1、第四章第四章 格林函数法格林函数法分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题，傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题，这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有限的积分形式，十分便于理论分析和研究。限的积分形式，十分便于理论分析和研究。格林函数又称为格林函数又称为点源函数点源函数或或影响函数影响函数。顾名思。顾名思义，它表示一个点源在一定的边界条件和义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或或)初值条
2、初值条件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极
3、其广可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。方程的边值问题。4.1 格林公式及其应用4.1.1 基本解基本解对拉普拉斯方程对拉普拉斯方程,其球坐标形式为：其球坐标形式为：0zzyyxxuuuu0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr(4.1.1)(rVu 求方程求方程(4.1.1)(4.1.1)的球对称解的球对称解(即与即与和和无关的解无关的解),),则有：则有：0)(2drdVrdrd其通解为：其通解为：2121,0(,)(ccrcrcrV为任意常数为任
4、意常数)。若取若取 0,121cc,则得到特解则得到特解 rrV1)(0,称此解为三维称此解为三维Laplace 方程的方程的基本解基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.对二维拉普拉斯方程对二维拉普拉斯方程,其极坐标形式为其极坐标形式为:0yyxxuuu(4.1.2)(rVu 求方程求方程(4.1.2)(4.1.2)的径向对称解的径向对称解(即与即与无关的解无关的解),),则有：则有：其通解为：其通解为：2121,0(,ln)(ccrcrcrV为任意常数为任意常数)。若取若取 0,121cc,则得到特解则得到特解 rrV1ln)(0,称此解为
5、二维称此解为二维Laplace方程的方程的基本解基本解.01122222urrurru0dd1dd22rVrrV4.1.2 格林公式格林公式由高斯公式由高斯公式 dVzRyQxPSdznRynQxnP ),cos(),cos(),cos(,则得到则得到格林第一公式格林第一公式：令令 zvuRyvuQxvuP,dSnvudVzvzuyvyuxvxuvdVu)(dSnuvdVzvzuyvyuxvxuudVv)(将以上两公式相减，得到将以上两公式相减，得到格林第二公式格林第二公式：dSnuvnvudVuvvu)()(调和函数调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。：具有二阶偏导数并且
6、满足拉普拉斯方程的连续函数。4.1.3 调和函数的积分表达式由由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：202020)()()(110zzyyxxrMM除在除在 0M点外处处满足三维点外处处满足三维Laplace方程方程 0u，于是有，于是有 定理：若函数定理：若函数 u在在 上有一阶连续偏导数，且在上有一阶连续偏导数，且在 内调和，则内调和，则 dSnMurrnMuMuMMMM)(1)1()(41)(000调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数
7、来表示。函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。若函数若函数 u在在 上有一阶连续偏导数，且在上有一阶连续偏导数，且在 内满足内满足Poisson方程方程 ，则同样有，则同样有 Fu dVrMFdSnMurrnMuMuMMMMMM000)(41)(1)1()(41)(04.1.4 调和函数的性质调和函数的性质 性质性质1.设设),(zyxu是区域是区域 内的调和函数，它在内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则上有一阶连续偏导数，则,0dSnu其中其中 n,的外法线方向。的外法线方向。是是证明证明 只要在只要在Green公式中取公式中取 即证。即证。1v注：此性质表明调和函数的法向导数沿
