1、中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年年 11 月测试月测试 理科数学试卷理科数学试卷(二卷二卷) 本试卷共本试卷共 150分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1,1,3,5,7,9U ， 1,5A，1,5,7B ，则() U CAB （ ） A. 3,9 B. 1,5,7 C. 1,1,3,9 D. 1,1,3,7,9 【答案】A
2、【解析】 【分析】 根据集合并集的定义求出AB，根据集体补集的定义求出() U CAB. 【详解】因为1,5A，1,5,7B ，所以=1,1,5,7AB，又因为集合 1,1,3,5,7,9U ，所以3(),9 U CAB ，故本题选 A. 【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键. 2.已知空间三条直线,l m n，若 l与 m 异面,且 l与 n 异面,则（ ） A. m与 n 异面 B. m与 n相交 C. m与 n平行 D. m与 n 异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，进行判断即可. 【详解】解：空间三条直线
3、 l、m、n若 l与 m异面，且 l与 n异面， 则可能平行（图 1） ，也可能相交（图 2） ，也 m与 n可能异面（如图 3） ， 故选 D 【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思 想，属于基础题 3.复数z满足| | |3 |zizi ，则| z( ) A. 恒等于 1 B. 最大值为 1，无最小值 C. 最小值为 1，无最大值 D. 无最大值，也无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】 设复数z xyi ，其中x，yR，由题意求出1y ，再计算| z的值 【详解】解：设复数z xyi ，其中x，yR， 由| | |3 |zizi ，得| (1)
4、 | |(3) |xyixyi ， 2222 (1)(3)xyxy， 解得1y ； 222 |1 1zxyx ， 即| z有最小值为 1，没有最大值 故选：C 【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题 4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( ) A. 16 B. 32 C. 44 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥， 底面是直角三角形，PA 底面ABC 然 后由直角三角形面积公式求解 【详解】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA 底面ABC 则BCPC
5、 该几何体的表面积 1 (34543445)32 2 S 故选：B 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 5.已知 0xy ，则“0x ”是“ | | 22 22 yx xy ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 首先判断由0x ，能不能推出 | | 22 22 yx xy ，而后再看由 | | 22 22 yx xy ，能不 能推出0x ，然后通过充分性、必要性的定义得出答案. 【详解】由不等式 | | 22 22 yx xy ，可以构造一个函数： 2 (
6、)2tf tt，可以判断该函 数为偶函数且0t 时，函数单调递增.当0x 时，而 0xy ，这时y可以为负数、正数、 零，因此 , x y的大小关系不确定，因此由“ 0x ”不一定能推出“ | | 22 22 yx xy ”. 当 | | 22 22 yx xy 成立时，利用偶函数的性质，可以得到： 22 ()()0xyxyxy xy， 而0xy， 因此有0xy， 所以有x y 且 xy ，如果0x，则有0y ，所以0xy，这与 0xy 矛盾，故0x ，故本题选 B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，构造函数，利用函数的性质和不等式的性质是 解题的关键. 6.函数 yln|x| cos
7、( 2 2x)的图像可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。 【详解】解： lncos2 2 f xxx lnsin2f xxx lnsin2fxxxf x 所以函数 f x是奇函数，关于原点对称，故排除 ,A B； 当00xx时ln x ，sin2 0x sin20x 故 lnsin20f xxx 故排除C 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题，属于基础题。 7.已知两个不相等的非零向量a，b，满足1a ，且a与ba的夹角为 60，则b的取 值范围是( ) A. 3 0, 2 B. 3 ,1
