1、 定积分的物理应用定积分的物理应用 复习微元法复习微元法一、一、非均匀非均匀细杆的质量细杆的质量二、二、变力变力沿直线所作的沿直线所作的功功三、液体的三、液体的侧侧压力压力四、四、引力引力问题问题微元法的微元法的步骤步骤和和关键关键:复习微元法复习微元法（定积分概念的一个简化）（定积分概念的一个简化）1.将将非均匀分布在非均匀分布在区间区间 a,b 上的所求总量上的所求总量AxyOabf x()分割分割成分布在各子区间的成分布在各子区间的局部量局部量 ,iAabab1xnx1 1ix ixiA.A必须对区间必须对区间 a,b 具有具有可加性可加性，即即A 1.niiA 2.关键的一步关键的一步
2、确定确定部分部分量量 的的近似值近似值,iA只需考虑任意小区间只需考虑任意小区间x,x+dx上部分量的近似值，上部分量的近似值，xyOabf x()ababiA xdxxdxxfdAAi)(小微元小微元d A条条 badxxfA)(的高阶无穷小。的高阶无穷小。是是的要求：的要求：对小微元对小微元xdAAdAi 3.对小微元对小微元取定积分取定积分)(yfx yOcdxiA)(yfx yOcdxydyy A 1.niiA dyyfdAAi)()(,yfxdcy .)(dcdyyfA条条0)(,iA 1.niiA A )(r xO d)(r xO d)(21d2 A d)(212 A扇形扇形xdx
3、x xyo)(xfy AB 曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转一周轴旋转一周所成的立体体积所成的立体体积体积元素体积元素 ,bax .dd2xyV .d)(d2xxfV 薄片薄片计算体积计算体积 .d)(d 2 2 babaxxfxyV 求旋转体体积求旋转体体积柱壳法柱壳法:p286.19abf(x)yx0曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴xdxabyx0 xf(x)dx)(2xxf内表面积内表面积dV=2 x f(x)dx baxxxfVd)(2 壳壳的非均匀细杆的质量的非均匀细杆的质量到到从从ba(x)故故的质量微元
4、的质量微元考虑考虑 d)(d ,xxMxxx xxMbad)(xx 0ab利用均匀细杆质量利用均匀细杆质量lm 一一、求、求线密度为线密度为思考：思考：非均匀分布在一个细杆上的非均匀分布在一个细杆上的能量、电量、热量能量、电量、热量怎么求？怎么求？xx例例1.一一半半。段段的的质质量量为为全全棒棒质质量量的的，为为何何值值时时，问问处处的的线线密密度度，离离棒棒左左端端一一个个金金属属棒棒长长0),/(11)(3xxmkgxxmxm 轴轴上上如如图图将将金金属属棒棒至至于于x由题意由题意 300d)(21d)(xxxxx 3001d211d xxxxx即即300112 xxx12212 xmx
5、 45 求求得得解：解：03p292.1xy二二 、变力沿直线所作的功、变力沿直线所作的功设物体在连续设物体在连续变力变力 F(x)作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 x a 移动到移动到,bx 力的方向与运动方向力的方向与运动方向平行平行,求变力所做的功求变力所做的功.xabxxxd，上上任任取取子子区区间间在在d,xxxba 在其上所在其上所作功微元作功微元xxFWd)(d 因此变力因此变力F(x)在区间在区间,ba上所作的功为上所作的功为 baxxFWd)(.sFW 利用常力作功利用常力作功例例1.有一圆锥形储水池有一圆锥形储水池,深深15m,口径口径20m,尖头在下尖头在下,盛满水盛满水,
6、今将水抽干今将水抽干,需作功多少？需作功多少？p292.6解解:yxO10 15-10 xdxx 如图建立坐标系如图建立坐标系,15,0,xx为为积积分分变变量量取取取任一小区间取任一小区间x,x+dx，这一薄层水这一薄层水,d2xyg 的重力为的重力为做功微元做功微元xygxWdd2 xy3210 斜线方程为斜线方程为，xxxgd32102 做功做功 1502d3210 xxxgW(kJ)5.57697),(yx 例例2.半径为半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重球的比重与水相同与水相同,从水中取出球从水中取出球,做功多少做功多少(p293.7
7、)解：解：yx02r选取选取x为积分变量，其变化区间为积分变量，其变化区间 0,2r（注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功）注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功）xdxx ),(yx222ryrx )(重力微元：重力微元：dFdxyg2 在小区间在小区间x,x+dx上相应的球体上相应的球体薄片薄片随球体离开水面后，随球体离开水面后，在水上方的行程在水上方的行程),-(2xr做功微元做功微元x)-(2rdxygdw2 dxx2rx2rxg2)(做功做功gr34dx)x2r()x2rx(gW42r02 面积为面积为 A 的平板的平板三、液体侧压力三、液体侧压力设液体密度为设液体
