1、课标全国文科注意事项:1.本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷1至3页,第卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国,文1)已知集合A=1,2,3,4,B=x|x=n2,nA,则AB=(). A.1,4B.2,3C.9,16D.1,2答案:A解析:B=x|x=n2,nA=1,4,9,16,AB=1,4.2.(2013课标全国,文2)1+2
2、i(1-i)2=().A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i答案:B解析:1+2i(1-i)2=1+2i-2i=(1+2i)i2=-2+i2=-1+12i.3.(2013课标全国,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是().A.12B.13C.14D.16答案:B解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为13.4.(2013课标全国,文4)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为().
3、A.y=14xB.y=13xC.y=12xD.y=x答案:C解析:e=52,ca=52,即c2a2=54.c2=a2+b2,b2a2=14.ba=12.双曲线的渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=12x.故选C.5.(2013课标全国,文5)已知命题p:xR,2x3x;命题q:xR,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是().A.pqB.pqC.pqD.pq答案:B解析:由20=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,h(0)=-10,x3-1+x2=0在(0,1)内有解.xR,x3=1-x2,即命题
4、q为真命题.由此可知只有pq为真命题.故选B.6.(2013课标全国,文6)设首项为1,公比为23的等比数列an的前n项和为Sn,则().A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an答案:D解析:Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=1-23an1-23=3-2an,故选D.7.(2013课标全国,文7)执行右面的程序框图,如果输入的t-1,3,则输出的s属于().A.-3,4B.-5,2C.-4,3D.-2,5答案:A解析:当-1t0,排除A.当x(0,)时,f(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x
5、+cos x+1.令f(x)=0,得x=23.故极值点为x=23,可排除D,故选C.10.(2013课标全国,文10)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=().A.10B.9C.8D.5答案:D解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=125.A0,2,cos A=15.cos A=36+b2-4926b,b=5或b=-135(舍).故选D.11.(2013课标全国,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16答案:A解析:该几何体为一个半圆柱与
6、一个长方体组成的一个组合体.V半圆柱=12224=8,V长方体=422=16.所以所求体积为16+8.故选A.12.(2013课标全国,文12)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x0.若|f(x)|ax,则a的取值范围是().A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0答案:D解析:可画出|f(x)|的图象如图所示.当a0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;当a0时,若x0,则|f(x)|ax恒成立.若x0,则以y=ax与y=|-x2+2x|相切为界限,由y=ax,y=x2-2x,得x2-(a+2)x=0.=(a+2)2=0,a=-2.a-2,0.
7、故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国,文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.答案:2解析:bc=0,|a|=|b|=1,=60,ab=1112=12.bc=ta+(1-t)bb=0,即tab+(1-t)b2=0.12t+1-t=0.t=2.14.(2013课标全国,文14)设x,y满足约束条件1x3,-1x-y0,则z=2x-y的最大值为.答案:3解析:画出可行域如图所示.画出直线2
8、x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大值为z=23-3=3.15.(2013课标全国,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.答案:92解析:如图,设球O的半径为R,则AH=2R3,OH=R3.又EH2=,EH=1.在RtOEH中,R2=R32+12,R2=98.S球=4R2=92.16.(2013课标全国,文16)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.答案:-255解析:f(x)=sin x-2cos x=5sin(x-),其中sin =255,cos
9、 =55.当x-=2k+2(kZ)时,f(x)取最大值.即-=2k+2(kZ),=2k+2+(kZ).cos =cos2+=-sin =-255.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国,文17)(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.解:(1)设an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d.由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5,解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)
10、(1-2n)=1212n-3-12n-1,从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为121-1-11+11-13+12n-3-12n-1=n1-2n.18.(2013课标全国,文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠
11、时间:3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?解:(1)设A药观测数据的平均数为x,B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x=120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,y=120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1
12、.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.由以上计算结果可得xy,因此可看出A药的疗效更好.(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.19.(2013课标全国,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,
13、A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以 AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解:由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=3.又A1C=6,则A1C2=OC2+OA12,故OA1OC.因为OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又ABC的面积SABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABCOA1=3.20.(2013课标全国,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,
14、曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解:(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)ex-12.令f(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.从而当x(-,-2)(-ln 2,+)时,f(x)0;当x(-2,-ln 2)时,f(x)0.故f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上单调递增,在(-2,-ln 2)上
15、单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).21.(2013课标全国,文21)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r
16、1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=23.若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP|QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得|3k|1+k2=1,解得k=24.当k=24时
17、,将y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4627,所以|AB|=1+k2|x2-x1|=187.当k=-24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=187.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国,文22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:
18、DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=3,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,ABE=BCE.而ABE=CBE,故CBE=BCE,BE=CE.又因为DBBE,所以DE为直径,DCE=90,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,CDE=BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=32.设DE的中点为O,连结BO,则BOG=60.从而ABE=BCE=CBE=30,所以CFBF,故RtBCF外接圆的半径等于32.23.(2013课标全国,文23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x=4
19、+5cost,y=5+5sint(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).解:(1)将x=4+5cost,y=5+5sint消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将x=cos,y=sin代入x2+y2-8x-10y+16=0得2-8cos -10sin +16=0.所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由x2+y2-8x-10
20、y+16=0,x2+y2-2y=0解得x=1,y=1或x=0,y=2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,4,2,2.24.(2013课标全国,文24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x-a2,12时,f(x)g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x1.其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当x-a2,12时,f(x)=1+a.不等式f(x)g(x)化为1+ax+3.所以xa-2对x-a2,12都成立.故-a2a-2,即a43.从而a的取值范围是-1,43.