8、 2 C. 3 , 2 D. 1, 【答案】D 【解析】 【分析】 设AB a ，AC b ，由已知a与b a 的夹角为60可得120ABC，由正弦定理 sinsin120 ab C 得 3 1 s n2 i b C ，从而可求b的取值范围 【详解】解：设AB a ，AC b ， ， 如图所示： 则由BC ACAB 又 a与ba 的夹角为60， 120ABC 又由 1ABa 由正弦定理 sinsin120 ab C 得 2 3 sin b C 0, 3 C 3 sin0, 2 C 2 3 1, sin b C 故选：D 【点睛】 本题主考查了向量的减法运算的三角形法则， 考查了三角形的正弦定理
9、及三角函数 的性质，属于中档题 8.已知随机变量 的分布列，则下列说法正确的是( ) A. 存x，y(0，1)，E() 1 2 B. 对任意 x，y(0，1)，E() 1 4 C. 对任意 x，y(0，1)，D()E() D. 存在 x，y(0，1)，D() 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。 【详解】解：依题意可得 2Exy， 222222 22 221 21 21 21 2Dxxyyyxyxyx yxy xyxxy yx 因为1xy 所以 2 1 2 22 xy xy 即 1 2 E故A，B错误； 2222 211 21 21 2Dxxx
10、y yxxxy yxxyx 01xQ 121 1x 2 0211x Dyx即 1 2 DE，故C成立； 2 21 1 2 44 xy Dxyxxy 故D错误 故选：C 【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。 9.设函数 32 0f xaxbxcxd a，若 02233441fff，则 15ff的取值范围是( ) A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意构造新函数，结合所给条件和函数的性质确定 15ff的取值范围即可 【详解】令 234xf xta xxxxm ，其中01t ， 取0x 可得24.tma 取1x 可
11、得 16 1.ftm a 取5x 可得 556 5.ftm a 由可得： 515630 16 5fftm am a ， 将代入可得： 150,1fft 故选 A 【点睛】本题主要考查构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于比较困难的 试题 10.已知 F1，F2分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在 点 P，使得点 F2到直线 PF1的距离为 a，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 5 1, 2 B. 5 , 2 C. 1, 5 D. 5, 【答案】B 【解析】 【分析】 设过 1 F且与一条渐近线平行的直线l的方程， 依
12、题意在双曲线右支上存在点 P， 使得点 2 F到 直线 1 PF的距离为a，则点 2 F到直线l距离大于a，可求出a与b的关系，即可求出离心率 的取值范围。 【详解】解：双曲线的渐近线为 b yx a ，由极限思想，设过 1 F且与一条渐近线平行的直 线l的方程为 b yxc a 即0bxaybc，依题意若在双曲线右支上存在点 P， 使得点 2 F到直线 1 PF的距离为a，则点 2 F到直线l距离大于a，即 22 2bc da ab 2ba 1 2 b a 22 2 2 15 11 22 ccb e aaa 即 5 , 2 e 故选：B 【点睛】本题考查双曲线中离心率的范围的求解，极限思想的
13、运用，属于中档题。 11.如图，在菱形 ABCD 中，ABC60 ，E，F分别是边 AB，CD 的中点，现将ABC沿着 对角线 AC翻折，则直线 EF 与平面 ACD 所成角的正切值最大值为( ) A. 2 B. 21 3 C. 3 3 D. 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，设二面角BACD为，用含的式子表示B点坐标，利用向量 法表示出线面角的正弦值的平方，构造函数利用函数的单调性求出 2 max sin ，即可求 出线面角的正切值的最大值。 【详解】解：如图， 以AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角BACD为，可证 BOD，设棱形的边长为4，则0,
14、 2,0A，2 3cos ,0,2 3sinB， 3cos , 1, 3sinE，0,2,0C， 2 3,0,0D， 3,1,0F 3cos3, 2, 3sinFE 易知平面ACD的法向量0,0,1n 设直线EF与平面ACD所成角为，则 2 2 22 2 2 2 3 1 cos 3sin3sin sin 106cos2 53cos 3 cos143sin n FE nFE 令 2 1 53 x f x x ，1,1x 2 22 3133103 3535 xxxx fx xx 则 0fx 时 1 1 3 x 即 f x在 1 1, 3 上单调递增； 0fx 时 1 1 3 x即 f x在 1 ,
