1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015福建,文1)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,bR,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4答案:A解析:由已知得3-2i=a+bi,a,bR,a=3,b=-2.故选A.2.(2015福建,文2)若集合M=x|-2x2,N=0,1,2,则MN等于()A.0B.1C.0,1,2D.0,1答案:D解析:M=x|-2x0,b0)过点(1,1),
2、则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5答案:C解析:直线xa+yb=1过点(1,1),1a+1b=1.又a,b均大于0,a+b=(a+b)1a+1b=1+1+ba+ab2+2baab=2+2=4,故选C.6.(2015福建,文6)若sin =-513,且为第四象限角,则tan 的值等于()A.125B.-125C.512D.-512答案:D解析:sin =-513,且为第四象限角,cos =1-sin2=1213,于是tan =sincos=-512,故选D.7.(2015福建,文7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于()A.-32B.-53C.
3、53D.32答案:A解析:a=(1,2),b=(1,1),c=(1+k,2+k).bc,bc=1+k+2+k=0.k=-32.故选A.8.(2015福建,文8)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=x+1,x0,-12x+1,xb0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1答案:A解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边
4、形,|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.a=2.不妨设M(0,b),则|30-4b|32+4245,b1.e=ca=1-ba21-122=32.又0e1,0e32.故选A.12.(2015福建,文12)“对任意x0,2,ksin xcos xx”是“k1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:当x0,2时,sin xx,且0cos x1,sin xcos xx.k1时有ksin xcos xx.反之不成立.如当k=1时,对任意的x0,2,sin xx,0cos x1,所以ksin xcos x=sin xcos xx
5、成立,这时不满足k0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.答案:9解析:由题意,得a+b=p0,ab=q0,a0,b0.不妨设a0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.(1)解:由抛物线的定义,得|AF|=2+p2.因为|AF|=3,即2+p2=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=22,由抛
6、物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),所以kGA=22-02-(-1)=223,kGB=-2-012-(-1)=-223,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=22,由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,2
7、2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),故直线GA的方程为22x-3y+22=0,从而r=|22+22|8+9=4217 .又直线GB的方程为22x+3y+22=0,所以点F到直线GB的距离d=|22+22|8+9=4217=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.20.(本小题满分12分)(2015福建,文20)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:A
8、C平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.(1)证明:在AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以ACDO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以POAC.因为DOPO=O,所以AC平面PDO.(2)解:因为点C在圆O上,所以当COAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以ABC面积的最大值为1221=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为1311=13.(3)解法一:在POB中,PO=OB=1,POB=90.所以PB=12+12=2.同理PC=2,所以PB=PC=BC.在三棱锥
9、P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值.又因为OP=OB,CP=CB,所以OC垂直平分PB,即E为PB中点.从而OC=OE+EC=22+62=2+62,亦即CE+OE的最小值为2+62.解法二:在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以OPB=45,PB=12+12=2.同理PC=2.所以PB=PC=BC,所以CPB=60.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值.所以在OCP中,由余弦定理得:OC2=1+2-212c
10、os(45+60)=1+2-222212-2232=2+3.从而OC=2+3=2+62.所以CE+OE的最小值为22+62.21.(本小题满分12分)(2015福建,文21)已知函数f(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,再向下平移a(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式;证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0.(1)解:因为f(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2=53sin x+5cos x+5=10sin
11、x+6+5,所以函数f(x)的最小正周期T=2.(2)解:将f(x)的图象向右平移6个单位长度后得到y=10sin x+5的图象,再向下平移a(a0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a的图象.又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13.所以g(x)=10sin x-8.证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x0-80,即sin x045.由4532知,存在0045.因为y=sin x的周期为2,所以当x(2k+0,2k+-0)(kZ)时,均有sin x45.因为对任意的整
12、数k,(2k+-0)-(2k+0)=-2031,所以对任意的正整数k,都存在正整数xk(2k+0,2k+-0),使得sin xk45.亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0.22.(本小题满分14分)(2015福建,文22)已知函数f(x)=ln x-(x-1)22.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).(1)解:f(x)=1x-x+1=-x2+x+1x,x(0,+).由f(x)0得x0,-x2+x+10,解得0x1+52.故f(x)的单调递增区间是0,1+52.(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+),则有F(x)=1-x2x.当x(1,+)时,F(x)1时,F(x)1时,f(x)1满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x(0,+),则有G(x)=1x-x+1-k=-x2+(1-k)x+1x.由G(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得x1=1-k-(1-k)2+421.当x(1,x2)时,G(x)0,故G(x)在1,x2)内单调递增.从而当x(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).
