1、加速度瞬加速度瞬心法心法BRY一、加速度瞬心的概念一、加速度瞬心的概念 平面运动的刚体，在某一瞬时存在而且唯一存在速度瞬心和加速度瞬心，但加速度瞬心与速度瞬心一般不重合，且在不同瞬时速度瞬心或加速度瞬心为不同的点。平面运动的刚体的速度瞬心与加速度瞬心的区别：(1)速度瞬心 P：0Pv0Pa (2)加速度瞬心 P*：0*Pv0*Pa 对速度瞬心同学们已经很熟悉了，下面来讨论加速度瞬心的问题。2二、加速度瞬心的确定二、加速度瞬心的确定平面运动的刚体，其加速度瞬心为 P*，如图所示。P*Mtn*MPMPPMaaaa0*Pa2*n*MPaMPn*MPaMPaMP*t*t*MPaMa2t2n)()(*M
2、PMPMaaa24*MP2nt*tanMPMPaa结论：(1)aM 的大小与 成正比；MP*(2)aM 的方向为 。)arctan(2BRY3例如：纯滚动圆盘例如：纯滚动圆盘CrCaPParaC24*CaCP24r2tanP*已知作平面运动刚体的角速度和角加速度以及某瞬时刚体上某一点 M 的加速度的大小和方向，就可以确定该瞬时刚体的加速度瞬心 P*：24*MaMP加速度瞬心 P*位于：点 M 的加速度矢量 沿刚体角加速度 的转向转过 的角度。Ma)arctan(2BRY4几种特殊情况：几种特殊情况：(1)若刚体上点 A 的 为常矢量，则点 A 为加速度瞬心。Av(2)若 ，则 。002（瞬时平
3、移或瞬时静止）ABAaBaP*(3)若 ，则 。000（匀角速度转动）AAaBBaP*三、加速度瞬心的应用举例三、加速度瞬心的应用举例BRY运动学运动学 例题例题 1 41 4动力学动力学 例题例题 5 95 95例例 1 长度为 l 的杆 AB，其 A、B 两端分别沿铅垂面和水平面滑动，已知 为常矢量，试求当杆 AB 与水平面夹角为 时杆 AB 中点 C 的速度和加速度。AvAvABC解解1.速度分析：BvPCvPAvAcoslvA()PCvCcos21lvlA（方向如图）cos2AvBRY62.加速度分析：第一种方法：中点加速度法第一种方法：中点加速度法AvABCBvPCvtnBABAAB
4、aaaa大小方向Ba？0nBAa2ltBAal？将上式沿 BA 方向投影得到ncosBABaacosnBABaa cos2lcos)cos(2lvlA32coslvA点 C 为杆 AB 的中点，则)(21BACaaaBa21Ca32cos2lvaAC()BRY7第二种方法：两点的加速度关系法第二种方法：两点的加速度关系法AvABCBvPCvtnBABAABaaaa大小方向Ba？0nBAa2ltBAal？将上式沿铅垂向上投影得到cossin0tnBABAaacossin02lltan2tnCACAACaaaa大小方向？0nCAa221ltCAal21BRY8AvABCBvPCvBanBAatBA
5、anCAatCAasincostnCACACxaaasin21cos212llsintan21cos2122llcos22l32cos2lvAcossintnCACACyaaacos21sin212llcostan21sin2122ll0即32cos2lvaaACxC()CaBRY9第三种方法：点第三种方法：点 C 的轨迹法的轨迹法AvABCBvPCv 在杆 AB 的运动过程中，其中点 C 与点 O 的距离始终保持不变，OC=l/2，即中点 C 的轨迹是以点 O 为圆心、以 OC 为半径的圆弧。OnCaOCvaCC2n2)cos2(2lvA22cos2lvA（方向如图）tCatntnCACAA
6、CCaaaaa大小方向?221ll210?nCAatCAa将上式沿 BA 方向投影得到ntn)22cos()2cos(CACCaaa2t22212sin2coscos2lalvCABRY10AvABCBvPCvOnCatCanCAatCAa2t22212sin2coscos2lalvCA2t22)cos(212sin2coscos2lvlalvACA2sincos2)12(cos22tlvaAC32cos2sinlvA（负号表示其方向与图示相反）2tn)()(CCCaaa232222)cos2sin()cos2(lvlvAA32cos2lvAnttanCCaa2232cos2cos2sinlv