8、区域边界的积分为零。注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。思考：思考：Laplace方程方程Neumann问题有解的必要条件是什么？问题有解的必要条件是什么？.|,0fnuu.0dSfdSnu性质性质2(平均值定理平均值定理)设函数设函数)(Mu在区域在区域 内调和，内调和，0M是是 内任意一点，若内任意一点，若a0M是以是以 为中心，为中心，a为半径为半径的球面，此球完全落在区域的球面，此球完全
9、落在区域 的内部，则有的内部，则有audSaMu2041)(证明：证明：由调和函数的积分表示：由调和函数的积分表示：dSnurrnuMua1)1(41)(0及由性质及由性质1，有，有 上式称为调和函数的球面平均值公式。上式称为调和函数的球面平均值公式。011dSnuadSnuraa又因为，在又因为，在 a上有上有2211)1(arrn，所以，所以.41)(20audSaMu性质性质3(极值原理极值原理)设函数设函数),(zyxu在区域在区域 内调和，内调和，它在它在上连续且不为常数，则它的最大值与最小值上连续且不为常数，则它的最大值与最小值只能在边界上达到。只能在边界上达到。推论推论1 设在设
10、在 内有内有vuvu,;0,0在在上连续且在边界上连续且在边界上有上有vu，则在，则在内有内有.vu 推论推论2 Dirichlet问题问题 的解是唯一的。的解是唯一的。),(),(,0zyxfuzyxu证明：（反证法）假设u在内某点1M达到最大值，以1M为中心，任意长R为半径作球Rk,使它完全落在区域中，记Rk的球面为RS,则在RS上有)()(1MuMu.这是因为，若M，使)()(1MuMu,则由函数的连续性，必可找到此点在球面RS上的一个邻域，在此邻域中，也有)()(1MuMu。因此有)()(41)(411122Mud sMuRd sMuRRS这与平均值性质矛盾。由于R的任意性，则在球Rk
11、中恒有)(1Muu.任取N,在中作连结1M，N两点的折线L，记L到的边界的最小距离为d，以1M为中心，小于d的数为半径在内作求1K，则在1K上)()(1MuMu。设2M是1K的球面1S与折线L的交点，则)()(12MuMu。以2M为中心，以小于d的数为半径在内作球2k，在2k上)()()(12MuMuMu，,n次后，点N一定包含在以某点nM为中心,半径小于d的球nk内,因而)()()(1MuMuNun,由N的任意性,就得到整个上有)()(1MuNu,这与u不为常数矛盾.RS如 ,图图4 4.1 1图图4 4.1M1M2M3MnNlK1K2KnS2S1Sn 4.2 格林函数格林函数由于调和函数有
12、积分表示由于调和函数有积分表示:dSnMurrnMuMuMMMM)(1)1()(41)(000又因为又因为Dirichlet边值问题边值问题 fuxu,0的解唯一的解唯一,故希望故希望将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，unu在边界上的值虽然已知在边界上的值虽然已知,而而 在边界上的值却不知道在边界上的值却不知道.那么那么,能否作为边界条件加上能否作为边界条件加上 的值呢？的值呢？|nu因为因为,此时的解已经是唯一的了此时的解已经是唯一的了.那么只有想办法去掉那么只有想办法去掉|nu为此，引入格林函数的概念。为此，引入格林函数的概
13、念。显然这是行不通的，显然这是行不通的，(4.2.1)格林函数的物理背景格林函数的物理背景 r)(2Mu1()4u Mr02)(rr Mu01()4MMu Mr0原点处点电荷电量原点处点电荷电量 ，r0点电荷密度点电荷密度M),(zyx处点电位处点电位00M),(000zyx0r即即 处点电荷电量处点电荷电量00rr 点电荷密度点电荷密度M),(zyx处点电位处点电位1M101rr F112)(rr FMu11()4MMFu Mr2M202rr F222)(rr FMu22()4MMFu Mr11222)(rrrrFFMu121244MMMMFFrr0()F2()()u MF 001()()d
