1、2021-2022学年高三（上）月考数学试卷（文科）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合A（x，y）|y1，B（x，y）|x2+y22，则集合AB中含有的元素有（）A零个B一个C两个D无数个2若复数z（i为虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知函数，若实数x0是方程f（x）0的解，且0x1x0，则f（x1）的值（）A等于0B不大于0C恒为正值D恒为负值4下列命题中，是真命题的为（）AxR，ln（x1）20BxR，（sinx1）24Cx0R，1Dx0R，sinx05已知x，y0，且，则3x+2y的最小值是（）
2、ABC20D256已知定义在R上的奇函数f（x）满足对于任意的xR都有f（x）f（2x）若f（1）1，则f（2021）（）A1B1C0D不能确定7某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）ABCD8中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C 与W满足CWlog2（1+），其中S是信道内信号的平均功率N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计，若不改变带宽W而将信噪比从1000提升4000则C大约增加了
3、（）（附：lg20.3010）A10%B20%C30%D40%9某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90，得到如图所示的频率分布直方图下列结论错误的是（）A这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5C这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5D在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.6510已知f（x）x+，g（x）x2ax+1，若対x
4、11，3及x21，3，都有f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）A2，+）B2，+）C（，2D（，211函数f（x）sin（x+）（0）在（0，）内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为（）A（，B，+）C（0，D（，12设asin2，则（）Aa22aB2aa2Ca22aDa22a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13函数f（x）ln（x22x3）的单调递减区间为 14已知Sn为等差数列an的前n项和，若S7217a7，则S10 15已知函数f（x）lnx+a（2x）在点（1，f（1）处的切线与圆（x3）2+y21相切，则a 16已知函数f（x）alnx3x，当x（0，+）
5、时，f（x+1）f（ex）恒成立，则实数a的最大值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考点根据要求作答（一）必考题：共60分17为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老人，其结果如表：是否需要志愿者男女需要xy不需要160270因为某些原因，表中需要志愿者帮助的老年人的人数已经丢失但根据其他记录，为了进一步了解老年人所需要的帮助的种类和方式，后来又从表示需要志愿者帮助的老年人中按性别分层抽样选出了4名男性，3名女性作了更细致的调查（1）求x，y的值；
6、（2）根据调查表，是否有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”？附：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82818在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b4，B2A（1）求cosA的值；（2）求c的值19如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD5，AA14，E，F分别是A1B1，C1D1上的点，且A1ED1F2，过直线EF的平面与CD，AB分别交于点G，H（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若四边形EFGH是正方形，求四棱锥AEFGH的体积20设椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为
7、F1，F2，下顶点为A，线段OA（O为坐标原点）的中点为B若抛物线C2：yx21的顶点为B，且经过点F1，F2（1）求椭圆C1的方程；（2）设点B关于点A的对称点为B，过点B作直线与椭圆C1交于点P，Q，且APQ的面积为，求直线PQ的斜率21已知f（x）ex（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）当k2时，判断f（x）的零点的个数，并证明你的结论（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22设点P，Q都在曲线C：（为参数）上，且点P对应的参数与点Q对应的参数满足2（02），M为PQ的中点（当点P与点Q重合时
