1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014山东,理1)已知a,bR,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案:D解析:由a-i与2+bi互为共轭复数,可得a=2,b=1.所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.2.(2014山东,理2)设集合A=x|x-1|2,B=y|y=2x,x0,2,则AB=().A.0,2B.(1,3)C.1,3)D.(1
2、,4)答案:C解析:由题意,得A=x|x-1|2=x|-1x1,且x0,即log2x1或log2x2或0x12.所以函数f(x)的定义域为0,12(2,+).4.(2014山东,理4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是().A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.5.(2014山东,理5)已知实数x,y满足axay(0a1y2+1B
3、.ln(x2+1)ln(y2+1)C.sin xsin yD.x3y3答案:D解析:由axay(0ay.又因为函数f(x)=x3在R上递增,所以f(x)f(y),即x3y3.6.(2014山东,理6)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().A.22B.42C.2D.4答案:D解析:由y=4x,y=x3,解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=02 (4x-x3)dx=2x2-14x402=222-1424-0=4.7.(2014山东,理7)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数
4、据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为().A.6B.8C.12D.18答案:C解析:设样本容量为n,由题意,得(0.24+0.16)1n=20,解得n=50.所以第三组频数为0.36150=18.因为第三组中没有疗效的有6人,所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.8.(2014山东,理8)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(
5、x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是().A.0,12B.12,1C.(1,2)D.(2,+)答案:B解析:画出f(x)=|x-2|+1的图象如图所示.由数形结合知识,可知若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点.所以函数g(x)=kx的图象应介于直线y=12x和y=x之间,所以k的取值范围是12,1.9.(2014山东,理9)已知x,y满足约束条件x-y-10,2x-y-30,当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为().A.5B.4C.5D.2答案:B解析:约束条件x-y-10,2
6、x-y-30满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=25,则b=25-2a,所以a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=5a-4552+4,即当a=455,b=255时,a2+b2有最小值4.10.(2014山东,理10)已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为().A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案:A解析:由题意,知椭圆C1的离心率e1=a2-b2a,双曲线C
7、2的离心率为e2=a2+b2a.因为e1e2=32,所以(a2-b2)(a2+b2)a2=32,即(a2-b2)(a2+b2)a4=34,整理可得a=2b.又双曲线C2的渐近线方程为bxay=0,所以bx2by=0,即x2y=0.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014山东,理11)执行下面的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为.答案:3解析:输入x=1,12-4+30,则x=2,n=1;返回22-8+30,则x=3,n=2;返回32-12+30,则x=4,n=3;返回42-16+30,则输出n=3,结束.12.(2014山东,理12)在A
8、BC中,已知ABAC=tan A,当A=6时,ABC的面积为.答案:16解析:由ABAC=tan A,可得|AB|AC|cos A=tan A.因为A=6,所以|AB|AC|32=33,即|AB|AC|=23.所以SABC=12|AB|AC|sin A=122312=16.13.(2014山东,理13)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=.答案:14解析:由题意,知VD-ABE=VA-BDE=V1,VP-ABC=VA-PBC=V2.因为D,E分别为PB,PC中点,所以SBDESPBC=14.设点A到平面PBC的距
9、离为d,则V1V2=13SBDEd13SPBCd=SBDESPBC=14.14.(2014山东,理14)若ax2+bx6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.答案:2解析:ax2+bx6的展开式的通项为Tr+1=C6r(ax2)6-rbxr=C6ra6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3.由C6ra6-rbr=C63a3b3=20,得ab=1.所以a2+b22ab=21=2.15.(2014山东,理15)已知函数y=f(x)(xR).对函数y=g(x)(xI),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(xI).y=h(x)满足:对任意xI,两个点(x
10、,h(x),(x,g(x)关于点(x,f(x)对称.若h(x)是g(x)=4-x2关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.答案:(210,+)解析:由已知得h(x)+4-x22=3x+b,所以,h(x)=6x+2b-4-x2.h(x)g(x)恒成立,即6x+2b-4-x24-x2恒成立,整理得3x+b4-x2恒成立.在同一坐标系内,画出直线y=3x+b及半圆y=4-x2(如图所示),当直线与半圆相切时,|30-0+b|1+32=2,所以|b|=210.故b的取值范围是(210,+).三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(
