1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国)数学(理科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国,理1)设集合M=0,1,2,N=x|x2-3x+20,则MN=(). A.1B.2C.0,1D.1,2答案:D解析:M=0,1,2,N=x|x2-3x+20=x|1x2,MN=0,1,2x|1x2=1,2.故选D.2.(2014课标全国,理2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=().A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案:A解析:由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i
2、,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.3.(2014课标全国,理3)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=().A.1B.2C.3D.5答案:A解析:|a+b|=10,(a+b)2=10,即a2+b2+2ab=10.|a-b|=6,(a-b)2=6,即a2+b2-2ab=6.由可得ab=1.故选A.4.(2014课标全国,理4)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=().A.5B.5C.2D.1答案:B解析:由题意知SABC=12ABBCsin B,即12=1212sin B,解得sin B=22.B=45或B=135.当B=4
3、5时,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=12+(2)2-21222=1.此时AC2+AB2=BC2,ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135时,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=12+(2)2-212-22=5,解得AC=5.符合题意.故选B.5.(2014课标全国,理5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是().A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案:A解析:设某天空气质量为优良为事件A,随后一天空气质量为优良为事件B,由已知得P(A)
4、=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.75=0.8,故选A.6.(2014课标全国,理6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为().A.1727B.59C.1027D.13答案:C解析:由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=326-224-322=20(cm3),原来毛坯体积V2=326=54(cm3).故所求比值为V1V2=2054=1027.7
5、.(2014课标全国,理7)执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=().A.4B.5C.6D.7答案:D解析:第一次:12成立,M=2,S=5,k=2;第二次:22成立,M=2,S=7,k=3;第三次:32不成立,输出S=7.故输出的S=7.8.(2014课标全国,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=().A.0B.1C.2D.3答案:D解析:y=ax-ln(x+1),y=a-1x+1.y|x=0=a-1=2,得a=3.9.(2014课标全国,理9)设x,y满足约束条件x+y-70,x-3y+10,3x-y-50,则z=2x-y的最
6、大值为().A.10B.8C.3D.2答案:B解析:线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.将直线l0:y=2x平行移动,当直线l0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,也就是z取最大值,此时zmax=25-2=8.10.(2014课标全国,理10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为().A.334B.938C.6332D.94答案:D解析:由已知得F34,0,故直线AB的方程为y=tan 30x-34,即y=33x-34.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=33x-34,y2=3x,将
7、代入并整理得13x2-72x+316=0,x1+x2=212,线段|AB|=x1+x2+p=212+32=12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d=3413+1=38.SOAB=12|AB|d=121238=94.11.(2014课标全国,理11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为().A.110B.25C.3010D.22答案:C解析:如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,不妨设BC=CA=CC1=1,可知点A(0,1,1),
8、N0,12,0,B(1,0,1),M12,12,0.AN=0,-12,-1,BM=-12,12,-1.cos=ANBM|AN|BM|=3010.根据AN与BM的夹角及AN与BM所成角的关系可知,BM与AN所成角的余弦值为3010.12.(2014课标全国,理12)设函数f(x)=3sinxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)2m2,则m的取值范围是().A.(-,-6)(6,+)B.(-,-4)(4,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-1)(1,+)答案:C解析:x0是f(x)的极值点,f(x0)=0,即m3cosx0m=0,得mx0=k+2,kZ,即x0=mk+12m,
9、kZ.x02+f(x0)2m2可转化为mk+12m2+3sinmmk+12m2m2,kZ,即k+122m2+3m2,kZ,即k+122k+122成立即可.又k+122的最小值为14,1-3m214,解得m2.故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国,理13)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)答案:12解析:设展开式的通项为Tr+1=C10rx10-rar,令r=3,得T4=C103x7a3,即C103
10、a3=15,得a=12.14.(2014课标全国,理14)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为.答案:1解析:f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)=sin(x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+)=sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin(x+)-=sin x.f(x)max=1.15.(2014课标全国,理15)已知偶函数f(x)在0,+)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围是.答案:(-1,3)解析:f(x)是偶函数,f(-x)=f(x)=f(
11、|x|).f(x-1)0可化为f(|x-1|)f(2).又f(x)在0,+)上单调递减,|x-1|2,解得-2x-12,即-1x3.16.(2014课标全国,理16)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是.答案:-1,1解析:如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,由圆上存在点N使OMN=45,则OMNOMP=OMA,OMA45,AOM45.当AOM=45时,x0=1.结合图象知,当AOM45时,-1x01,x0的范围为-1,1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程
12、或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国,理17)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a2+1an32.分析:在第(1)问中,通过题目给出的条件,得出an+1+12与an+12的关系,从而证明an+12是等比数列,然后再由an+12的通项公式求出an的通项公式;在第(2)问中,由第(1)问得出1an的通项公式,再通过适当放缩,结合等比数列前n项和得出结论.解:(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12
13、=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0),设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的
14、体积V=131233212=38.19.(本小题满分12分)(2014课标全国,理19)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-b
15、 t.分析:在第(1)问中,通过所给数据求出变量的平均数,然后求出公式中的有关数据,从而求出b与a,最后求出回归直线方程;在第(2)问中,根据(1)中所求方程中的b分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,将2015年的年份代号代入回归方程可预测2015年的收入情况.解:(1)由所给数据计算得t=17(1+2+3+4+5+6+7)=4,y=17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,i=17(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,i=17(ti-t)(yi-y)=(-3)(-1.4)+(-2)(-1)+(-1)(-0.7)+00.1
16、+10.5+20.9+31.6=14,b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=1428=0.5,a=y-b t=4.3-0.54=2.3,所求回归方程为y=0.5t+2.3.(2)由(1)知,b=0.50,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y=0.59+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.20.(本小题满分12分)(2014课标全国,理20)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2
17、与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.分析:在第(1)问中,根据椭圆中a,b,c的关系及题目给出的条件可知点M的坐标,从而由斜率条件得出a,c的关系,再利用离心率公式可求得离心率,注意离心率的取值范围;在第(2)问中,根据题目条件,O是F1F2的中点,MF2y轴,可得a,b之间的一个关系式,再根据条件|MN|=5|F1N|,可得|DF1|与|F1N|的关系,然后可求出点N的坐标,代入C的方程,可得a,b,c的另一关系式,最后利用a,b,c的关系式可求得结论.解:(1)根据c
18、=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12,ca=-2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|,设N(x1,y1),由题意知y10时,g(x)0,求b的最大值;(3)已知1.414 220与g(ln2)0,g(x)0;当b2时,若x满足2ex+e-x2b-2,即0xln(b-1+b2-2b)时,g(x)0.而g(0)=0,因此当0xln(b-1+b2-2b)时,
19、g(x)0,ln 282-3120.692 8;当b=324+1时,ln(b-1+b2-2b)=ln 2,g(ln2)=-32-22+(32+2)ln 20,ln 218+2280).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0及绝对值不等式的基本性质,可证得f(x)2;在第(2)问中,先由f(x)的表达式,求出f(3),再根据f(3)0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a)=1a+a2.所以f(x)2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a3时,f(3)=a+1a,由f(3)5得3a5+212.当0a3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)5得1+52a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.