8、，点M也与点P，Q重合）（1）求点M的轨迹的参数方程；（2）判断点M的轨迹是否过坐标原点O，证明你的结论选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+a|b的解集为（1，3）（1）求a，b的值；（2）求的最大值参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合A（x，y）|y1，B（x，y）|x2+y22，则集合AB中含有的元素有（）A零个B一个C两个D无数个【分析】可看出集合B表示圆x2+y22及其内部，从而可看出AB含无数个元素解：直线y1和圆x2+y22及其内部有无数个交点，AB中含有的元素有无数个故选：D2若复数z（i为虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为（）
9、A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出解：z+i，则 i在复平面内对应的点（，）所在象限为第三象限故选：C3已知函数，若实数x0是方程f（x）0的解，且0x1x0，则f（x1）的值（）A等于0B不大于0C恒为正值D恒为负值解：因为函数是单调减函数，y在（0，+）上是增函数，所以根据函数单调性的性质可知，数，在（0，+）上是减函数因为0x1x0，所以f（x1）f（x0）0，故选：C4下列命题中，是真命题的为（）AxR，ln（x1）20BxR，（sinx1）24Cx0R，1Dx0R，sinx0【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用
10、判断A、B、C、D的结论解：对于A：当x0.9时，ln0.010，故A错误；对于B：当sin1时，（sinx1）24，故B错误；对于C：令x01时，故C正确；对于D：由于sinx01，1，所以不成立，故D错误；故选：C5已知x，y0，且，则3x+2y的最小值是（）ABC20D25【分析】将代数式变形，整理成能用均值不等式的形式，再由性质可得其最小值解：因为3x+2y（3x+2y）1（3x+2y）（+）9+4+，因为x0，y0，所以0，0，所以3x+2y13+213+1225，当且仅当，x0，y0即xy时取等号，所以3x+2y的最小值为25，故选：D6已知定义在R上的奇函数f（x）满足对于任意的
11、xR都有f（x）f（2x）若f（1）1，则f（2021）（）A1B1C0D不能确定【分析】由已知可得f（x）是周期为4的周期函数，从而可得f（2021）f（1），再利用已知及奇偶性求解即可解：f（x）为R上的奇函数，f（x）f（x），又f（x）f（2x），f（x）f（2x），f（2+x）f（x），f（4+x）f（2+x）f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，f（2021）f（4505+1）f（1）f（1）1故选：B7某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）ABCD【分析】基本事件总数n10，A或B被选中
12、的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出A或B被选中的概率解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是p1故选：D8中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C 与W满足CWlog2（1+），其中S是信道内信号的平均功率N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计，若不改变带宽W而将信噪比从1000提升4000则C大约增加了（）（附：lg20
13、.3010）A10%B20%C30%D40%【分析】由题意可得C1Wlog21000，C2Wlog24000，所以将信噪比从1000提升4000则C大约增加的百分比为，再利用对数的运算性质求解解：当1000时，C1Wlog2（1+1000）Wlog21000，当4000时，C2Wlog2（1+4000）Wlog24000，111110.2C大约增加了20%故选：B9某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90，得到
14、如图所示的频率分布直方图下列结论错误的是（）A这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5C这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5D在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.65【分析】由频率分布直方图得分布列，由分布列依次检验4个选项即可解：由频率分布直方图得分布列区间60，65）65，70）70，75）75，80）80，85）85，90P0.050.10.20.30.250.1故这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5，故选项A正确；0.05+0.1+0.20.350.5，0.05+0.1+0.2+0.30.6