15、1 3 上单调递减； max 12 39 fxf 2 max 1 sin 3 则 2 max 2 cos 3 2 2 2 max sin1 tan cos2 max 2 tan 2 故选：D 【点睛】本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题，综合性比较强，难度比较大。 12.己数列an满足 a11，an1lnan 1 n a 1，记 Sna1 a2 an，t表示不超过 t的最大整数，则 S2019的值为( ) A. 2019 B. 2018 C. 4038 D. 4037 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出数列的前几项， 猜想3n 时2,3 n a 构造函数证明猜想是正确的， 即可求出
16、n S. 【详解】 解： 依题意得 1 1a ， 21 1 1 ln12aa a ， 32 2 13 ln1ln22,3 2 aa a 1 1 ln13 nn n aan a 可猜想3n 时2,3 n a 证明：令 1 ln1f xx x 则 22 111x fx xxx 可得 f x在0,1单调递减，在 1,单调递增. 23ff xf 即 34 ln2ln3 23 f x 35 2ln2 22 ， 74 ln33 33 满足条件，故猜想正确； 123nn Saaaa 20191232019 Saaaa 1222 1 2 2018 4037 故选：D 【点睛】本题考查由递推公式求数列的和，综合
17、性较强，难度比较大。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.2 2 ,上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 2 2 59xy相交”发生的概率 为_ 【答案】 3 8 【解析】 由直线 y=kx 与圆 2 2 59xy相交得 2 533 3 44 1 k k k 所以概率为 33 344 228 . 14.如图，在ABC中，ABAC，BC2 3，A60 ，ABC 的面积等于2 3，则角平分线 AD 的长等于_. 【答案】 4 3 3 【解析】 【分析】 由已知利用三角形的面积公式可求8AB AC ，由余弦定理可
18、得6ABAC，联立解得： 4 2 AB AC ，根据余弦定理可求cosB的值，利用角平分线可得 4 2 ABBD ACDC ，结合 2 3BDDC，解得BD的值，在ABD中，由余弦定理可得AD的值 【详解】解：2 3BC ，60A，ABC的面积等于 113 2 3sin 222 AB ACAAB AC， 解得：8AB AC ， 由余弦定理 222 2cosBCABACAB ACA， 可得： 2222 12()3()3 8ABACAB ACABACAB ACABAC ， 解得：6ABAC， 由联立解得： 4 2 AB AC ，或 2 4 AB AC （由于ABAC，舍去） 222 161243
19、cos 22242 3 ABBCAC B AB BC ， AD为角平分线，可得 4 2 ABBD ACDC ， 且2 3BDDC， 解得： 4 3 3 BD ， 在 ABD中，由余弦定理可得： 22 484 334 3 2cos1624 9323 ADABBDAB BDB 故答案为： 4 3 3 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角 形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 15.已知数列an满足 anan1152n，其前 n 项和为 Sn，若 SnS8恒成立，则 a1的取值范 围为_. 【答案】(,7 【解析】 【分析】 根据题意设 1
20、 ax，由递推式表示出 8 a、 9 a，要使 8n SS恒成立则 8 9 0 0 a a 解得。 【详解】 解： 设 1 ax， 因为 1 152 nn aan ， 则， 2 13ax， 3 2ax， 4 11ax， 5 4ax， 6 9ax， 7 6ax， 8 7ax， 9 8ax； 可知数列奇数项是递减的，且偶数项也是递减的. 且当7n时 1 1520 nn aan 当8n时 1 1520 nn aan 要使 8n SS恒成立 则 8 9 70 80 ax ax 解得7x即 1 ,7a 故答案为：,7 【点睛】本题考查数列的递推关系式及数列的前n项和的性质，属于中档题。 16.已知 P为
