1、上海数学试卷(文史类)1.(2012上海,文1)计算:=(i为虚数单位).1-2i=1-2i.2.(2012上海,文2)若集合A=x|2x-10,B=x|x|1,则AB=.由A=,B=x|-1x0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B由mx2+ny2=1表示椭圆,可知m0,n0,mn,所以m0,n0且mnmn0.而显然mn0m0,n0且mn.17.(2012上海,文17)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定A由sin2
2、A+sin2Bsin2C,得a2+b2c2,所以cos C=0,所以C为钝角,即ABC为钝角三角形.18.(2012上海,文18)若Sn=sin+sin+sin(nN*),则在S1,S2,S100中,正数的个数是().A.16B.72C.86D.100C由sin=-sin,sin=-sin,sin=-sin,sin=sin=0,所以S13=S14=0.同理S27=S28=S41=S42=S55=S56=S69=S70=S83=S84=S97=S98=0,所以在S1,S2,S100中,其余各项均大于0.故选C.19.(2012上海,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中
3、点.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱锥PABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).解:(1)SABC=22=2,三棱锥PABC的体积为V=SABCPA=22=.(2)取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cosADE=,所以ADE=arccos.因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos.20.(2012上海,文20)已知f(x)=lg(x+1).(1)若0f(1-2x)-f(x)1,求x的取值范围;(2)若g(x)是以2为
4、周期的偶函数,且当0x1时,有g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x1,2)的反函数.解:(1)由得-1x1.由0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg1得10,所以x+12-2x10x+10,-x.由得-x.(2)当x1,2时,2-x0,1,因此y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x).由单调性可得y0,lg 2.因为x=3-10y,所以所求反函数是y=3-10x ,x0,lg 2.21.(2012上海,文21)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方
5、向12海里A处,如图.现假设:失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?解:(1)t=0.5时,P的横坐标xP=7t=,代入抛物线方程y=x2,得P的纵坐标yP=3.由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时.由tanOAP=,得OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12
6、t2).由vt=,整理得v2=144+337.因为t2+2,当且仅当t=1时等号成立,所以v21442+337=252,即v25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22.(2012上海,文22)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点,若|MF|=2,求点M的坐标;(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为k(|k|a4k-3.因为a1,所以a4k-1-a4k-2=(a-1)(8k-3)a4k-1;a4k-a4k-2=2(2a-1)(4k-1)0,即a4ka4k-2.又a4k+1a4k,从而b4k-3=a4k-3,b4k-2=a4k-2,b4k-1=a4k-2;b4k=a4k.因此(b1-a1)+(b2-a2)+(b100-a100)=(a2-a3)+(a6-a7)+(a98-a99)=(a4k-2-a4k-1)=(1-a)(8k-3)=2 525(1-a).
