1、第8节 曲线与方程,最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.,知 识 梳 理,1.曲线与方程的定义,一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：,这个方程的解,那么，这个方程叫作_，这条曲线叫作_.,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,2.求动点的轨迹方程的基本步骤,微点提醒,1.“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交点
2、与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件.( ) (2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线.( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( ),答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修21P8485讲解引申)已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，则动点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲
3、线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 解析 由于|PM|PN|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线. 答案 C,3.(选修21P8485讲解引申)已知A(2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是_.,答案 (x2)2y24(y0),A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线,答案 D,A.任意实数a方程表示椭圆 B.存在实数a方程表示椭圆 C.任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线 解析 当a0且a1时，方程表示椭圆，故选B. 答案 B,答案 2xy20,考点一 直接法求轨迹方
4、程,答案 (1)C (2)y212x(x0)或y0(x0),规律方法 利用直接法求轨迹方程 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题：在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.,【训练1】 设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则点P的轨迹方程是( ) A.y22x B.(x1)2y24 C.y22x D.(x1)2y22,解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，
5、则MAPA，且|MA|1， 又|PA|1，,即|PM|22，(x1)2y22. 答案 D,考点二 相关点(代入)法求轨迹方程,答案 C,设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)， 设点M的坐标为(x，y)，,答案 y24x,考点三 定义法求轨迹方程 典例迁移 【例3】 (经典母题)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.,解 由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM
6、|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2.,【迁移探究1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为_.,解析 由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22，即|PN|PM|2，又|MN|2，所以点P的轨迹方程为y0(x2). 答案 y0(x2),【迁移探究2】 把本例中圆M的方程换为：(x3)2y21，圆N的方程换为：(x3)2y21，则圆心P的轨迹方程为_.,【迁移探究3】
7、 在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x1相切，则圆心P的轨迹方程为_. 解析 由于点P到定点N(1，0)和定直线x1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y24x. 答案 y24x,规律方法 定义法求曲线方程的两种策略 (1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程. (2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.,【训练3】 ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的
8、轨迹方程是_.,解析 如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|， 所以|CA|CB|826，|AB|10.,思维升华 求轨迹方程的常用方法 1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程. 2.定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程. 3.相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.,易错防范 1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义. 2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.,
