1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第卷和第卷两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修
2、正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,文1)复数z=(2-i)2i(i为虚数单位),则|z|=(). A.25B.41C.5D.5答案:C解析:z=4-4i-1i=3-4ii=-4-3i,所以|z|=(-4)2+(-3)2=5.故选C.2.(2013山东,文2)已知集合A,B均为全集U=1,2,3,4的子集,且U(AB)=4,
3、B=1,2,则AUB=().A.3B.4C.3,4D.答案:A解析:U(AB)=4,AB=1,2,3.又B=1,2,A一定含元素3,不含4.又UB=3,4,AUB=3.3.(2013山东,文3)已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=().A.2B.1C.0D.-2答案:D解析:f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1)=-1+11=-2.4.(2013山东,文4)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是().A.45,8B.45,83C.4(5+1),83D.8,8答案:B解析:由正(主)视图数据可知正四棱
4、锥的底面是边长为2的正方形,高也是2,如图:由图可知PO=2,OE=1,所以PE=22+12=5,所以V=1342=83,S=42512=45.5.(2013山东,文5)函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为().A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1答案:A解析:由题可知1-2x0x+302x1x-3x0,x-3,定义域为(-3,0.6.(2013山东,文6)执行两次右图所示的程序框图,若第一次输入的a的值为-1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为().A.0.2,0.2B.0.2,0.8C.0.8,0.2D.0.
5、8,0.8答案:C解析:第一次:a=-1.20,a=-1.2+1=-0.2,-0.20,a=0.81不成立,输出0.8.第二次:a=1.20,排除C,而x=时,y=-,排除A,故选D.10.(2013山东,文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:则7个剩余分数的方差为().A.1169B.367C.36D.677答案:B解析:模糊的数为x,则:90+x+87+94+91+90+90+91=917,x=4,所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87,方差为s2=2(9
6、0-91)2+2(91-91)2+2(94-91)2+(87-91)27=367.11.(2013山东,文11)抛物线C1:y=12px2(p0)的焦点与双曲线C2:x23-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=().A.316B.38C.233D.433答案:D解析:设Mx0,12px02,y=12px2=xp,故M点切线的斜率为x0p=33,故M33p,16p.由33p,16p,0,p2,(2,0)三点共线,可求得p=433,故选D.12.(2013山东,文12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当zxy取得最小
7、值时,x+2y-z的最大值为().A.0B.98C.2D.94答案:C解析:由x2-3xy+4y2-z=0得x2+4y2-3xy=z,zxy=x2+4y2xy-32x24y2xy-3=4xyxy-3=1,当且仅当x2=4y2即x=2y时,zxy有最小值1,将x=2y代入原式得z=2y2,所以x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y,当y=1时有最大值2.故选C.第卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,文13)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为.答案:22解析:如图,当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短,
8、AC=(3-2)2+(1-2)2=2,CB=r=2,BA=22-(2)2=2,BD=22.14.(2013山东,文14)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x+3y-60,x+y-20,y0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|2=2.15.(2013山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,已知OA=(-1,t),OB=(2,2).若ABO=90,则实数t的值为.答案:5解析:OA=(-1,t),OB=(2,2),BA=OA-OB=(-3,t-2).又AB
9、O=90,BAOB=0,即(-3,t-2)(2,2)=0,-6+2t-4=0,t=5.16.(2013山东,文16)定义“正对数”:ln+x=0,0x0,b0,则ln+(ab)=bln+a;若a0,b0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;若a0,b0,则ln+abln+a-ln+b;若a0,b0,则ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)答案:三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(2013山东,文17)(本小题满分12分)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:ABCDE身高
10、1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的
11、2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12.(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为P=310.18.(2013山东,文18)(本小题满分12分)设函数f(x)=32-3sin2x
