1、第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”,最新考纲 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、 “非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.,知 识 梳 理,1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的_、_、_叫作逻辑联结词. (2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断,且,或,非,真,假,假,真,真,真,假,真,2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 3.全称命题与特称命题 (1)含有_量词的命题
2、叫全称命题. (2)含有_量词的命题叫特称命题.,全称,存在,4.含有一个量词的命题的否定,存在x0M，綈p(x0),任意xM，綈p(x),微点提醒,1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q见真即真，p且q见假即假，p与綈p真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 3.“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)命题“56或52”是假命题.( ) (2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命
3、题.( ) (4) 存在x0M，p(x0)与任意xM，綈p(x)的真假性相反.( ),解析 (1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真. (2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修21P15练习(2)改编)命题“任意xR，x2x0”的否定是( ),C.任意xR，x2x0 D.任意xR，x2x0 解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确. 答案 B,3.(选修21P19习题1-4T2(4)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为( ) A.
4、1 B.2 C.3 D.4 解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题. 答案 B,4.(2019南昌调研)下列命题中的假命题是( ) A.存在x0R，lg x01 B.存在x0R，sin x00 C.任意xR，x30 D.任意xR，2x0 解析 当x10时，lg 101，则A为真命题；当x0时，sin 00，则B为真命题；当x0时，x30，则C为假命题；由指数函数的性质知，任意xR，2x0，则D为真命题. 答案 C,5.(2018安徽江南十校模拟)已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的( ),A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D
5、.既不充分也不必要条件 解析 由綈p为真知，p为假，可得p且q为假；反之，若p且q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件. 答案 A,实数m的最大值为1. 答案 1,考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断,【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是( ) A.p或q B.p且q C.(綈p)且(綈q) D.p且(綈q),A.p且q B.p且(綈q) C.(綈p)且q D.(綈p)且(綈q),解析 (1)取ac(1，0)，b(0，1)，显然ab0，bc0，但ac
6、10， p是假命题.又a，b，c是非零向量， 由ab知axb(xR)，由bc知byc(yR)， axyc，ac，q是真命题. 综上知p或q是真命题，p且q是假命题.綈p为真命题，綈q为假命题. (綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题.,答案 (1)A (2)B,规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假. 2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相
7、反”.,【训练1】 (1)(2019济南模拟)若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，则( ) A.命题p与命题q都是真命题 B.命题p与命题q都是假命题 C.命题p是真命题，命题q是假命题 D.命题p是假命题，命题q是真命题 (2)(2017山东卷)已知命题p：存在xR，x2x10；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为真命题的是( ) A.p且q B.p且綈q C.綈p且q D.綈p且綈q,解析 (1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题. (2)一元二次方程x2x10的判别式(1)24110恒成立， p是真命题，綈p为假命题. 当a1，b2时，(1)22，
8、 q为假命题，綈q为真命题. p且綈q为真命题，p且q，綈p且q，綈p且綈q为假命题. 答案 (1)D (2)B,考点二 全称量词与存在量词 多维探究 角度1 含有量词命题的否定,【例21】 命题“任意nN+，f(n) N+且f(n)n”的否定形式是( ) A.任意nN+ ，f(n)N+且f(n)n B.任意nN+ ，f(n)N+或f(n)n C.存在n0N+ ，f(n0)N+且f(n0)n0 D.存在n0N+ ，f(n0)N+或f(n0)n0 解析 全称命题的否定为特称命题， 命题的否定是：存在n0N+ ，f(n0)N+或f(n0)n0. 答案 D,角度2 全称(特称)命题的真假判断 【例2
9、2】 (1)(2019江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ),A.任意xR，f(x)f(x) B.任意xR，f(x)f(x) C.存在x0R，f(x0)f(x0) D.存在x0R，f(x0)f(x0),A.(綈p)且q B.p且(綈q) C.(綈p)且(綈q) D.p且q,解析 (1)定义域为R的函数f(x)不是偶函数，任意xR，f(x)f(x)为假命题， 存在x0R，f(x0)f(x0)为真命题.,q为真命题.从而綈p为真命题，(綈p)且q为真命题. 答案 (1)C (2)A,规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，
10、否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.判定全称命题“任意xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个xx0，使p(x0)成立.,【训练2】 (1)(2019河北“五个一”名校联考)命题“存在x0R，12 D.任意xR，f(x)1或f(x)2,A.p且q B.p且(綈q) C.(綈p)且q D.(綈p)且(綈q),解析 (1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意xR，f(x)1或f(x)2”.,
11、答案 (1)D (2)C,考点三 由命题的真假求参数的取值范围 【例3】 (1)(2018宝鸡调研)已知命题p：任意xR，log2(x2xa)0恒成立，命题q：存在x02，2，2a2x0，若命题p且q为真命题，则实数a的取值范围为_.,规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题. 含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.,【训练3】 本例(2)中，若将“存在x21，2”改为“任意x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围
12、是_.,思维升华 1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解. 2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.,易错防范 1.正确区别命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真. 2.几点注意： (1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意
13、命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定； (3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.,逻辑推理、数学运算突破双变量“存在性或任意性”问题,逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.,类型1 形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)f(x1)成立”,令h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则h(x)6x2，,评析 理解
14、全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.,类型2 形如“存在x1A及x2B，使得f(x1)g(x2)成立”,评析 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.,类型3 形如“对任意x1A，都存在x2B，使得f(x1)g(x2)成立”,解析 依题意知f(x)maxg(x)max.,又g(x)2xa在2，3上是增函数，g(x)max8a，,评析 理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)maxg(x)max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围. 思考1：在例3中，若把“存在x22，3”变为“任意x22，3”时，其它条件不变，则a的取值范围是_. 问题“等价转化”为f(x)maxg(x)min，请读者完成.,