15、50.5，这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5，故选项B正确；这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为62.50.05+67.50.1+72.50.2+77.50.3+82.50.25+87.50.177，故选项C错误；0.3+0.25+0.10.65，在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.65，故选项D正确故选：C10已知f（x）x+，g（x）x2ax+1，若対x11，3及x21，3，都有f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）A2，+）B2，+）C（，2D（，2【分析】由题意可知f（x）ming（x）max，利用基本不等式可求出f（x）min4，对于g
16、（x）x2ax+1，x1，3，对对称轴的位置分情况讨论，分别求出g（x）在1，3上的最大值，从而求出a的取值范围解：対x11，3及x21，3，都有f（x1）g（x2），f（x）ming（x）max，当x1，3时，f（x）x+4，当且仅当x，即x2时，等号成立，f（x）min4，对于g（x）x2ax+1（x）2+1，x1，3，当2，即a4时，g（x）maxg（3）103a，4103a，解得a2，2a4，当，即a4时，g（x）maxg（1）2a，42a，解得a2，a4，综上所述，实数a的取值范围是2，+），故选：B11函数f（x）sin（x+）（0）在（0，）内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为
17、（）A（，B，+）C（0，D（，【分析】由x(0,)，可得，再结合三角函数sinx的图像，即可求解【解答】解:x(0,)，0，函数f（x）在（0，）内有且仅有一个极大值点等价于函数ysinx在 上有且仅有一个极大值点，解得，故选：A12设asin2，则（）Aa22aB2aa2Ca22aDa22a【分析】由asin2，可得a1，进而判断各式的大小解：asin2，a1，且a21，2a1，a22a，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13函数f（x）ln（x22x3）的单调递减区间为（，1）【分析】令tx22x30，求得函数的定义域，且f（x）lnt，故本题即求tx22x3在定义
18、域内的减区间，再结合二次函数的性质可得结论解：令tx22x30，求得x1，或x3，故函数的定义域为（，1）（3，+），且f（x）lnt，故本题即求tx22x3在定义域内的减区间，结合二次函数的性质可得tx22x3在定义域内的减区间为（，1），故答案为：（，1）14已知Sn为等差数列an的前n项和，若S7217a7，则S1015【分析】由an是等差数列可得S77a4217a7，则a4+a73，从而利用S10（a1+a10）（a4+a7）进行求解即可解：由an是等差数列，得S77a4217a7，则7（a4+a7）21，解得a4+a73，所以S10（a1+a10）（a4+a7）5315故答案为：15
19、15已知函数f（x）lnx+a（2x）在点（1，f（1）处的切线与圆（x3）2+y21相切，则a1【分析】由已知求出曲线在x1处的切线方程，再由圆心到直线的距离等于半径列式求解a值解：由f（x）lnx+a（2x），得f（x），f（x）1a，又f（1）a，则函数f（x）lnx+a（2x）在点（1，f（1）处的切线方程为ya（1a）（x1），即（1a）xy+2a10由切线与圆（x3）2+y21相切，得，解得a1故答案为：116已知函数f（x）alnx3x，当x（0，+）时，f（x+1）f（ex）恒成立，则实数a的最大值为 3【分析】因为当x（0，+）时，f（x+1）f（ex）恒成立，而x（0，+）
20、时，1x+1ex，所以f（x）在（1，+）上单调递减，即当x1时，f（x）30恒成立，通过分离参数法，转化为求最值，即可求出a的取值范围，从而得到a的最大值解：当x（0，+）时，f（x+1）f（ex）恒成立，而x（0，+）时，1x+1ex，f（x）在（1，+）上单调递减，当x1时，f（x）30恒成立，即a3x在x（1，+）上恒成立，a3，实数a的最大值为3，故答案为：3三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考点根据要求作答（一）必考题：共60分17为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽
21、样的方法从该地区调查了500位老人，其结果如表：是否需要志愿者男女需要xy不需要160270因为某些原因，表中需要志愿者帮助的老年人的人数已经丢失但根据其他记录，为了进一步了解老年人所需要的帮助的种类和方式，后来又从表示需要志愿者帮助的老年人中按性别分层抽样选出了4名男性，3名女性作了更细致的调查（1）求x，y的值；（2）根据调查表，是否有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”？附：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【分析】（1）根据已知条件，以及分层抽样的性质，即可列出方程组，即可求解（2）根据已知条件，结合独