14、4MMu MFVr20u 4.2.1 格林函数的定义格林函数的定义设在设在 内有内有vuvu,;0,0在在上有一阶连续上有一阶连续偏导数，则由格林第二公式有偏导数，则由格林第二公式有 0)(dSnuvnvu(4.2.2)将（将（4.2.1）和）和(4.2.2)两式加起来：两式加起来：dSnuvrrnnvuMuMMMM)41()1(41)(00 0(4.2.3)选择调和函数选择调和函数v满足满足 0 41MMrv,于是有：于是有：dSvrnuMuMM)41()(00(4.2.4)记记 vrMMGMM0 41),(0(4.2.5)则有则有 dsnGuMu)(0(4.2.6)称称),(0MMG 为为
15、Laplace方程的格林函数。若方程的格林函数。若),(0MMG上有一阶连续偏导数，则当上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题问题且在且在),(),(,0zyxfuzyxu 上具有一阶连续偏导数的解存在时，解可以表示为上具有一阶连续偏导数的解存在时，解可以表示为在在dSnGzyxfMu),()(0(4.2.7)存在存在 对对Poisson方程的方程的Dirichlet问题问题 上存在具有一阶连续偏导数的解，则解可以如果在如果在fuzyxFu),(,表示为表示为FGdVdSnGfMu)(0由此可见由此可见,求解求解Dirichlet问题问题,关键是求关键是求Green函数函数(4.2.5
16、),其中其中v满足一个特殊的满足一个特殊的Dirichlet问题：问题：0 41 ,0)(MMrvMMv(4.2.8)称由函数称由函数v确定的格林函数为确定的格林函数为第一边值问题的格林函数第一边值问题的格林函数。4.2.2 格林函数的性质格林函数的性质1.格林函数格林函数),(0MMG在除去点在除去点 0MM 外处处满足外处处满足 Laplace方程，当方程，当 0MM 时，时，,),(0MMG其阶数与其阶数与 相同。相同。01MMr2.在边界上，格林函数恒等于零：在边界上，格林函数恒等于零：.0),(0MMG3.在区域在区域 内成立不等式：内成立不等式：041),(00MMrMMG（用极值
17、原理证明）（用极值原理证明）4.),(),(1221MMGMMG（由格林第二公式证明）（由格林第二公式证明）1MdSnG5.4.3 格林函数的应用格林函数的应用 用镜象法求特殊区域上的函数。用镜象法求特殊区域上的函数。4.3.1 上半空间内的Green函数及Dirichlet问题 求解上半空间求解上半空间 0z内的内的Dirichlet问题问题 先求上半空间先求上半空间 0z内的内的Green函数函数 yxyxfuzuuuzzzyyxx,),(0,00（4.3.1）),(0MMG，即求解问题，即求解问题 00,0),(000zGzMMMMGzddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr
18、1MMr1M0MM 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。zyx0图图4 4.2M0(x0,y0,z0)M1(x0,y0,-z0)M(x,y,z)101141),(0MMMMrrMMG于是，半空间上的格林函数为于是，半空间上的格林函数为(4.3.2)从而，问题从而，问题(4.3.1)的解可表示为的解可表示为:0000),()
19、,(zdSnGyxfzyxu由于平面由于平面z=0上的外法线方向即上的外法线方向即oz轴的负向轴的负向,所以所以,|00zzzGnG即即 2320202000)()(2|zyyxxznGz所以，问题所以，问题(4.3.1)的解为的解为:dxdyzyyxxyxfzzyxu2/320202000,00)()(),(21),(yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()3,(3,0222222),(0000zyxM)6,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG0(,)()()dG M Mu Mf MSn 20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|(,)dz