7、lvAAtan（由此可见点 C 的加速度方向为水平向左）CaBRY11第四种方法：加速度瞬心法第四种方法：加速度瞬心法AvABCBvPCvtnBABAABaaaa大小方向Ba？0nBAa2ltBAal？将上式沿 BA 方向投影得到ncosBABaacosnBABaa cos2lcos)cos(2lvlA32coslvA杆 AB 的加速度瞬心为点 A24BalAB42)(laB42322)cos()cos(lvlvAA322cossinlvA()BRY12AvABCBvPCvBanBAatBAa24 ACaC23224)cossin()cos(2lvlvlAA2222tan1cos2lvlA32
8、cos2lvA2tan2322)cos(cossinlvlvAAtanCa（即点 C 的加速度方向水平向左，如图）BRY13例例 2 如图所示平面的曲柄连杆滑块机构，曲柄 OA 以匀角速度 作逆时针转动，已知 OA=r，AB=2r，试求在图示瞬时（曲柄 OA 处于铅垂位置）连杆 AB 中点 C 的轨迹的曲率半径。ABCO解解1.速度分析：AvBvrvA()杆 AB 瞬时平移0AB0ABrvvvBACCv2.加速度分析：方法方法 1：两点的加速度关系：两点的加速度关系tnBABAABaaaa大小方向Ba?Aa2r0ABtBAaABr2?BRY(*)14BRY将式(*)沿铅垂向上方向投影，得到AB
9、COAvBvCvBaAaABtBAa30cos0tBAAaa 2322ABrr233AB()tntnCACAACCCaaaaaa大小方向nCa2CvtCa?2r0tCAaABr?将式(*)沿铅垂向上方向投影，得到(*)30costnCAACaaa2322ABCrrv15BRY2322ABCrrv2333)(222rrrr2另一种方法：将式(*)沿 AB 方向投影，得到ABCOAvBvCvBaAaABtBAa60cos30cosABaa22123raB233raB()tn(*)BABAABaaaa16BRY)(21tnBACCCaaaaaABCOAvBvCvBaAaABtBAaBCCxaaa21
10、tnCatCa263rACCyaaa21n221r22n21rvaCC222rvC22)(2rrr217BRY方法方法 2：加速度瞬心法：加速度瞬心法ABCOBvCvAvBaAa杆 AB 瞬时平移0AB0ABP*杆 AB 的加速度瞬心为点 P*ABAPaAAB*rr32233()CaABCCPa*233 r233r（方向如图）nCatCa2nCCva 30cosnCCaa 30cos2CCav2333)(22rrr218BRY例例 3 如图所示平面机构，曲柄 OA 以匀角速度 作逆时针转动，已知 OA=r，AB=2r，在图示瞬时，曲柄 OA 处于铅垂位置，试求图示瞬时滑杆 DE 的速度和加速度
11、。ABDOEr/2解解1.运动分析：动点：滑杆 DE 上的点 D（套筒 D）；动系：与杆 AB 固连。2.速度分析：avreavvvAvBvCvve杆 AB 瞬时平移0AB0ABrvvvvBACervvea()0rv19BRY3.加速度分析：ABDOEr/2Creaaaaaaa加速度瞬心法加速度瞬心法BaAaP*点 P*为杆 AB 的加速度瞬心ABDaAPaAAB*rr32233()ABDDPa*233 r233r（方向如图）大小方向Da?ra?02a33raaD()20BRY例例 4 如图所示平面机构，曲柄 OC 以匀角速度 作逆时针转动，已知 OC=r，AB=2r，C 为杆 AB 的中点，
12、试求图示瞬时（曲柄 OC 与水平线夹角为 60），(1)滑块 A 和滑块 B 的速度和加速度；(2)杆 AB 的加速度瞬心的速度。ABOC解解1.速度分析：CvAvBvPABrvCrrPCvCAB()rPAvABA3()rPBvABB()2.加速度分析：方法方法1：加速度瞬心法：加速度瞬心法OCA 为等腰三角形constconstAB0ABAB21BRY杆 AB 的加速度瞬心为点 A、B、C 加速度方向线的汇交点 P*（与点 O 重合），如图ABOCCaAaBaP*PAB*PvABPPPv*r2（方向如图）22rOCaC24*ABABCCPa（方向如图）2r24*ABABAAPa240r2r(
13、)24*ABABBBPa2403r23r()22方法方法2：两点的加速度关系：两点的加速度关系BRYABOCABCa22rOCaCtnBCBCCBaaaa大小方向Ba?2rnBCa2ABrABtBCaABr?沿水平向右投影得到30cos60cos60cos0tnBCBCCaaa332121022ABrrr0AB沿 AB 方向投影得到n60cos30cosBCCBaaa222123rraB23raB()23BRY)(21BACaaaABOCABCaBanBCaABtBCa大小方向2rAa?23r沿水平向左投影得到ACaa2160cos2raaCA()另一种求滑块另一种求滑块 A 的加速度的方法：
