1、2014年普通高等招生全国统一考试(课标全国)数学(文科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国,文1)已知集合M=x|-1x3,N=x|-2x1,则MN=().A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)答案:B解析:由已知得MN=x|-1x0,则().A.sin 0B.cos 0C.sin 20D.cos 20答案:C解析:由tan 0知角是第一或第三象限角,当是第一象限角时,sin 2=2sin cos 0;当是第三象限角时,sin 0,cos 0,故选C.3.(2014课标全国,文3)设
2、z=11+i+i,则|z|=().A.12B.22C.32D.2答案:B解析:因为z=11+i+i=1-i(1+i)(1-i)+i=1-i2+i=12+12i,所以|z|=12+12i=122+122=22,故选B.4.(2014课标全国,文4)已知双曲线x2a2-y23=1(a0)的离心率为2,则a=().A.2B.62C.52D.1答案:D解析:由已知得a2+3a=2,且a0,解得a=1,故选D.5.(2014课标全国,文5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C
3、.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案:C解析:由于f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,于是f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-f(x)g(x),因此f(x)g(x)是奇函数,故A错;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),因此|f(x)|g(x)是偶函数,故B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-f(x)|g(x)|,因此f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,因此|f(x)g(x)|是偶函
4、数,故D错.6.(2014课标全国,文6)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=().A.ADB.12ADC.BCD.12BC答案:A解析:由于D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-12(BA+CA)=12(AB+AC)=122AD=AD,故选A.7.(2014课标全国,文7)在函数y=cos|2x|,y=|cos x|,y=cos2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期为的所有函数为().A.B.C.D.答案:A解析:由于y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为22=;由函数y=|cos
5、 x|的图象易知其周期为;函数y=cos2x+6的周期为22=;函数y=tan2x-4的周期为2,故最小正周期为的函数是,故选A.8.(2014课标全国,文8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是().A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案:B解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).9.(2014课标全国,文9)执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=().A.203B.72C.165D.158答案:D解析:第一次执行循环体时,n=1,M=1+12=32,a=2,b=32;第二次执行循环体时,n=2,M=
6、2+23=83,a=32,b=83;第三次执行循环体时,n=3,M=32+38=158,a=83,b=158,这时n=4,跳出循环.输出M的值158.10.(2014课标全国,文10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=().A.1B.2C.4D.8答案:A解析:由抛物线方程y2=x知,2p=1,p2=14,即其准线方程为x=-14.因为点A在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+p2=x0+14,于是54x0=x0+14,解得x0=1,故选A.11.(2014课标全国,文11)设x,y满足约束条件x+ya,x-y-1,且z=x+ay的
7、最小值为7,则a=().A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案:B解析:当a=0时显然不满足题意.当a0时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,因此当直线y=-1ax+1az经过可行域中的Aa-12,a+12时,z取最小值,于是a-12+aa+12=7,解得a=3(a=-5舍去);当a0,则a的取值范围是().A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)答案:C解析:当a=0时,f(x)=-3x2+1存在两个零点,不合题意;当a0时,f(x)=3ax2-6x=3axx-2a,令f(x)=0,得x1=0,x2=2a,所以f(x)在
8、x=0处取得极大值f(0)=1,在x=2a处取得极小值f2a=1-4a2,要使f(x)有唯一的零点,需f2a0,但这时零点x0一定小于0,不合题意;当a0,解得a2舍去),且这时零点x0一定大于0,满足题意,故a的取值范围是(-,-2).第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国,文13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.答案:23解析:记两本数学书分别为a1,a2,语文书为b,则3本书一共有6种不同的
9、排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本数学书相邻的排法有4种:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率为46=23.14.(2014课标全国,文14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案:A解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.15.