11、2014山东,理16)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=ab,且y=f(x)的图象过点12,3和点23,-2.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标运算整理出f(x)的解析式,再由图象过两点,代入整理可得关于m,n的方程组,利用此方程组即得m,n的值.在第(2)问中,通过图象平移知识,可得含参数的g(x)的解析式,从中设出最高点,然后根据两点距离为1,可确定最高点
12、的坐标,代入可求出g(x)确定的解析式,从而求出单调区间.解:(1)由题意知f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x.因为y=f(x)的图象过点12,3和23,-2,所以3=msin6+ncos6,-2=msin43+ncos43,即3=12m+32n,-2=-32m-12n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.由题意知g(x)=f(x+)=2sin2x+2+6.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin2
13、+6=1,因为0,所以=6.因此g(x)=2sin2x+2=2cos 2x,由2k-2x2k,kZ,得k-2xk,kZ,所以函数y=g(x)的单调递增区间为k-2,k,kZ.17.(本小题满分12分)(2014山东,理17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,DAB=60,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M平面A1ADD1;(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.分析:在第(1)问中,可考虑线面平行的判定定理,即从平面A1ADD1中找一条线与C1M平行,显然可找线AD1,再通过证
14、明四边形AMC1D1为平行四边形来达到求证目的.在第(2)问中,方法一:可以点C为原点建立空间直角坐标系,求出平面C1D1M和平面ABCD的法向量,则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值.方法二:平面C1D1M即为平面ABC1D1,则平面C1D1M与平面ABCD所成角的棱为AB,又已知CD1平面ABCD,故可过C向棱AB作垂线,垂足为N,连接D1N,则可证D1NC为二面角的平面角,进而在RtD1CN中求D1NC的余弦值即可.(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,且AB=2CD,所以ABDC.又由M是AB的中点,因此CDMA且CD=MA.连接AD1,在四棱柱ABCD-A1B
15、1C1D1中,因为CDC1D1,CD=C1D1,可得C1D1MA,C1D1=MA,所以四边形AMC1D1为平行四边形.因此C1MD1A,又C1M平面A1ADD1,D1A平面A1ADD1,所以C1M平面A1ADD1.(2)解法一:连接AC,MC,由(1)知,CDAM且CD=AM,所以四边形AMCD为平行四边形.可得BC=AD=MC,由题意ABC=DAB=60,所以MBC为正三角形,因此AB=2BC=2,CA=3,因此CACB.以C为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.所以A(3,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,3).因此M32,12,0,所以MD1=-32,-12,3,D1
16、C1=MB=-32,12,0.设平面C1D1M的一个法向量n=(x,y,z),由nD1C1=0,nMD1=0,得3x-y=0,3x+y-23z=0,可得平面C1D1M的一个法向量n=(1,3,1).又CD1=(0,0,3)为平面ABCD的一个法向量.因此cos=CD1n|CD1|n|=55.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55.解法二:由(1)知平面D1C1M平面ABCD=AB,过C向AB引垂线交AB于N,连接D1N.由CD1平面ABCD,可得D1NAB,因此D1NC为二面角C1-AB-C的平面角.在RtBNC中,BC=1,NBC=60,可得CN=32.所以ND1=C
17、D12+CN2=152.在RtD1CN中,cosD1NC=CND1N=32152=55.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55.18.(本小题满分12分)(2014山东,理18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为12,在D上的概率为13;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为15,在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A,B
18、上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.分析:第(1)问中,恰有一次落在乙上可分为两种情况,第种,从A击球落在乙上,从B击球没落在乙上;第种,从B击球落在乙上,从A击球没落在乙上,将两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率.第(2)问中,根据事件的独立性与互斥性,可得出,得0分情形为A,B处都不得分;得1分情形为A处得1分B处不得分或A处不得分B处得1分;得2分情形为A,B两处各得1分;得3分情形为A处得3分B处得0分或A处得0分B处得3分;得4分情形为A处得3分B处得1分或A处得1分
19、B处得3分;得6分情形为A,B两处都得3分,共6种情形.列出小明得分之和的分布列便可求出期望.解:(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=12,P(A1)=13,P(A0)=1-12-13=16;记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=15,P(B1)=35,P(B0)=1-15-35=15.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+
20、P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=1215+1315+1635+1615=310,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意,随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=1615=130,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=1315+1635=16,P(=2)=P(A1B1)=1335=15,P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=1215+151