20、G M Mf x ySz3 z例例2 求解下列定解问题求解下列定解问题解：解：4.3.2 球域上的球域上的Green函数及函数及Dirichlet问题问题 其中，其中，（4.3.3）),(0MMG，即求解问题，即求解问题 0,0),(00GMMMMG),(|),(,0zyxfuzyxuuuzzyyxx求解球域上的求解球域上的Dirichlet问题问题 是以坐标原点是以坐标原点O为球心，为球心，R为半径的球域。为半径的球域。先求球域上的先求球域上的Green函数函数图图4 4.3M1 OPRM0球内的格林函数球内的格林函数 210RrrOMOM010PMPMOMrrrR0114OMPMRrr01
21、4PMr001011(,)44MMOMMMRG M MrrrR0M1MoP0M0点处点电荷电量点处点电荷电量 ，00OMrRM1点处点电荷电量点处点电荷电量 R0M1MoM任 取 球 内 一 点0M,在 半 射 线0O M上 截 取 一 线 段1O M,使210RrrO MO M,称1M为 点0M关 于 球 面的 反 演 点 或球 对 称 点。在0M处 放 单 位 正 电 荷，在1M处 放 置q单 位 负 电 荷，使 这 两 点 对内 任 一 点M所 产 生 的 电 位 在 球 面上 正 好 抵 消，即：044110M MM Mrqr当M在 球 面上 时，记 这 样 的 点 为P。由 于01O
22、 MO MrRRr且 夹 角 相 等，所 以01O P MO P M，从 而100P MP MO MrrRr，即1)(001RrrrqO MP MP M,于 是：0)1.1(41100M MO MM MrrRr容 易 验 证：0)1.1(41100M MO MM MrrRr，0MM，M位于 球 内。故 所 求G reen函 数 为：)1.1(41),(1000M MO MM MrrRrMMG从而，问题从而，问题(4.3.3)的解可表示为：的解可表示为：dSnGzyxfzyxu),(),(000因因2/32222cos24000OMOMOMRrOMRrrRRrRrGnGOMOM0OM其中其中是是
23、与与的夹角，于是：的夹角，于是：dSRrrRzyxfrRRzyxuOMOMOM2/32222000)cos2(),()(41),(000（4.3.4）此公式称为球域上的泊松积分公式。如果用球坐标表示，则有此公式称为球域上的泊松积分公式。如果用球坐标表示，则有 dRrrRrRRfdRruOMOMOM02/3222220000)cos2(sin)(,(4),(000（4.3.5）其中其中),(000r是点是点 0M的球坐标，的球坐标，),(R是是 上动点的坐标上动点的坐标，OM0OM是是与与的夹角。由于的夹角。由于 )cos,sinsin,cos(sin0000000OM)cos,sinsin,c
24、os(sin0OM所以所以)cos(sinsincoscoscos000(4.3.6)例例1.设有一半径为设有一半径为R的均匀球，上半球面的温度保持为的均匀球，上半球面的温度保持为 C00。求球内温度的稳定分布。求球内温度的稳定分布。下半球面的温度保持为下半球面的温度保持为 C01解：考虑定解问题解：考虑定解问题 2,120,0|,0),(RruRrru由球域上的泊松积分公式由球域上的泊松积分公式(4.3.5)，得，得 dRrrRrRdRrusin)cos2(4),(202/2/30202202000由于此积分的计算很困难，下面我们只考虑一些特殊位置的由于此积分的计算很困难，下面我们只考虑一些
25、特殊位置的温度分布。比如，求温度在球的铅垂直径温度分布。比如，求温度在球的铅垂直径（直径的上（直径的上半部）和半部）和（直径的下半部分）上的分布。（直径的下半部分）上的分布。当当 时，时，(见见(4.3.6)式式)，故有：，故有：dRrrRrRdRru202/2/3020220200)cos2(sin)(4)0,(2/2/102020202)cos2(2RrrRRrrRR)11(2102020202rRrRrrR00000coscos当当 0时，时，coscos,故有故有)11(21),(2020020200rRrRrrRru在以上两个公式中，当在以上两个公式中，当 00r时，球的温度为时，球
