1、对数、对数函数对数、对数函数高一数学高一数学主讲教师：田美圣主讲教师：田美圣27 对数对数 一、基础知识要求一、基础知识要求1理解对数的概念，能进行对数式与指数式的互化2掌握对数的运算性质，理解推导对数运算法则的依据和过程，并会用语言叙述法则。从而记住这些法则。3本节的重点是对数的定义，对数的运算性质；难点是对数的概念。二、学法指导：二、学法指导：1定义 ab N logaN b (a0且a1)指数与对数对比表 式子：ab N logaN b 名称a_幂的底数 b_幂的指数 N_幂的值 a_对数的底数 b_以a为底的N的对数 N_真数 运算性质aman=am+n aman=am-n(am)n=
2、amn logaMN=logaM+logaN =logaM logaN logaMp=plogaM NMalog2对数中字母的取值范围。M0,N0，a0且a1强调：零和负数没有对数。3由对数定义及运算性质可直接得到下面性质：loga1 0，logaa 1，logaam m，N (a0且a1)4两个特殊对数常用对数log10N 记作 lgN自然对数 logeN 记作lnN 底数为e2.71828为无理数Naa logbmnbanamloglog5性质强调：简易语言表述：“积的对数对数的和”“商的对数对数的差”“幂的对数幂指数乘以幂的底的对数”有时逆向用：如log105log102 log10（5
3、2）lg10 1当心错误：loga(MN)logaMlogaNloga(M N)logaM logaN三、典型例题三、典型例题 例例1根据对数的定义，将对数式与指数式互化根据对数的定义，将对数式与指数式互化（1）(2)log16 21-55112411411621125 解：（1）log5 （2）点评由于指数式abN和对数式logaNb (a0,a1)可以相互转化。因此，本题容易由指数式改写成对数式，由对数式改写成指数式时，改写的指数式必须是恒等式时,原对数式才是正确的。要注意两种表示形式中a、b、N的相应位置。改写时首先弄清指数式（或对数式）中谁是b，谁是N，注意对数符号的写法。特别是底数和
4、真数位置要书写规范。例例2已知已知loga2 m,loga3 n,求求a2m-3n的值。的值。274解：loga2m与loga3n可化为am2与an3a2m-3n(am)(an)223点评本题充分体现了指数式和对数式的相互转化功能。将对数式化为指数式后就把对数运算转化为指数运算，从而运用已学的指数运算性质求值。-1222|log 0.3|-1-log 0.3-1log 0.3-111112=22650.32(0.6)()103解：(1)例例3求下列各式的值求下列各式的值（1）（2）100116612lg(lg)log 8+2log332lg(lg)aa2|log 0.3|-121231166
5、1116662lg(100lg)2log 8+log32lg(lg)2 lg100+lg(lg)2 2+lg(lg)log 2log 3log(23)2lg(lg)2lg(lg)121aaaaaa ()原式注意：公式的逆用 42342333232()114()()32114(2)(3)3221113433222717266xy zxy zxyzxyzxy zxyzxyzxyzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（）logloglogloglogloglogloglogloglogloglogloglogloglogloglogloglog点评用已知对数表示未知对数，就是
6、把要表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质。注意运算性质只有在同底的情况下才能运算。第（2）题中未指明a、x、y、z的范围，这时我们就认为是使每个对数符号都有意义的a、x、y、z的最大范围，即a0，且a1，x0,y0,z0.2.8对数函数对数函数一、基础知识要求一、基础知识要求1掌握对数函数的概念，图象和性质，2会用对数函数性质比较大小3重点在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。4难点：（1）底数a对对数函数的影响（2）在解决有关对数函数问题时易忽略定义域对函数的影响。二、学法指导二、学法指导1定义：函数ylogax(a0且a1)叫做对数函
7、数，x(0,)，它是指数函数的反函数。2图像与性质（1）图像：a1(1,0)xyo0a1或0a1两种情况来讨论;换底公式logab ；logab增减性由a1或0a1确定；ylogau(其中u是关于x的函数，u0)的增减性由a的取值和u的单调性确定。利用“闭区间上的单调函数在区间端点处取得最大或最小值”这一结论可以求logau（u是关于x的函数，且um,n）的最大或最小值。例例6比较下列各组中两个值的大小比较下列各组中两个值的大小(1)Log4,log65 (2)log1.12.3 ,log1.22.2(3)loga,logae (a 0且且a 1)解：（1）ylog3x在（0，）上是增函数 l