12、-sin xcos x(0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值;(2)求f(x)在区间,32上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=32-3sin2x-sin xcos x=32-31-cos2x2-12sin 2x=32cos 2x-12sin 2x=-sin2x-3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,又0,所以22=44.因此=1.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-3.当x32时,532x-383.所以-32sin2x-31,因此-1f(x)32.故f(x)在区间,32上的最大值和最小值分别为32,-1.19.(2013山东,文19
13、)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=12AB.又ABCD,CD=12AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形,所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此CE平面PAD.证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=12AB.又CD=12AB,所以AF=CD.又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形
14、.因此CFAD.又CF平面PAD,所以CF平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又EF平面PAD,所以EF平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)证明:因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.20.(2013山东,文20)(本小题满分12分)设等差数列an的前n项
15、和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1a1+b2a2+bnan=1-12n,nN*,求bn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1得:4a1+6d=8a1+4d,a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1,解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,nN*.(2)由已知b1a1+b2a2+bnan=1-12n,nN*,当n=1时,b1a1=12;当n2时,bnan=1-12n-1-12n-1=12n.所以bnan=12n,nN*.由(1)知an=2n-1,nN*,所以bn=
16、2n-12n,nN*.又Tn=12+322+523+2n-12n,12Tn=122+323+2n-32n+2n-12n+1,两式相减得12Tn=12+222+223+22n-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1,所以Tn=3-2n+32n.21.(2013山东,文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a,bR).(1)设a0,求f(x)的单调区间;(2)设a0,且对任意x0,f(x)f(1).试比较ln a与-2b的大小.解:(1)由f(x)=ax2+bx-ln x,x(0,+),得f(x)=2ax2+bx-1x.当a=0时,f(x)=bx-1x.
17、若b0,当x0时,f(x)0,当0x1b时,f(x)1b时,f(x)0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是0,1b,单调递增区间是1b,+.当a0时,令f(x)=0,得2ax2+bx-1=0.由=b2+8a0得x1=-b-b2+8a4a,x2=-b+b2+8a4a.显然,x10.当0xx2时,f(x)x2时,f(x)0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是0,-b+b2+8a4a,单调递增区间是-b+b2+8a4a,+.综上所述,当a=0,b0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+);当a=0,b0时,函数f(x)的单调递减区间是0,1b,单调递增区间是
18、1b,+;当a0时,函数f(x)的单调递减区间是0,-b+b2+8a4a,单调递增区间是-b+b2+8a4a,+.(2)由题意,函数f(x)在x=1处取得最小值,由(1)知-b+b2+8a4a是f(x)的唯一极小值点,故-b+b2+8a4a=1,整理得2a+b=1,即b=1-2a.令g(x)=2-4x+ln x,则g(x)=1-4xx,令g(x)=0,得x=14.当0x0,g(x)单调递增;当x14时,g(x)0,g(x)单调递减.因此g(x)g14=1+ln14=1-ln 40,故g(a)0,即2-4a+ln a=2b+ln a0,即ln ab0),由题意知a2=b2+c2,ca=22,2b
19、=2,解得a=2,b=1.因此椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意-2m0或0m0,所以t=2或t=233.当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程x22+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由判别式0可得1+2k2h2,此时x1+x2=-4kh1+2k2,x1x2=2h2-21+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2h=2h1+2k2,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=221+k21+2k2-h21+2k2.因为
20、点O到直线AB的距离d=|h|1+k2,所以SAOB=12|AB|d=12221+k21+2k2-h21+2k2|h|1+k2=21+2k2-h21+2k2|h|.又SAOB=64,所以21+2k2-h21+2k2|h|=64.令n=1+2k2,代入整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=43h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=43h2.又OP=tOE=12t(OA+OB)=12t(x1+x2,y1+y2)=-2kht1+2k2,ht1+2k2,因为P为椭圆C上一点,所以t212-2kh1+2k22+h1+2k22=1,即h21+2k2t2=1.将代入得t2=4或t2=43,又知t0,故t=2或t=233.经检验,适合题意.综上所得t=2或t=233.
