1、20192020学年第一学期期末调研考试高二数学(文科)一选择题1.已知命题:，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题求解即可.【详解】解：因为命题:，则，故选：B.【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定，属基础题.2.已知，是正实数，则“，成等差数列”是“，成等比数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由对数的运算结合等差、等比数列的定义运算即可得解.【详解】解：若，成等差数列，则，所以，即正实数，成等比数列.若正实数，成等比数列，则，所以，即.所以“，
2、成等差数列”是“正实数，成等比数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了对数的运算及等差、等比数列的定义，重点考查了充分必要条件，属基础题.3.已知数列是等差数列，且，则数列的前9项和（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】由已知条件列方程组，再结合等差数列求和公式运算即可得解.【详解】解：由条件知，解得所以.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法，重点考查了等差数列求和公式，属基础题.4.双曲线(，)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】先由双曲线渐近线方程求得，再结合双曲线离心率求解即
3、可.【详解】解：由双曲线(，)的一条渐近线方程为可得，则，所以.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.5.已知实数，满足则的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义求解即可.【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由目标函数的几何意义，平移直线至点时，取得最大值，所以.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，重点考查了作图能力，属中档题.6.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别讨论当时，当时，结合二次不
4、等式的解法求解即可.【详解】解：当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，此时，解得.所以原不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.7.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，然后求切线方程即可.【详解】解：因为，所以，所以切线的斜率，所以切线方程为，即.故选：D.【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了导数的几何意义，属基础题.8.一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东方向10海里处有一灯塔，
5、继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ）A. 17海里B. 16海里C. 15海里D. 14海里【答案】D【解析】【分析】先阅读题意，再在中利用余弦定理求解即可.【详解】解：记轮船行驶到某处的位置为，灯塔的位置为，20分钟后轮船的位置为，如图所示.则， ，所以，所以，即20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理，重点考查了解斜三角形，属中档题.9.已知抛物线:()的焦点为，点在抛物线上，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线的定义可得，则有，得解.【详解】解：过作准线的垂线，交准线于，过作的垂线，交于，依题得，因为，所以故选
6、：C.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的几何性质，属基础题.10.函数的极大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用导数求函数的单调区间，再结合单调区间求极值即可.【详解】解：函数定义域为，且，令，则，.当时，.；当时，:当时，.即函数的增区间为，减区间为，所以函数的极大值为.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了利用导数求函数的极值，属中档题.11.已知过原点的直线与抛物线:的一个交点为(与不重合)，过抛物线的焦点作平行于的直线，与抛物线交于点，若，则点的坐标为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】【分
7、析】由直线与抛物线的位置关系及抛物线焦点弦长的求法，设直线的斜率为，则，再将已知条件代入求解即可.【详解】解：设直线的斜率为()，则直线的方程为，联立得.过抛物线的焦点作平行于的直线，与抛物线交于点，则直线的方程为.联立整理得.设，则，则.所以，解得，故点的坐标为或.故选：A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了抛物线焦点弦长的求法，属中档题.12.已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且不等式恒成立，设函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的偶函数，可得函数也是偶函数，再利用导数可得函数在上为增函数，则不等式可化为，再求解即可
8、.【详解】解：函数，则由是定义在上的偶函数，可得函数也是偶函数，且，所以，则原不等式可变形为.当时，所以函数在上为增函数，所以不等式可化为或或.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的综合问题，属中档题.二填空题13.已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列，则_.【答案】1【解析】【分析】由等差数列和等比数列的性质运算即可得解.【详解】由题意可得，即，解得.故答案为：1.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题.14.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数恰好有三个单调区间等价于有两个不等实数解，再利用判别式求解即可.【
9、详解】解：由题意知，由函数恰好有三个单调区间，得有2个不同的实根，所以需满足且方程的，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的综合问题，属中档题.15.已知数列首项，则的通项_.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得，再利用等差数列通项公式的求法求解即可.【详解】解：由两边同除以可得，即，所以数列以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查的是等差数列通项的求法，重点考查了运算能力，属中档题.16.在中，角，的对边分别为，已知，则_.【答案】【解析】【分析】由二次方程有解可得，再利用三角函数的有界性可得，则有，
10、再结合正弦定理运算即可得解.【详解】解：把看成关于的二次方程，则由，即得，而，则.由于，可得，可得，即，代入方程，可得，所以.正弦定理可得，所以.又因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查解斜三角形，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.三解答题17.已知:方程表示焦点在轴上的椭圆.；:不等式有解.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别讨论当时，当时，利用方程有解求实数取值范围即可；（2）先求出均为真命题时实数的取值范围，再结合与必然一真一假，求解即可得解.【详解】（1）当时，不等式显然有解，当时
11、，有解.当时，因为有解，所以，所以.所以当为真命题时，的取值范围为.（2）因为“”为假命题，“”为真命题，所以与必然一真一假.若:方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题，方程可化为，则需.由(1)知，若为真，则.所以或，解得或.所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、重点考查了不等式以及常用逻辑用语，属基础题.18.已知，.（1）若，求在上的最大值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由导函数可得在上单调递减，在上单调递增.再求函数在上的最大值即可；（2）在区间上单调递增等价于在恒成立，再利用最值法运算即可得解.【详解】解：（1）若，.所以
12、.令得或.由得或.；由得.所以在上单调递减，在上单调递增.又因为，所以在上的最大值为.（2）.要使在区间上单调递增，只需在恒成立即可.当时，由于在单调递增，所以的最小值为.令，得.所以当时在区间上单调递增.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题.19.记等差数列的前项和为，已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式.；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先设数列的公差为，数列的公比为()，再结合已知条件求解即可.（2）由数列为等差比数列，则用错位相减法求和即可得解.【详解】（1）设数列的公差为，数列
13、的公比为().由，得，解得(负值舍去)所以，（2）由（1）可知，所以.所以.由-可得.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项，重点考查了错位相减法求和，属中档题.20.在中，角，的对边分别为，已知.（1）若，求的值.；（2）若的平分线交于，且，求的最小值.【答案】（1）1（2）9【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，再结合余弦定理可得，得解；（2）由三角形面积公式可得，再结合基本不等式的应用求解即可.【详解】解：（1）由正弦定理，得，即.由余弦定理得，又，所以.所以.（2）由题意得，即.所以，即.则，当且仅当，即，时取等号.故的最小值为9.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，重点考
14、查了三角形面积公式及基本不等式的应用，属中档题.21.已知椭圆:()的一个顶点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为4.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，点为椭圆长轴的右端点，当的面积为时，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由椭圆的定义及离心率的求法求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即可.【详解】解：（1）由题意得，则，设椭圆的半焦距为.所以，椭圆的方程为.所以椭圆的离心率.（2）由得.设点，的坐标分别为，则，.所以.点到直线的距离.所以的面积.由，解得.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，重点考查了
15、直线与椭圆的位置关系及弦长公式，属中档题.22.已知函数的图象在点处的切线为.（1）求的值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）先求导函数，再结合函数的图象在点处的切线为，则，再求解即可；（2）原不等式可转化为()恒成立，再设()，然后利用导数求函数最小值即可.【详解】解：（1）由已知可得.函数的图象在点处的切线的斜率，所以.所以切点坐标为，代入切线方程，可得.所以.（2）由（1）知.所以对任意的恒成立，即()恒成立，即()恒成立.令()，所以即可. .设()，则，所以在上单调递增.所以当时，单调递增，所以.所以在上，在上.所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值，所以.所以实数的取值范围为.【点睛】本题考査利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立的综合问题，属综合性较强的题型.
