1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津)理科数学1.(2017天津,理1)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=xR|-1x5,则(AB)C=()A.2B.1,2,4C.1,2,4,6D.xR|-1x5解析A=1,2,6,B=2,4,AB=1,2,4,6.C=xR|-1x5,(AB)C=1,2,4.故选B.答案B2.(2017天津,理2)设变量x,y满足约束条件2x+y0,x+2y-20,x0,y3,则目标函数z=x+y的最大值为()A.23B.1C.32D.3解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直
2、线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.答案D3.(2017天津,理3)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0B.1C.2D.3解析运行程序,当输入N的值为24时,24能被3整除,所以N=8.因为83不成立,且8不能被3整除,所以N=7.因为73不成立,且7不能被3整除,所以N=6.因为63不成立,且6能被3整除,所以N=2.因为23,所以输出N=2.故选C.答案C4.(2017天津,理4)设R,则“-1212”是“sin 12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当-1212时,06,
3、0sin 12.“-1212”是“sin 12”的充分条件.当=-6时,sin =-1212,但不满足-1212.“-1212”不是“sin 12”的必要条件.“-1212”是“sin 0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1解析设双曲线半焦距为c(c0),则双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=bax.点P的坐标为(0,4),直线PF的斜率为k=4c.由题意得4c=ba.双曲线的离
4、心率为2,ca=2.在双曲线中,a2+b2=c2,联立解得a=b=22,c=4.所求双曲线的方程为x28-y28=1.故选B.答案B6.(2017天津,理6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bc0时,f(x)0,f(x)0.当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)0恒成立,g(x)在(0,+)上是增函数.2log25.13,120.82,20.8log25.13.结合函数g(x)的性质得ba0,|2,118-58142,所以231.所以排除C,D
5、.当=23时,f58=2sin5823+=2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因为|1.设aR,若关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.-4716,2B.-4716,3916C.-23,2D.-23,3916解析由函数f(x)=x2-x+3,x1,x+2x,x1易知f(x)0恒成立.关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,关于x的不等式-f(x)x2+af(x)在R上恒成立,即关于x的不等式-f(x)-x2af(x)-x2在R上恒成立.设p(x)=f(x)-x2,则p(x)=x2-32x+3,x1,x2
6、+2x,x1.当x1时,p(x)=x2-32x+3=x-342+3916,当x1时,p(x)min=3916.当x1时,p(x)=x2+2x2x22x=2,当且仅当x2=2x,即x=2时,取等号,当x1时,p(x)min=2.39162,p(x)min=2.设q(x)=-f(x)-x2,则q(x)=-x2+x2-3,x1,-3x2-2x,x1.当x1时,q(x)=-x2+x2-3=-x-142-4716,当x1时,q(x)max=-4716.当x1时,q(x)=-3x2-2x=-3x2+2x-23,当且仅当3x2=2x,即x=233时,取等号.当x1时,q(x)max=-23.-4716-23
7、,q(x)max=-4716.关于x的不等式-f(x)-x2af(x)-x2在R上恒成立,-4716a2.故选A.答案A9.(2017天津,理9)已知aR,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为.解析a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i为实数,-a+25=0,即a=-2.答案-210.(2017天津,理10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.解析设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则2R=3a.正方体的表面积为18,6a2=18.a=3,R=32.该球的体积为V=43R3=43278=92.答
8、案9211.(2017天津,理11)在极坐标系中,直线4cos-6+1=0与圆=2sin 的公共点的个数为.解析4cos-6+1=0,展开得23cos +2sin +1=0,直线的直角坐标方程为23x+2y+1=0.=2sin 两边同乘得2=2sin ,圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.圆心到直线的距离d=|230+21+1|(23)2+22=340,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.答案413.(2017天
9、津,理13)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60,AB=3,AC=2,ADAE=-4.ABAC=3212=3,23AC+13AB(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23ABAC=-4,234-139+3-233=-4,即113-5=-4,解得=311.答案31114.(2017天津,理14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这
10、样的四位数一共有个.(用数字作答)解析没有一个数字是偶数的四位数有A54=120个;有且只有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.答案1 08015.(2017天津,理15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ab,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b和sin A的值;(2)求sin2A+4的值.解(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sin
11、A=asinBb=31313.所以,b的值为13,sin A的值为31313.(2)由(1)及ac,得cos A=21313,所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+4=sin 2Acos4+cos 2Asin4=7226.16.(2017天津,理16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解(1)随机变量X的所
12、有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=1-121-131-14=14,P(X=1)=121-131-14+1-12131-14+1-121-1314=1124,P(X=2)=1-121314+121-1314+12131-14=14,P(X=3)=121314=124.所以,随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)=014+11124+214+3124=1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P
13、(Z=0)=141124+112414=1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.17.(2017天津,理17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721,求线段AH的长.解如图,以A为原点,分别以AB,AC,AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(
14、0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2),设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则nDE=0,nDB=0,即2y=0,2x-2z=0.不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MNn=0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向量,则n2EM=0,n2MN=0.因为EM=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),所以-2y-z=0,x+2y-z=0.不妨设y=1,可得n2=(-4,1,
15、-2).因此有cos=n1n2|n1|n2|=-421,于是sin=10521.所以,二面角C-EM-N的正弦值为10521.(3)依题意,设AH=h(0h4),则H(0,0,h),进而可得NH=(-1,-2,h),BE=(-2,2,2).由已知,得|cos|=|NHBE|NH|BE|=|2h-2|h2+523=721,整理得10h2-21h+8=0,解得h=85或h=12.所以,线段AH的长为85或12.18.(2017天津,理18)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn
16、的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+5
17、42+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=12(1-4n)1-4-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.得Tn=3n-234n+1+83.所以,数列a2nb2n-1的前n项和为3n-234n+1+83.19.(2017天津,理19)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12,已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于
18、x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62,求直线AP的方程.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,ca=12,p2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b2=a2-c2=34.所以,椭圆的方程为x2+4y23=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P-1,-2m,故Q-1,2m.将x=my+1与x2+4y23=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-6m3m2+4.由点B异于点A,可得点B-3m2+43m2+4,-6
19、m3m2+4.由Q-1,2m,可得直线BQ的方程为-6m3m2+4-2m(x+1)-3m2+43m2+4+1y-2m=0,令y=0,解得x=2-3m23m2+2,故D2-3m23m2+2,0.所以|AD|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2.又因为APD的面积为62,故126m23m2+22|m|=62,整理得3m2-26|m|+2=0,解得|m|=63,所以m=63.所以,直线AP的方程为3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.20.(2017天津,理20)设aZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函
20、数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)0,故当x1,x0)时,H1(x)0,H1(x)单调递增.因此,当x1,x0)(x0,2时,H1(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)0,即h(m)0.令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在1,2上单调递增,故当x1,x0)时,H2(x)0,H2(x)单调递增;当x(x0,2时,H2(x)0,H2(x)单调递减.因此,当x1,x0)(x0,2时,H2(x)H2(x0)=0,可得H
21、2(m)0,即h(x0)0.所以,h(m)h(x0)0.(3)证明对于任意的正整数p,q,且pq1,x0)(x0,2,令m=pq,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由(2)知,当m1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m(x0,2时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)pq-x0-fpq=0.由(1)知g(x)在1,2上单调递增,故0g(1)g(x1)0,故f(x)在1,2上单调递增,所以f(x)在区间1,2上除x0外没有其他的零点,而pqx0,故fpq0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|1.所以pq-x01g(2)q4.所以,只要取A=g(2),就有pq-x01Aq4.