22、立性检验公式，即可求解解：（1）由题意可知，x+y50016027070，且，解得x40，y30（2）22列联表如下：是否需要志愿者 男 女 合计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 合计 200 3005006.635，有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b4，B2A（1）求cosA的值；（2）求c的值【分析】由正弦定理及二倍角公式可得解：（1）由正弦定理又B2A，则，因此，cosA（2）由（1）可知，sinA，则sinBsin2A2sinAcosA，cosBcos2A12sin2A，所以si
23、nCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，所以由正弦定理得：c19如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD5，AA14，E，F分别是A1B1，C1D1上的点，且A1ED1F2，过直线EF的平面与CD，AB分别交于点G，H（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若四边形EFGH是正方形，求四棱锥AEFGH的体积【分析】（1）先由面面平行的性质可得EFGH，再由EFEH，EFFG，可得EHFG，由此可证得四边形EFGH是矩形；（2）由VAEFGH2VEAGH，直接代入数据计算即可解：（1）证明：平面ABCD平面A1B1C1D1，平面平面ABCDGH，平面平面A1B1C1D
24、1EF，EFGH，在矩形A1B1C1D1中，A1ED1F2，EFA1D1，又A1D1平面ABB1A1，EF平面ABB1A1，又EH平面ABB1A1，EFEH，同理可证EFFG，又EH平面，FG平面，EHFG，四边形EFGH是矩形；（2）四边形EFGH是正方形，FGEFAD5，过点F作FMCD于点M，则FMAA14，AHDG5，20设椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，线段OA（O为坐标原点）的中点为B若抛物线C2：yx21的顶点为B，且经过点F1，F2（1）求椭圆C1的方程；（2）设点B关于点A的对称点为B，过点B作直线与椭圆C1交于点P，Q，且APQ的面积为，求直
25、线PQ的斜率【分析】（1）根据已知条件，分别求出A、B、F1、F2点，进而求出a、b、c即可求解；（2）结合已知条件设出直线PQ，并与椭圆方程联立，写出根与系数的关系式，然后利用直线PQ的斜率k表示出面积，再结合面积数值即可求解解：（1）由题意易知B（0，1），A（0，2），F1（1，0），F2（1，0），则b2，c1，得b24，a2b2+c25，故椭圆C1的方程为：（2）由题意，得B（0，3），直线PQ不与x轴垂直，设直线PQ的方程为ykx3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，则900k2100（5k2+4）0k21，所以，解得，即，故直线PQ的斜率为21已知f（x）ex（1）判断f（
26、x）的奇偶性，并加以证明；（2）当k2时，判断f（x）的零点的个数，并证明你的结论【分析】（1）根据函数奇偶性的判断方法，直接判断即可；（2）显然x0是函数f（x）的一个零点，再对函数f（x）求导，分析可知f（x）在（0，+）上有唯一零点，结合其为奇函数，可得在（，0）上也有唯一零点，综合即可得到答案解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：函数的定义域为R，f（x）为奇函数；（2）由（1）可知，x0是函数f（x）的一个零点；令，记ext，则，考虑函数g（t）t2kt+1，当k2时，g（1）2k0，g（t）在（1，+）上有且只有一个实数根t0，x0lnt00是f（x）0在（0，+）上唯一的零点
27、，且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，注意到x+时，f（x）+，且f（0）0，f（x）在（0，+）上有唯一零点，结合函数f（x）为奇函数可知，f（x）在（，0）上也有唯一零点综上所述，当k2时，f（x）有3个零点（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22设点P，Q都在曲线C：（为参数）上，且点P对应的参数与点Q对应的参数满足2（02），M为PQ的中点（当点P与点Q重合时，点M也与点P，Q重合）（1）求点M的轨迹的参数方程；（2）判断点M的轨迹是否过坐标原点O，证明你的结论【分析】（1
28、）由已知条件，可推得P（4cos，2sin），Q（4cos2，2sin2），再结合M为PQ的中点，即可求解（2）由题意可知，只需判断方程组 是否有解，易知当时，方程组成立，即可求证解：（1）点P，Q都在曲线C：（为参数）上，且点P对应的参数与点Q对应的参数满足2（02），P（4cos，2sin），Q（4cos2，2sin2），M为PQ的中点，M（2cos+2cos2，sin+sin2），故点M的轨迹方程为，（02，为参数）（2）证明：由题意可知，只需判断方程组 是否有解，易知当时，方程组成立，故点M的轨迹经过坐标原点O选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+a|b的解集为（1，3）（1）求a，b的值；（2）求的最大值【分析】（1）直接解出不等式|x+a|b，然后根据其解集为（1，3），得到关于a，b的方程组，再解方程组得到a，b的值；（2）根据根式的特点运用柯西不等式即可得到最大值解：（1）由|x+a|b，得baxba不等式的解集为（1，3），a2，b1（2）+3，当且仅当，即t2时等号成立，的最大值为3