21、椭圆 C： 22 1 43 xy 上一个动点，F1、F2是椭圆 C的左、右焦点，O为坐标原 点，O到椭圆 C 在 P点处的切线距离为 d，若 12 24 7 PFPF，则 d_. 【答案】 14 2 【解析】 【分析】 计算 1 |PF， 2 |PF的值得出P点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算d 【详解】解：设 1 |PFm， 2 |PFn，则 4 24 7 mn mn ， 不妨设P在第一象限，则 1 2 | 2 7 PF ， 2 2 | 2 7 PF ， 故以 1 F为圆心以 1 PF为半径的圆为： 222 2 (1)(2) 7 xy ， 以 2 F为圆心以 2 PF为半径的
22、圆为： 222 2 (1)(2) 7 xy ， 得： 4 7 x ，代入椭圆方程可得： 3 7 y ， 故 4 ( 7 P ， 3 ) 7 ， 当0y 时，由 22 1 43 xy 得 1 2 2 3 (3) 4 yx，故 1 2 2 133 (3)() 242 yxx ， 椭圆在P处的切线的斜率 1 2 13 1634 (3)()1 24 727 k 切线方程为： 34 () 77 yx ，即70xy， 原点O到切线的距离 714 22 d 故答案为： 14 2 【点睛】本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字
23、说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.第第 1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. (一一)必考题：必考题：60 分分. 17.已知函数 f(x)sinx3cosx (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)在ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若 f(B)3，b3，求ABC 面积 的最大值. 【答案】 （1） 5 2,2 66 kk ，kZ； （2） 3 3 4 . 【解析】 【分析】 （1）利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函
24、数的单调性求出函数的单调区间； （2）由（1）可求B利用余弦定理及重要不等式，可求面积最大值。 【详解】解： sin3cos2sin 3 f xxxx （1）令22 232 kxk ，kZ解得 5 22 66 kxk ，kZ 故函数的单调递增区间为 5 2,2 66 kk ，kZ （2）由 2sin3 3 f BB 3 sin 32 B 2 33 Bk 或 2 2 33 Bk ，kZ 2 2 3 Bk 或2Bk，kZ B是三角形的内角， 2 3 B 222 2cosbacacB 22 9acac 29acac即03ac 13 3 sin 24 ABC SacB 当且仅当3ac时， ABC的面积
25、取最大值是 3 3 4 ABC S 【点睛】本题考查三角函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于一般题。 18.如图， 已知四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是直角梯形，AD/BC，BC2AD，ADCD， PD平面 ABCD，E为 PB的中点. (1)求证：AE/平面 PDC； (2)若 BCCDPD，求直线 AC与平面 PBC 所成角的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 15 5 【解析】 【分析】 （1）取PC的中点F，连结DF、EF，推导出四边形ADFE是平行四边形，从而 / /AEDF，由此能证明/ /AE平面PDC （2）推导出DFPC，由/ /AEDF，得AEPC
26、，再推导出PDBC，BCCD， 从而BC平面PDC，BCDF，BCAE，AEPC，进而AE平面PBC，连结 EC，AC， 则AEC就是直线AC与平面PBC所成角， 由此能求出直线AC与平面PBC 所成角的余弦值 【详解】解： （1）证明：取PC的中点F，连结DF、EF， E是PB的中点，/ /EFBC，且2BCEF， / /ADBC，2BCAD，/ADEF，且ADEF， 四边形ADFE是平行四边形，/AEDF， 又DF 平面PDC，/ /AE平面PDC （2）解：PDDC，PDC是等腰三角形， DFPC，又/ /AEDF，AEPC， PD 平面ABCD，BC 平面ABCD， PDBC，又BCC
27、D，BC平面PDC， DF 平面PDC， BCDF，BCAE， 又AEPC，AE平面PBC， 连结EC，AC，则AEC就是直线AC与平面PBC所成角， 设2PDCDBC， 在Rt PCB中，解得 2 2PC ，2 3PB ，3EC ， 在Rt ADC中，解得5AC ， 在Rt AEC中， 315 cos 55 EC ECA AC ， 直线AC与平面PBC所成角的余弦值为 15 5 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19.已知甲盒内有大小相同的 2个红球和 3个黑球，乙盒内有大小相同的 3个红