10、(2014课标全国,文15)设函数f(x)=ex-1,x1,x13,x1,则使得f(x)2成立的x的取值范围是.答案:(-,8解析:当x1时,由f(x)=ex-12,解得x1+ln 2,又x1,所以x的取值范围是x1;当x1时,由f(x)=x132,解得x8,又x1,所以x的取值范围是1x8.综上,x的取值范围是x8,即(-,8.16.(2014课标全国,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.答案:150解析:在RtABC中
11、,由于CAB=45,BC=100 m,所以AC=1002 m.在MAC中,AMC=180-75-60=45,由正弦定理可得ACsinAMC=MAsinMCA,于是MA=10023222=1003(m).在RtMNA中,MAN=60,于是MN=MAsinMAN=100332=150(m),即山高MN=150 m.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国,文17)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n的前n项和.分析:在第(1)问中,通过解出方程的根并结合an是递增数列可
12、确定出a2与a4的值,然后设出an的公差,通过解方程得出a1与d的值,从而求得an的通项公式;在第(2)问中,由第(1)问的结果写出an2n的通项公式,考虑到该数列是由一个等差数列和一个等比数列对应的项相乘得到.因此应采用乘公比错位相减法求其前n项和.解:(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列an的公差为d,则a4-a2=2d,故d=12,从而a1=32.所以an的通项公式为an=12n+1.(2)设an2n的前n项和为Sn,由(1)知an2n=n+22n+1,则Sn=322+423+n+12n+n+22n+1,12Sn=323+424+n+12n+1+
13、n+22n+2.两式相减,得12Sn=34+123+12n+1-n+22n+2=34+141-12n-1-n+22n+2.所以Sn=2-n+42n+1.18.(本小题满分12分)(2014课标全国,文18)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)频数62638228(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“
14、质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?分析:在第(1)问中,按照画频率分布直方图的步骤,先求出各组的频率,再结合组距求出各个小矩形的高即可作出各个小矩形,从而作出频率分布直方图;在第(2)问中,可结合提示与(1)中的频率分布直方图,根据平均数与方差的计算公式代入相关数据进行求解;第(3)问主要考查用样本估计总体,可通过样本数据中“质量指标值不低于95”的频率是否大于0.8来作出判断.解:(1)(2)质量指标值的样本平均数为x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(-20)20.06+(-10)20.
15、26+00.38+1020.22+2020.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.19.(本小题满分12分)(2014课标全国,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.分析
16、:在第(1)问中,要证B1CAB,应证明B1C与AB所在的某个平面垂直.结合已知条件知应考虑平面ABO.这是因为由BB1C1C为菱形可知B1CBC1.又AO平面BB1C1C,必有AOB1C,即得证;在第(2)问中,三棱柱的高即为两底面ABC与A1B1C1之间的距离,可转化为点B1到平面ABC的距离求解,又考虑到O为B1C的中点,因此可先求点O到平面ABC的距离,这时只需根据面面垂直的性质作出点O到平面ABC的垂线,结合已知即可求出点O到平面ABC的距离,从而可得三棱柱的高.解:(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所
17、以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)作ODBC,垂足为D,连接AD.作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=34.由于ACAB1,所以OA=12B1C=12.由OHAD=ODOA,且AD=OD2+OA2=74,得OH=2114.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为217.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为217.20.(本小题满分12分)(2014课标全国,文20)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y
18、=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.分析:在第(1)问中,由于圆心C及点P的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到CMMP,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点M的坐标所满足的等式,从而得到点M的轨迹方程;在第(2)问中,结合(1)的结论可知点M的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与l垂直,由此求出直线l斜率从而得到其方程,同时可求得POM的面积.解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(
19、2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以POM的面积为165.21.(本小题满分12分)(2014课标全国,文21)设函数f(x)=aln x+1-a2x
20、2-bx(a1),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x01,使得f(x0)aa-1,求a的取值范围.分析:在第(1)问中,根据导数的几何意义将问题转化为f(1)=0,即可求出b的值;在第(2)问中,将条件“存在x01,使得f(x0)aa-1”转化为“在1,+)上,f(x)min0,f(x)在(1,+)单调递增.所以,存在x01,使得f(x0)aa-1的充要条件为f(1)aa-1,即1-a2-1aa-1,解得-2-1a2-1.若12a1,故当x1,a1-a时,f(x)0.f(x)在1,a1-a单调递减,在a1-a,+单调递增.所以,存在x01,使得f(x
21、0)aa-1的充要条件为fa1-aaa-1,所以不合题意.若a1,则f(1)=1-a2-1=-a-120,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.分析:在第(1)问中,根据基本不等式,结合已知条件中的等式可推得ab的最小值,然后再对a3+b3运用基本不等式,结合ab的最小值即可求得a3+b3的最小值;在第(2)问中,可考虑根据基本不等式求出2a+3b的取值范围,即可作出相应的判断.解:(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b32a3b342,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b26ab43.由于436,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