21、6=215,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=1235+1315=1130,P(=6)=P(A3B3)=1215=110.可得随机变量的分布列为:012346P13016152151130110所以数学期望E()=0130+116+215+3215+41130+6110=9130.19.(本小题满分12分)(2014山东,理19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(-1)n-14nanan+1,求数列bn的前n项和Tn.分析:第(1)问中可利用等差数列知识,用首项与公差表示出前
22、n项和,再根据S1,S2,S4成等比数列求出首项,从而求得an.求第(2)问时,可结合第(1)问中an的结果得出bn的通项公式,最后对项数n按奇数和偶数两种情况讨论并求出bn的前n项和Tn.解:(1)因为S1=a1,S2=2a1+2122=2a1+2,S4=4a1+4322=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-14nanan+1=(-1)n-14n(2n-1)(2n+1)=(-1)n-112n-1+12n+1.当n为偶数时,Tn=1+13-13+15+12n-3+12n-1-12n-1+12n+1=1-12n+
23、1=2n2n+1.当n为奇数时,Tn=1+13-13+15+-12n-3+12n-1+12n-1+12n+1=1+12n+1=2n+22n+1.所以Tn=2n+22n+1,n为奇数,2n2n+1,n为偶数.或Tn=2n+1+(-1)n-12n+1.20.(本小题满分13分)(2014山东,理20)设函数f(x)=exx2-k2x+lnx(k为常数,e=2.718 28是自然对数的底数).(1)当k0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.分析:第(1)问中可先求出f(x)的导函数f(x),再解不等式f(x)0和f(x)0,再具体讨论k值,
24、要使f(x)在(0,2)内有两个极值点,则f(x)在(0,2)内必须出现增减增或减增减,即导函数f(x)出现正负正或者负正负.据此可列出不等式,最后求得k的取值范围.解:(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+).f(x)=x2ex-2xexx4-k-2x2+1x=xex-2exx3-k(x-2)x2=(x-2)(ex-kx)x3.由k0可得ex-kx0,所以当x(0,2)时,f(x)0,函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+).(2)由(1)知,当k0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k0时,设函
25、数g(x)=ex-kx,x0,+).因为g(x)=ex-k=ex-eln k,当00,y=g(x)单调递增,故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;当k1时,得x(0,ln k)时,g(x)0,函数y=g(x)单调递增.所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k).函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,当且仅当g(0)0,g(lnk)0,0lnk2,解得ek0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1l,且l1和C有且只
26、有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标;ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.分析:在第(1)问中,可设D(t,0),然后根据抛物线定义以及|FA|=|FD|建立t与p的关系,再由ADF为正三角形求出p的值,即得C的方程.在第(2)问中,利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标,再设出A点,利用与F点关系求出点D,从而确定l的斜率.根据l1与抛物线只有一个交点知,联立l1与抛物线方程便只有一解.求出点E坐标,从而求得AE直线方程,结合方程特点,确定l1过定点.最后利用点到直线的距离公式与基本不等式,可求出ABE面积的最小值.解:(1)由题意知Fp2,0,
27、设D(t,0)(t0),则FD的中点为p+2t4,0.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+p2=t-p2,解得t=3+p或t=-3(舍去).由p+2t4=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1.由xD0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-y02.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-y02x+b,代入抛物线方程得y2+8y0y-8by0=0,由题意=64y02+32by0=0,得b=-2y0.设E
28、(xE,yE),则yE=-4y0,xE=4y02.当y024时,kAE=yE-y0xE-x0=-4y0+y04y02-y024=4y0y02-4,可得直线AE的方程为y-y0=4y0y02-4(x-x0),由y02=4x0,整理可得y=4y0y02-4(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当y02=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).由知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+1x0+1=x0+1x0+2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=x0-1y0.设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-y02(x-x0),由于y00,可得x=-2y0y+2+x0,代入抛物线方程得y2+8y0y-8-4x0=0.所以y0+y1=-8y0,可求得y1=-y0-8y0,x1=4x0+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d=4x0+x0+4+my0+8y0-11+m2=4(x0+1)x0=4x0+1x0.则ABE的面积S=124x0+1x0x0+1x0+216,当且仅当1x0=x0,即x0=1时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16.
