1、第2课时 定点、定值、探索性问题,考点一 定点问题,(1)求动点C的轨迹方程； (2)(一题多解)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.,(2)法一 易知直线l的斜率存在，设直线l：ykxm.,依题意得(8km)24(34k2)(4m212)0， 即34k2m2.,又Q(4，4km)，,综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).,得(x0t)(4t)33x00， 即x0(1t)t24t30. 由x0的任意性，得1t0且t24t30，解得t1. 综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).,规律方法 圆锥曲线中定点问题的
2、两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,【训练1】 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； (2)若点B(1，2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBPkBQ2，求证：直线PQ过定点.,(1)解 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，代入点A(1，2)，可得a4，所以抛物线方程为y24x.,(2)证明 因为点B(1，2)在抛物线C上，所以由(1)
3、可得抛物线C的方程是y24x. 易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y2k(x1)， 将直线BP的方程代入y24x，消去y，得k2x2(2k24k4)x(k2)20.,在上述方程中，令x3，解得y2， 所以直线PQ恒过定点(3，2).,考点二 定值问题,(1)证明 k1，k2均存在，x1x20.,(2)解 当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，,当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb.,其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即b214k2.,综合，POQ的面积S为定值1.,规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：
4、待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 引起变量法：其解题流程为,【训练2】 (2019长春质量监测)已知直线l过抛物线C：x22py(p0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若点P(2，2)，过点(2，4)的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.,(1)解 由题意可知，2p2，解得p1，则抛物线的方程为x22y. (2)证明 由题易知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y4k(x2)，A(x
5、1，y1)，B(x2，y2)，,联立抛物线x22y与直线y4k(x2)的方程消去y得x22kx4k80，其中4(k24k8)0恒成立， 可得x1x22k，x1x24k8，则k1k21. 因此k1k2为定值，且该定值为1.,考点三 探索性问题,(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称. 当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t，0)满足条件， 设l的方程为yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).,其中0恒成立， 由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTSkTR0(显然TS，TR的斜率存在)，,因为R，S两点在直线yk(x1)上，所以y1k(x1
6、1)，y2k(x21)，代入得,即2x1x2(t1)(x1x2)2t0， 将代入得,则t4， 综上所述，存在T(4，0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称.,规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.,当m0时，显然不合题意. 当m0时，直线l与圆x2y21相切，,思维升华 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，
7、从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.,3.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法 (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.,易错防范 1.求范围问题要注意变量自身的范围. 2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用. 3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况. 4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.,