14、的加速度的方法：tnACACCAaaaa大小方向?2rnACa2ABrtACaABr沿水平向左投影得到30cos60cos60costnACACCAaaaa02222rr2r24BRY例例 5 如图所示处于铅垂平面内机构，均质杆 AB 的长度为 l，质量为 mAB=m，两端铰接质量分别为 mA=m 和 mB=m 的滑块 A 和滑块 B，分别沿水平和倾角为 60 的滑道滑动。不计各接触处摩擦。在滑块 A 上作用一变化力 ，使得滑块 B 的速度 为常矢量。试求当 =30 时，力 的大小。ABCBv60)(F)(FBv)(F解解1.运动分析：PABlvPBvBBAB()杆 AB 的加速度瞬心为 P*
15、（与点 B 重合）P*容易判定点 A 的加速度方向为水平向左，如图所示AaAB2tanABABtan2ABAB2233lvB()25ABABCCJMI22233121lvmlB2363BmvBRY24*ABABAAPaABCBv60)(FPABP*AaAB22244)33(lvlvlBBlvB2332CaAABABCaCPa2124*lvB2632()2.受力分析和惯性力系分析：gmABgmAgmBAFNBFNCFIlvmamFBCABC2I632CMIAFIlvmamFBAAA2I332263.达朗贝尔原理：ABCBv60)(FPABP*AaABCagmABgmAgmBAFNBFNCFICM
16、IAFIBRY：0PM0234343)(IIIlgmMlFlgmlFlFBCCABA233634363243332)(222mglvmlvmmglvmFBBBmglvmB43318317227BRY例例 6 如图所示处于铅垂平面内机构，均质杆 AB 的长度为 l，质量为 mAB=m，两端铰接质量分别为 mA=m 和 mB=m 的滑块 A 和滑块 B，滑块 A 和滑块 B 分别可沿水平和倾角为 60 的滑道滑动。不计各接触处摩擦。试求系统于图示位置无初速释放时：(1)杆 AB 的角加速度；(2)滑块 A 和滑块 B 的加速度；(3)滑道对滑块 A 和滑块 B 的约束力。解解1.运动分析：ABC6
17、030系统在无初速释放瞬时，处于瞬时静止0BAvv0AB0ABAaBa杆 AB 的加速度瞬心为 P*P*CaABABABAlAPa*ABABBlBPa*23*ABABClCPa28BRY2.受力分析和惯性力系分析：ABC6030AaBaP*CaABgmABgmAgmBAFNBFNAFIABAAAmlamFIBFIABBBBmlamFICFIABCABCmlamF23ICMIABABCCJMIABml21213.达朗贝尔原理：0PM0232343IIIIlFMlFlFlgmlgmBCCABAB012123232343ABABABABmlmlmlmlmgmglgAB3439()29BRYABAla
18、g3439()ABBlag3439（方向如图）ABC6030AaBaP*CaABgmABgmAgmBAFNBFNAFIBFICFICMI：0 xF060cos30cos30cosIIINBCABFFFF0323IIINBCABFFFF)32(33IIINBCABFFFF)2332(33ABABABmlmlmlABml233mg6881（方向如图）30BRYABC6030AaBaP*CaABgmABgmAgmBAFNBFNAFIBFICFICMI：0BM023212343NIIlFlFlgmlgmMAAAABCACAFmglMFIIN3323332ABABmlmgmll33231213322mg
19、68123()31AB60BRY例例 7 如图所示处于铅垂平面内系统，均质杆 AB 的长度为 l，质量为 mAB=m，其一端与质量为 mA=m 的在水平滑道内可滑动的滑块 A 铰接。不计各接触处摩擦。试求系统于图示位置无初速释放时杆 AB 上的最大加速度 amax 和最小加速度 amin 及其点的位置。解解系统在水平方向上无外力作用，由质心运动定理质心运动定理得到CC0RxF0)(CxAABamm0Cxa又由于系统初始静止，由此可见，系统质心 C 只能沿铅垂向下运动。CaAa杆 AB 的加速度瞬心为 P*，如图所示。P*可知，距离加速度瞬心越远的点加速度越大，反之亦然。32AB60CCAaP*
