1、绝密 启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2017全国2,理1)3+i1+i=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i解析3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-
2、2i2=2-i,故选D.答案D2.(2017全国2,理2)设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB=1,则B=()A.1,-3B.1,0C.1,3D.1,5解析由AB=1,可知1B,所以m=3,即B=1,3,故选C.答案C3.(2017全国2,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由x(1-27)1-2=381
3、,可得x=3,故选B.答案B4.(2017全国2,理4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=12326+324=63,故选B.答案B5.(2017全国2,理5)设x,y满足约束条件2x+3y-30,2x-3y+30,y+30,则z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.1D.9解析画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目
4、标函数z=2x+y的几何意义可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.答案A6.(2017全国2,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种解析先把4项工作分成3份有C42C21C11A22种情况,再把3名志愿者排列有A33种情况,故不同的安排方式共有C42C21C11A22A33=36种,故选D.答案D7.(2017全国2,理7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩
5、,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.答案D8.(2017全国2,理8)执行右面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2B.3C.4D.5解析程序框图运行如下:a=-1,S=0,K=1,进入循环,S=0+(
6、-1)1=-1,a=1,K=2;S=-1+12=1,a=-1,K=3;S=1+(-1)3=-2,a=1,K=4;S=-2+14=2,a=-1,K=5;S=2+(-1)5=-3,a=1,K=6;S=-3+16=3,a=-1,K=7,此时退出循环,输出S=3.故选B.答案B9.(2017全国2,理9)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233解析可知双曲线C的渐近线方程为bxay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2ba2+b2=22-12=3,
7、即2bc=3,所以c=2a,所以e=2,故选A.答案A10.(2017全国2,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33解析方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连结MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=2,AB1=5,则MN=12AB1=52,NP=12BC1=22.取BC的中点Q,连结PQ,QM,则可知PQM为直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221-12
8、=7,即AC=7.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=72.在MQP中,可知MP=MQ2+PQ2=112.在PMN中,cosPNM=MN2+NP2-PM22MNNP=522+222-112225222=-105,又异面直线所成角的范围为0,2,故所求角的余弦值为105.方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连结C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D.由题意可知BC1=2,BD=22+12-221cos60=3,C1D=AB1=5.可知BC12+BD2=C1D2,所以cosBC1D=25=105,故选C.答案C11.(2017全国2,理
9、11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1解析由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以当x=1时,f(x)有极小值,并
10、且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.答案A12.(2017全国2,理12)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,
11、PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.答案B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2017全国2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX=.解析由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则DX=np(1-p)=1000.020.98=1.96.答案1.9614.(2017全国2,理14)函数f(x)=sin2x+3cos x-34(x0,2)的最大值是.解析由题意可知f(x)=1-cos2x+3cos x-34=-cos2x+3co
12、s x+14=-cosx-322+1.因为x0,2,所以cos x0,1.所以当cos x=32时,函数f(x)取得最大值1.答案115.(2017全国2,理15)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则k=1n1Sk=.解析设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知a1+2d=3,4a1+432d=10,解得a1=1,d=1.所以Sn=na1+n(n-1)2d=n(1+n)2.所以1Sn=2n(n+1)=21n-1n+1.所以k=1n1Sk=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.答案2nn+116.(2017全国2,理16)已知F是抛物线C:y2
13、=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M1,a2.因为点M在抛物线C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.所以N(0,42).所以|FN|=(2-0)2+(042)2=6.答案6三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(2017全国2,理17)(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(
14、1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=,得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.18.(2017全国2,理18)(12分)海水养殖场进行某水
15、产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:,K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产
16、量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66.故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱
17、产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.340.06852.35(kg).19.(2017全国2,理19)(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.解(1)取PA的中点F,连结EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又B
18、C=12AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,|z|(x-1)2+
19、y2+z2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设PM=PC,则x=,y=1,z=3-3.由,解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去),x=1-22,y=1,z=62,所以M1-22,1,62,从而AM=1-22,1,62.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则mAM=0,mAB=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=mn|m|n|=105.因此二面角M-AB-D的余弦值为105.20.(2017全国2,理20)(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P
20、满足NP=2 NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2 NM得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.
21、又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQPF=0,即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.(2017全国2,理21)(12分)已知函数f(x)=ax3-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)2-2.解(1)f(x)的定义域为(0,+).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a-1x,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g(x)=1-1x.当0x1时
22、,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x,f(x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,则h(x)=2-1x.当x0,12时,h(x)0.所以h(x)在0,12内单调递减,在12,+内单调递增.又h(e-2)0,h120;当x(x0,1)时,h(x)0.因为f(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2.所以e-2f(x0
23、)0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=12|OA|BsinAOB=4cos sin-3=2sin2-3-322+3.当=-12时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.23.(2017全国2,理23)选修45:不等式选讲(10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.解(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.