28、球和 3个黑 球，现从甲，乙两个盒内各取 2 个球. (1)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； (2)设 为取出的 4个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望. 【答案】 （1） 3 10 ； （2）分布列见解析， 9 5 E 【解析】 【分析】 （1）设事件 i A“从甲盒内取出的i个红球；事件 j B 为“从乙盒内取出的j个红球”，表示 出事件的概率，取出的 4个球中恰有 1个红球的，包含两个基本事件，利用互斥事件和概率 计算公式计算； （2）为取出的 4 个球中红球的个数，则可能的取值为 0，1，2，3，4，结合（1）中信 息分别求出相应的概率，写出分布列即可 【详解】 （1）
29、 设事件 i A“从甲盒内取出 i个红球； 事件j B 为“从乙盒内取出的j个红球” 则 2 2 5 2 3 i ii C C P A C ， 2 3 6 2 3 j jj C C P B C 设事件C为“取出的 4 个球中恰有 1个红球”， 02111102 23332333 565 0110 2222 6 39633 10 1510 1510 C CC CC CC C P CP A BP AB CCCC 取出的 4个球中恰有 1 个红球的概率为 3 10 ， （2）可能的取值为 0，1，2，3，4 由（1）得， 00 ( 50 3 0)PP A B， ( 10 3 1)PP C， 0211
30、20 11 (2) 25 PP A BP ABP A B， 1221 9 (3) 50 PP ABP A B， 22 1 (4) 50 PP A B 则的分布列为： 0 1 2 3 4 P 3 50 3 10 11 25 9 50 1 50 3311919 01234 50102550505 E 即 9 5 E 【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识 解决实际问题的能力 20.如图，斜率为 k的直线 l与抛物线 y24x 交于 A、B 两点，直线 PM 垂直平分弦 AB，且 分别交 AB、x 轴于 M、P，已知 P(4，0). (1)求 M点的横坐标；
31、 (2) 求PAB面积的最大值. 【答案】 （1）2； （2）8 【解析】 【分析】 （1）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (M x， 0) y，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标 公式，解方程可得所求坐标； （2）设直线 0 :()2AB xm yy即 0 :2AB xmymy，与抛物线 2 4yx联立，运用韦 达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大 值 【详解】解： （1）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (M x， 0) y， 则 1212 00 , 22 xxyy xy ， 2 1
32、1 4yx， 2 22 4yx， 12 12120 42yy k xxyyy ， 而 0 0 4 MP y k x ， 由1 MP k k 得 0 42x ，即 0 2x ； （2）设直线 0 :()2AB xm yy即 0 :2AB xmymy， 与抛物线 2 4yx联立得 2 0 4480ymymy， 则 12 4yym， 120 48y ymy， 所以 222 120 |1|1161632ABmyymmmy， 而P到直线AB的距离为 0 2 |2| 1 my d m ， 所以 2 00 1 | 2|2|2 2 PAB Sd ABmymmy ， 又由于 0 1 2 y m k ， 所以 2
33、222 2(22) 24(1) 2 PAB Smmmm ， 令 2 2mt ，则0t 且 22 2mt， 所以 23 4(3)124 PAB Stttt ， 令 3 ( )124 (0)g ttt t， 则 2 ( )121212(1)(1)g tttt， 当01t ，( )0g t ，当1t 时，( )0g t ， 故 3 ( )12418g tttg， 即PAB面积的最大值为 8 【点睛】 本题考查抛物线的方程和性质， 直线和抛物线方程联立， 运用韦达定理和弦长公式， 考查化简整理的运算能力，属于中档题 21.已知函数 ln ( ), xax f xaR x . (1)若 a0，求函数 f
34、(x)值域； (2)设函数 f(x)的两个零点为 x1，x2，且 x1x2，求证：x1 x2e2. 【答案】 （1） 1 , e ； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，即可计算出函数的最大值，即可求出函数的值域。 （2）因为 12 ()()f xf x可得 12 12 lnlnxx xx ，设 12 1txxt则 12 1 lnlnln 1 t xxt t ， 要证 2 12 x xe即证 12 1 lnlnln2 1 t xxt t 构造函数 21 ln,1 1 t g ttt t 证明 其恒大于零即可。 【详解】解（1）当0a 时， ln ( ) x f x x