26、的温度为 .214.3.3 4.3.3 四分之一空间的格林函数四分之一空间的格林函数 3210111141),(0MMMMMMMMrrrrMMG4.4 试探法及试探法及Poisson方程的求解方程的求解 4.4.1 试探法试探法 对某些定解问题对某些定解问题,根据问题的物理意义和几何特征，可假根据问题的物理意义和几何特征，可假设解具有某种特殊形式，将这种形式的解代入方程进行试探直设解具有某种特殊形式，将这种形式的解代入方程进行试探直至求出特解。这种方法称为试探法。至求出特解。这种方法称为试探法。例例1.设有一半径为设有一半径为R的无限均匀圆柱体的无限均匀圆柱体,已知圆柱内无热源已知圆柱内无热源
27、,圆柱圆柱面上的温度分布为面上的温度分布为 22ByAx,试求圆柱内温度的稳定分布试求圆柱内温度的稳定分布.解：因柱面上温度与解：因柱面上温度与z无关无关,则域内温度也应与则域内温度也应与z无关无关,故原问题故原问题可简化为求解圆域上可简化为求解圆域上Laplace方程的第一边值问题方程的第一边值问题,采用极坐标采用极坐标,我们考虑问题我们考虑问题:)2.4.4(,sincos|)1.4.4(,01122222BRARuRrururuRrrrr由由(4.4.2),设设 EDrCrru2222sincos),(4.4.1)得得,代入代入CD,再由再由(4.4.2)得得 2222222222sin
28、cos)cos(sinsincosBRAREDRCR由 的任意性得:.2,2,22RBAEABDBAC例例2 求圆柱域求圆柱域 Rr 内的电位内的电位u,使在柱面上有给定的电场强度使在柱面上有给定的电场强度的法向分量的法向分量,即即.|RrRrxynu解解:由边界条件知，问题可化为平面问题：由边界条件知，问题可化为平面问题：)4.4.4(2sin21|)3.4.4(,01122RrunuRrururuRrRrrrr由边界条件由边界条件(4.4.4),设设 CrRru2sin4),(2,显然显然),(ru满足方程满足方程(4.4.3)及条件及条件(4.4.4)，于是问题的解为：，于是问题的解为：
29、CRrru2sin41),(2例例3 3 求由两同心球面导体求由两同心球面导体 1rr 和和 2rr 构成的电容器内构成的电容器内的电位，使内球面的电位，使内球面 1rr 保持常电位保持常电位,0v外球面接地。外球面接地。解解:采用球坐标，考虑定解问题采用球坐标，考虑定解问题)6.4.4(,0|,|)5.4.4(,0),(210rrrruvuRrru 由边界条件知，球内电位的分布仅与由边界条件知，球内电位的分布仅与r有关，即电位有关，即电位函数是球对称的，而电位与函数是球对称的，而电位与r成反比，故可设成反比，故可设 BrAru)(显然显然)(ru满足满足(4.4.5),这是因为这是因为,r1
30、是三维是三维Laplace方程方程的基本解。由的基本解。由(4.4.6)021101221 ,vrrrBvrrrrA于是于是(4.4.5)(4.4.6)的解为：的解为：021221)11(),(vrrrrrrru如果知道如果知道Poisson方程的一个特解，则通过函数代换，方程的一个特解，则通过函数代换，4.4.2 Poisson方程的求解方程的求解 就可将就可将Poisson方程边值问题化成方程边值问题化成Laplace方程的边值问题。方程的边值问题。例例1 求求 xyuuyyxx的特解。的特解。解解:设其特解为设其特解为 33),(BxyyAxyxW,则则.61BA于是，其解有无穷多个，如
31、于是，其解有无穷多个，如,613yxw,613xy)(12133xyyx等等。等等。例例2 求下列问题的解求下列问题的解 0|,4),(222222ayxuayxyxu解解:显然方程有一个特解显然方程有一个特解 22yxw,故令故令)(22yxvu,则则 2222222,0),(ayxavayxyxv由极值原理，上述问题的解为由极值原理，上述问题的解为 2),(ayxv,故原问题的解为：)(),(222yxayxu4.4.3 Dirichlet外问题与外问题与Neumann外问题简介外问题简介 Dirichlet内问题内问题Dirichlet外问题外问题fuu|0内在fuu|)(0无穷远点除外外成立在Neumann内问题内问题Neumann外问题外问题fnuu|0内在fnuu|)(0无穷远点除外外成立在由于外问题在无穷区域上提出，需附加条件：由于外问题在无穷区域上提出，需附加条件：0),(limzyxur其中，其中，222zyxr。从数学角度来讲，此条件。从数学角度来讲，此条件可以保证外问题的解是唯一的。可以保证外问题的解是唯一的。