8、密度为 深为深为 h 处的压强处的压强:hgp h当平板与水面平行时当平板与水面平行时,ApP 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受所受侧压力侧压力问题就需用积分解决问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为深度深度比重比重压强压强受力面积受力面积压强压强压力压力常识常识 ,:xoxdxx .d2 22xxR 小矩形片的面积为小矩形片的面积为,xp 为为压压强强微微元元小小矩矩形形片片上上各各处处的的.,上所受的压力上所受的压力计算桶的一端面计算桶的一端面水的比重为水的比重为设桶的底半径为设桶的底半径为桶内盛有半桶水桶内盛有半桶水水桶水桶一个横放着的圆柱形一个横放着
9、的圆柱形 R 在端面建立坐标系在端面建立坐标系.,0,Rxx 为积分变量为积分变量取取,d,xxx 任取一小区间任取一小区间解解例例1.,d2d 22xxRxP 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素)(d22022xRxRR RxR032232 .323R xxRxPRd2220 端面上所受的压力端面上所受的压力xoxdxx xoa2a2a,d)(2 xxa 面积微元为面积微元为xxaaxPd )(2)2(d xxaaxPad )(2(20 所以所以.373a .,2侧压力侧压力求薄板所受的求薄板所受的该边的边长该边的边长边到水面的距离恰等于边到水面的距离恰等于且该且该行行直角边的边长与水面平
10、直角边的边长与水面平斜边朝下斜边朝下浸入水中浸入水中地地的直角三角形薄板垂直的直角三角形薄板垂直及及将直角边为将直角边为aa 建立坐标系如图建立坐标系如图.解：解：例例2.xxx d压力元压力元),(yx)2(axp 为为压压强强微微元元小小矩矩形形片片上上各各处处的的四、引力问题四、引力问题质量分别为质量分别为21,mm的的质点质点,相距相距 r,1m2mr二者间的引力二者间的引力:大小大小:221rmmkF 方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力,则需用积分解决则需用积分解决.,2,2,llyy为积分变量为积分变量取取将典型小段近似看成质点将典型
11、小段近似看成质点,d y 小段的质量为小段的质量为2l2l xyoMarydyy .,的引力的引力计算该棒对质点计算该棒对质点的质点的质点单位处有一质量为单位处有一质量为在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒的均匀细直棒的均匀细直棒线密度为线密度为设有一根长度为设有一根长度为MMmal 建立坐标系如图建立坐标系如图.,d,yyy 任任取取区区间间解解例例1.小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar ,dd 22yaymkF 引引力力元元水平方向的分力元素为水平方向的分力元素为,)(dd2322yayamkFx 2322)(d22yayamkFllx 所所以以.)4(22122laalkm .
12、0,yF引引力力在在铅铅直直方方向向的的分分力力由由对对称称性性2l2l xyoMarydyy 注意：注意：引力元的方向各不引力元的方向各不相同，这些力不能直接按相同，这些力不能直接按数量相加，因而也不能直数量相加，因而也不能直接积分。接积分。.)4(22122laalkm 例例2.有一半径为有一半径为r 的的均匀均匀半圆弧，质量为半圆弧，质量为m，求它求它对对位于圆心处的单位质量质点的引力。位于圆心处的单位质量质点的引力。P292.12解：解：(1)建立如图的坐标系建立如图的坐标系,确定积分变量和积分区间确定积分变量和积分区间：0y xr-r0,.设线密度为设线密度为 取取 为积分变量，则为
13、积分变量，则,(2)求微元：求微元：0,0,d 对对 d 将将 对应的弧长质量看成一个质点对应的弧长质量看成一个质点,d,d 则则 对应的弧长质量为对应的弧长质量为,mmdmrdrddr 0y xr-r d 它对单位质点的它对单位质点的引力微元引力微元为为 drkmrdmkdF221 由对称性知由对称性知0,xF drkmdFysin2 所以有所以有(3)求定积分：求定积分：把对位于圆心处的单位质量质点的把对位于圆心处的单位质量质点的引力表示成定积分计算得引力表示成定积分计算得2022sinrkmdrkmFy 故圆弧对质点的引力为故圆弧对质点的引力为22,kmr 方向从圆心指向半圆弧方向从圆心
14、指向半圆弧的中点，即的中点，即 轴方向轴方向.y 小结小结：1.1.定积分可以計算定积分可以計算非均匀分布非均匀分布在某在某区间区间的量。的量。微微元法元法-建立所求量的积分表达式。建立所求量的积分表达式。2.2.应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量适当适当的置于坐标系下，利用的置于坐标系下，利用以以不不变变代代变变，以直代曲以直代曲的思想方法确定出的思想方法确定出小微元小微元。3.3.小微元的小微元的几何形状几何形状常取为：条、带、段、环、常取为：条、带、段、环、扇、片、壳等。扇、片、壳等。4.4.应用定积分解决实际问题时，当然还需要应用定积分解决实际问题时，当然还需要使用使用其它一些常识。其它一些常识。5.微元法将用于在微元法将用于在多元积分学的应用多元积分学的应用。
