的是各单色波叠加后的合成振幅的最大值传播的速度。因此相速度zgzdkdukdtdzu2222anamkuz群速度这根据以上表明：u和ug由波导尺寸
35、（a,b）、波型（m,n）、波的频率及速度 决定。位相速度uukdkduzzg22222bnamkz1电磁波在自由空间传播速度，因而有可能大于光速C；能量传播速度ug，不能大于光速C。这符合相对论要求。3、谐振腔（谐振腔（Resonant cavity）我们知道：波导管是用来传输电磁波。谐振腔与之不同，它是用来产生高频振荡。如图所示：yzx1L2L3L 根据电磁波在波导管内的传输理论方法，容易得到腔内电磁波的电场和磁场也满足亥姆霍兹方程：以及界面上的边值关系：002222BkBEkEHnEn0 有关谐振腔的内容，这里不再做详细讨论。有关谐振腔的内容，这里不再做详细讨论。与波导管理论不同的地方是腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量是x，y，z的函数。设u(x,y，z)为电磁场的任一直角分量，即用分离变量法解即可求亥姆霍兹方程所满足边值关系的解。)()()(),(zZyYxXzyxu)(0),(),(txkiezyxEtxE
