1、,第1节 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系,最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程,知 识 梳 理,1.平面直角坐标系中的伸缩变换,设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.,2.极坐标系,(1)极坐标与极坐标系的概念,在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向
2、(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示).,这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.称为点M的_，称为点M的_.一般认为0.当极角的取值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角.,极径,极角,(2)极坐标与直角坐标的互化,设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面的关系式成立：,_或_,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.,3.常见曲线的极坐标方
3、程,r(02),微点提醒,关于极坐标系 1.极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，四者缺一不可. 2.由极径的意义知0，当极角的取值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径0，极角可取任意角. 3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( ),(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线.( ) 解析 (1)
4、一般认为0，当0，2)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标(0)表示的曲线是一条射线 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修44P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为( ),解析 y1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)；,答案 A,3.(选修44P15T4改编)在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是( ),答案 B,4.(2015湖南卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐
5、标方程为_. 解析 由2sin ，得22sin ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0，即x2(y1)21. 答案 x2(y1)21,5.(2014广东卷)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2cos2sin 与cos 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为_.,答案 (1，2),答案 1,考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 易错警示,(1)5x2y0；(2)x2y21.,(1)若5x2y0，则5(2x)2(3y)0， 所以5x2y0经过伸缩变换后的方程为5x3y0，为一条直线. (2)若x2y21，则(2x)2(3y
6、)21， 则x2y21经过伸缩变换后的方程为4x29y21，为椭圆.,考点二 极坐标与直角坐标的互化,曲线C的普通方程为(x1)2(y1)22， 将xcos ，ysin 代入整理得2cos 2sin 0，,直线l的极坐标方程为cos 2sin 10.,所以直线的方程可化为cos sin 2， 从而直线的直角坐标方程为xy20.,所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.,考点三 曲线极坐标方程的应用 【例31】 (2019太原二模)点P是曲线C1：(x2)2y24上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中点，将点P逆时针旋转90得到点Q，设点Q的轨迹
7、为曲线C2. (1)求曲线C1，C2的极坐标方程；,解 (1)由曲线C1的直角坐标方程(x2)2y24可得曲线C1的极坐标方程为4cos .,所以曲线C2的极坐标方程为4sin .,【例32】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4. (1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；,解 (1)设点P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10).,由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(
8、x0). (2)设点B的极坐标为(B，)(B0). 由题设知|OA|2，B4cos ，,因为xcos ，ysin ，,思维升华 1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以等 2.直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的步骤：,易错防范 1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可 2平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一当规定0，02，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点 3进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意，的取值范围及其影响 (2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.,