35、2 1 ln ( ) x fx x 令 2 1 ln ( )0 x fx x 解得xe 当( )0fx 时，0xe,( )f x在0,e上单调递增， 当( )0fx 时，x e,( )f x 在, e 上单调递减， max 1 ( )f xf e e 即函数 ( )f x的值域为 1 , e （2）不妨设 12 1xex， 12 ()()f xf x 12 12 lnlnxx xx 即 22 11 ln ln xx xx 设 12 1txxt 11 11 lnlnln lnln txtx t xx 1 ln ln 1 t x t 211 lnln lnlnlnlnln 11 ttt xtxtx
36、t tt 12 1 lnlnln 1 t xxt t 要证 2 12 x xe 即证 12 1 lnlnln2 1 t xxt t 即 21 ln0 1 t t t 设 21 ln,1 1 t g ttt t 2 22 114 0 11 t g t t tt t g t在 1,单调递增， 10g 10g tg 12 lnln2xx 即 2 12 x xe 【点睛】本题考查导数与函数，利用导数求函数的最值及证明不等式，属于难题。 (二二)选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、 、23题中任选一题作答，如果多做，则按所题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题计分做的第
37、一题计分.作答时请写清题号作答时请写清题号. 22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 4cos 2sin x y ( 为参数)，在以坐标原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 P的极坐标为4, 3 ，直线 l的极坐标方 程为2 sin9 6 . (1)求直线 l的直角坐标方程与曲线 C的普通方程； (2)若 Q 是曲线 C上的动点，M 为线段 PQ的中点，直线 l上有两点 A，B，始终满足|AB|4， 求MAB 面积的最大值与最小值. 【答案】 （1）390xy， 22 1 164 xy ； （2）最大值为77，最小值为77 . 【解析】 【分析】 （1）由cos
38、x，siny，可将直线l的方程转化为直角坐标方程，由曲线C的参 数方程消去参数，可得其普通方程； （2）设 4cos ,2sinQ ，由条件可得2cos1,sin3M，再由M到直线的距离 7sin()7 2 d 求出最值即可 【详解】 解：（1） 直线的极坐标方程为2 sin9 6 ， 即 31 2sincos9 22 由cosx，siny，可得直线的直角坐标方程为390xy， 将曲线C参数方程 4cos 2sin x y ，消去参数， 得曲线C的普通方程为 22 1 164 xy ； （2）设 4cos ,2sinQ ，0,2， 点P的极坐标4, 3 化为直角坐标为2,2 3， 则2cos1
39、,sin3M， 点M到直线l的距离 2cos13 sin3 2 97sin()7 2 d ，其中 2 3 tan 3 所以 77 77 , 22 d 4AB 1 277,77 2 ABM SAB dd ABM面积的最大值为77，最小值为77 【点睛】 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程， 参数方程转化为普通方程和利用参数 法求点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属中档题 23.已知 a，b，c为正实数，且满足 abc3.证明： (1)abbcac3； (2) 222 3 abc bca . 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用重要不等式证明
40、； （2）由基本不等式有： 2 2 a ba b ， 2 2 b cb c ， 2 2 c ac a ，三式相加可得： 222 2 abc abcabc bca ，即可证明 【详解】 （1）证明：正实数a，b，c满足3abc ， 2 222 222abcabcabacbc 22 2ababQ， 22 2bcbc ， 22 2acac 222 abcabacbc 2 333abcabacbc 3abc 3abacbc当且仅当abc时等号成立 （2） 2 2 a ba b ， 2 2 b cb c ， 2 2 c ac a 222 2 abc abcabc bca 222 abc abc bca 3abc 222 3 abc bca 当且仅当abc时等号成立 【点睛】本题考查了重要不等式、基本不等式的性质，属于基础题
