1、数学一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合，然后直接求即可 .【详解】解：，故选A.【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2.已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求解.【详解】角的终边经过点,所以到原点的距离为 根据三角函数定义得到： ，；故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义.3.函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令对数的真数大于0，分母不等于0，列出不等式组，即可得到答案【详解】要使函数有意义，需满足，解得且故选C.【点睛】本题考查函数的定
2、义域，求解时常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0、对数的真数大于0、底数大于0且不等于1、分母不为0等，注意函数的定义域是以集合形式或区间形式表示4.已知，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将已知等式两边同时平方求解.【详解】,即,故选:C.【点睛】本题考查同角三角函数关系,考查计算能力.5.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为匀速骑车，所以时间与路程的关系是线性关系，又中间阻塞，故一段时间内路程不增加，符合题意的图象只能选A.6.已知，则
3、，的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将化为同底的数,则利用指数函数的单调性可以比较的大小,再将数与0,1比较大小,即可得出结论.【详解】由题知,又,所以,故选:B.【点睛】本题考查指数对数式比较大小,属于基础题.7.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出扇形的半径为，再结合弧长公式求解即可.【详解】解：设扇形的半径为，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得，由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是，故选：B.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力
4、，属基础题.8.如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论.【详解】因为点是边上靠近的三等分点,所以,所以,故选:A.【点睛】本题考查向量加减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理.9.已知函数对于区间上任意的，均满足，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可知在区间上单调递减,再结合的单调递减区间为,即可列出不等式求解.【详解】因为函数对于区间上任意的,均满足,所以函数在区间上单调递减,又,其单调递减区间为,所以,故选:
5、A.【点睛】本题考查已知函数单调性求参,属于简单题.解此类题要明确“函数在区间上单调”和“函数的单调区间是”之间的区别联系.10.设函数，则下列结论错误的是( )A. 的一个周期为B. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到C. 的图象关于直线对称D. 的一个零点为【答案】C【解析】【分析】根据函数的性质,一一分析选项正误即可.【详解】的最小正周期,则其周期为,故选项A正确;的图象向左平移个单位后得到函数,故选项B正确;当时,故选项C错误;当时,故选项D正确;故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像性质的综合应用,需要学生对知识掌握熟练且灵活运用.11.已知函数，若函数y=f（x）m有三个不同
6、的零点，则实数m的取值范围是（ ）A. 1，2B. 1，2）C. （1，2D. （1，2）【答案】D【解析】【分析】画出函数yf（x）与ym的图象，由图象可得m的取值范围.【详解】画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，函数y=f（x）m有三个不同的零点，函数y=f（x）与y=m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（1，2）.故选:D【点睛】本题考查了利用函数图像判断函数的零点及分段函数的应用，属于基础题12.若实数满足，则称是函数的不动点，给出以下说法：函数的不动点为，；函数的不动点为，则，；函数的不动点，则；函数没有不动点，则.其中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】
7、B【解析】【分析】根据题设新定义一一分析4个说法的正误即可.【详解】令,解得或,故其不动点,则错误;函数的不动点为,即的解为,所以,故正确;令,即,设,显然在定义域上单调递增,故其最多有一个零点,因为,所以的零点,即不动点,故正确;若函数没有不动点,则方程,即无解,所以,解得,故错误;故选:B.【点睛】本题以新定义为背景,考查函数的各项性质,属于综合应用题,需要学生有一定的计算分析能力.二、填空题13.若函数，则_.【答案】3【解析】【分析】根据的解析式代数计算即可.【详解】因为,所以,故答案为:3.【点睛】本题考查分段函数求值,属于简单题.14.函数的单调递减区间为_.【答案】【解析】【分析
8、】根据三角函数的性质,令,再求解即可.【详解】,令,解得,故函数的单调递减区间为,故答案为:.【点睛】本题考查求复合型三角函数的单调区间,属于简单题.此类题求解时注意,复合函数的单调性遵循同增异减法则.15.已知，且，则_【答案】【解析】因为，所以，所以，故填16.函数的图像与函数的图像的所有交点为，则_【答案】【解析】如下图，画出函数 和 图象，可知有4个交点，并且关于点 对称，所以 ， ，所以 .【点睛】本题考查了函数图像的应用，是高考热点，当涉及函数零点个数时，可将问题转化为两个函数图像的交点个数，或是多个零点和的问题，那就需观察两个函数的函数性质.，比如对称性等，帮助解决问题.三、解答
9、题17.已知向量，向量.(1)求向量的坐标；(2)求向量与向量夹角的余弦值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)直接根据向量的坐标运算法则求解即可;(2)利用数量积公式,结合坐标运算求解即可.【详解】(1)因为,所以,即(2)因为,所以,所以向量与向量夹角的余弦值为.【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.18.已知集合，.(1)求集合；(2)已知集合，若，求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2)【解析】【分析】(1)先化简集合,再进行计算即可;(2)若,则,然后分和两种情况,分别列出不等式求解即可.【详解】(1),或,或,(2)若,则,若,则,符合题意;若,则依据题意有:,综
10、上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的运算,考查利用集合关系求参,难度不大.在推出时,不要忘记讨论的情况.19.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由,可以利用诱导公式计算出,再根据角所在象限确定,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式,所以;(2)由诱导公式可知,即,又是第三象限角,所以,所以.【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.20.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)用单调性
11、定义证明函数在区间上是增函数.【答案】(1) ;(2)证明见详解.【解析】分析】(1)根据奇函数的性质,可知,再利用时的解析式,求出时的解析式即可;(2)直接利用定义法证明即可.【详解】(1)是定义在上的奇函数,故,当时,所以当时,所以,因此,;(2)任取,则,则所以,即,所以函数在区间上是增函数.【点睛】本题考查奇偶性的应用以及定义法证明单调性,难度不大.利用奇偶性求解析式时,注意时的情况,不要遗漏.21.某批发市场一服装店试销一种成本为每件元的服装规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的，经试销发现销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，.(1)求一次函数的解
12、析式，并指出的取值范围；(2)若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，可获得最大利润最大利润是多少元？【答案】(1),;(2)时,.【解析】【分析】(1)根据题意先确定的取值范围,再利用待定系数法求解即可;(2)根据题意表示出利润=销售额-成本,整理后根据二次函数性质求出最值即可.【详解】(1)由销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本,可知,又由时,;时,可得,所以,其中;(2)由(1)可知,即,所以当时,取得最大值,为,即销售单价定为84元时,可获得最大利润,最大利润是864元.【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式,考查了二次函数模型在实际中的
13、应用.答题需要学生联系实际生活,理清逻辑关系.22.已知函数（，且）是定义在上的奇函数.(1)若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)若且在上的最小值为0，求实数的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先根据奇函数的性质求出,再研究的单调性,结合奇偶性解不等式即可;(2)先根据求出,然后代入中,利用换元法转换为二次函数的最值问题求解.【详解】(1)因为函数是定义在上的奇函数,所以,即,解得,所以,若,则,解得,所以在上单调递减,又,所以,所以,因为,所以,即;(2)由(1)知,若,即,所以,所以,令,则,所以,当时,或(舍);当时,(舍);综上所述,.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合运用,考查了换元法,属于中档题.遇见复杂的函数模型问题时,常可用换元法转换成简单模型问题.