8、og34log331ylog6x在（0，）上是增函数log65log661log34log65(2)log1.12.3log1.12.2log1.22.2(3)当a1时，ylogax在（0，）上是增函数。e logalogae当0a1时，ylogax在（0，）上是减函数e,logalogae综上可知。当a1时，logalogae;当0a1时，logalogae.点评比较两个对数型的数的大小，先看是否同底，同底时，在看底大于1还是大于零且小于1，确定相应对数函数的单调性即可比较大小。不同底时，在两数间插入一个数（如1或0等）如（1）或（2）再利用对数函数单调性间接比较大小。当底为字母a时，要分a
9、1和0a1两种情况。246-5-(1)log(3)xx xyx 例例7.求下列函数的定义域求下列函数的定义域 (2)y loga(ax-1)(a 0且且a 1)解：（1）要使函数式有意义，必须且只须 14x04x03)(xlog03x0 x-5x-64x2即:-3x-4x-2x-3x1x6-所以函数的定义域为（3，2）（2，1）（2）由ax1 0，得ax1若a1,则x0,若 0a1,则x0.当a1时，函数定义域为（0，）当0a1时，函数定义域为（，0）点评求函数定义域的方法小结分母不能为零偶次方根的被开方数大于等于零对数的真数必须大于零指数函数、对数函数的底数要满足大于零且不等于1实际问题有意
10、义 例例8 函数函数y loga 的图象恒过定点的图象恒过定点P，则点，则点P坐坐标为标为_ 1-12xx 解析：由对数函数的性质我们知道ylogax必过点(1,0)，即本题函数中，当 1，即：x2时，y0,P点坐标为（2，0）1-12xx-1u4y3 25,2432解析设u(x)43xx,.由43xx0 x3x40 解得：1x4又u(x)x3x4(x )是对称轴为x ，开口向下的抛物线，如图u(x)在（1，上是增函数。在 ，4)上是减函数。例例9求函数求函数y ln（4 3xx）单调递增区间）单调递增区间 42523232323又ylnu(x)是定义域上的增函数，根据复合函数的单调性，同增异
11、减yln(43x-x)在（1，上是增函数。答案（1，2323点评对于函数y fg（x）,若f（x）与g（x）在区间a，b上都有定义，则当f（x）在a,b上为增函数时，fg(x)与g（x）在a,b上的单调性一致；当f（x）在a,b上为减函数时，fg(x)与g（x）在a,b上的单调性相反。简称“同增异减”。例例10函数函数f（x）loga（x 2x 3）(a 0,a 1)在在 ，2上的最大值比最小值大上的最大值比最小值大2，则常数，则常数a的值的值是是_ 21解析设tx2x3 (x ,2),是对称轴为x1,开口向上的抛物线。t(x1)2.如图：t(2)3,t2,321(1,2)(2,3)xt021
12、 9(,)2 412当a1时，由f（t）logat在2，3上是增函数ymax loga3与ymin loga2ymaxymin loga3loga2 2loga 2a 又a0a当0a1时，由f（t）logat在2，3上是减函数ymax loga2与ymin loga3ymaxymin loga2loga3=2loga 2 a a 232326323632答案 或 2636例例11.已知函数已知函数f(x)lg(ax 2x 1)（1）若）若f（x）的定义域为）的定义域为R，求实数，求实数a的范围。的范围。（2）若）若f（x）的值域为）的值域为R，求实数，求实数a的范围。的范围。解：（1）若f（x
13、）的定义域为R，则关于x的不等式ax2x10的解集为R，即：解得a1.04-40aa(2)若f（x）的值域为R，令uax2x1,f(u)lgu(如图)其中u能取一切正数。当u为一次函数时a0当u为二次函数时 解得：0a1.04a-40a点评（1）f(x)定义域是R，求得a1,即：a1时，保证f（x）定义域是R，但此时由于ax2x1 a(x )1 1f(x)的值域是lg(1 ),.不要误认为值域也是R.a1a1a1a1y=lgu(1,0)uy0(2)f(x)值域是R，意思是要求其真数ax2x1的值必须取到（0，）内的每一个值，这就是要求uax2x1的最小值1 不能比零大，否则u就取不到（0，1 ）内的值。故需a 0或a0,0即：0a1，这时若a0，则f(x)定义域为（，），若0a1,则f（x）定义域为（，x1）(x2,),其中x1，x2为方程ax2x10的两根。不要误认为 f（x）定义域为R.21a1a1四、小结四、小结指数运算与对数运算互为逆运算。注意在解题过程中相互转化，体会数形结合解题的数学思想方法。由于对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域正好互换。正确运用对数的运算性质和对数函数的性质是今后我们解题的关键