20、BRY下面求解在释放瞬时杆 AB 的角加速度。CaAPaA*l8330cos)()(2)()()(*22*2*CAAPCAAPCP CPaC*2321832)21()83(22llll2647ll87gmABgmAAFNAFICFICMImlamFAAA83ImlamFCABC87I2I121mlJMABCC33BRYAB60CCAaP*CagmABgmAAFNAFICFICMI：0AM0412875IIlgmlFMABCC0412875871212lmglmlmllg232430cos)()(2)()()(*22*2*ABAPABAPBP23832)83(22llll26443l34BRYA
21、B60CCaAaP*BaBPaaB*maxglgl234332324843（方向如图）DDaAPDPaaD*min21glgl463323248321（方向如图）35BRY另一种求解（在释放瞬时）杆另一种求解（在释放瞬时）杆 AB 的角加速度的方法：的角加速度的方法：AB60AaCtnACACACaaaatACAaatACalaAC21tgmABgmAAFNAFIAAAAmaamFI)1(ICFAAABCmaamF)1(I)2(ICFmlamFACABC21t)2(ICMI2I121mlJMABCC：0 xF030cos)2(I)1(IICCAFFF023212mlmaAlaA8336BRY：
22、0AMAB60AaCtACagmABgmAAFNAFI)1(ICF)2(ICFCMI0412143)2(I)1(IIlgmlFlFMABCCC0412121431212lmglmllmamlAgalA3334lg2324gaA233337BRY例例 8 如图所示处于铅垂平面内系统，均质圆盘 D 的半径为 r，质量 mD=m，均质杆 AB 的长度为 l=4r，质量 mAB=m，滑块 B 的质量 mB=m，圆盘 D 在变化力偶 M(t)的作用下以匀角速度 作逆时针转动。不计各接触处摩擦。试求系统在图示瞬时：(1)杆 AB 的角加速度和滑块 B 的加速度；(2)圆盘所受力偶 M(t)的大小；(3)滑
23、道对滑块 B 的约束力。ABOCDM(t)r6030解解1.运动分析：AvBv在图示瞬时，杆 AB 作瞬时平移rvvBA2（方向如图）0AB0ABAaBaP*杆 AB 的加速度瞬心为 P*，如图所示。CaAB22raA（方向如图）38BRYABOCDM(t)r6030AvBvAaBaP*CaABAPaAAB*2233322rrABBBPa*2332r()（方向如图）ABCCPa*2332r（方向如图）221raaAD（方向如图）Da392.受力分析和惯性力系分析：BRYgmDABOCD6030BaP*CaABDagmABgmBOxFOyFBFNDFI2ImramFDDDCFI2I332mram
24、FCABCCMIABABCCJMI2233)4(121rm22934mrBFI2I332mramFBBBM(t)40BRY3.达朗贝尔原理：杆 AB 和滑块 B：ABC30P*gmABgmBAxFAyFBFNCFICMIBFI：0AM024322INIIrFrgmrFrFrgmMBBBCABC0233243233229342N222rmrmgrrFrmrmgrmrBmgmrFB3952N（方向如图）41BRYgmDABOCD6030BaP*CaABDagmABgmBOxFOyFBFNDFICFICMIBFIM(t)整体：0OM0453232)(INIrFrgmrFrgmMrgmtMBBBABC
25、D03324532393421)(2N22rmrmgrrFmgrmrmgrtMB0932832217)(22NmrrFmgrtMBmgrmrtM2532)(22()42BRY例例 9 如图所示处于铅垂平面内系统，质量为 mOA 的均质杆 OA、质量为 mAB 的均质杆 AB 和质量为 mB 的滑块 B 相互铰接，已知 mOA=mAB=mB=m，OA=AB=l，在随时间变化的主动力 作用下杆 OA 以匀角速度 作逆时针转动。不计各接触处摩擦。在图示瞬时，试求系统所受到的主动力 F 的大小。)(tFABODC60)(tF解解1.运动分析：容易求证，在任意瞬时constABOA0ABCa221laC
26、Aa2laABa杆 AB 的加速度瞬心为 P*（与点 O 重合），如图所示。P*Da22*lBPaABB22*23lDPaABD43ABODC60CaAaBaP*DaBRY2.受力分析和惯性力系分析：)(tFgmOAgmABgmBBFNOxFOyFCFI2I21mlamFCOACBFI2ImlamFBBBDFI2I23mlamFDABD3.达朗贝尔原理：整体：0OM0434NlFlgmlgmlgmBBABOAmgmgmgFB4341Nmg2()44BRY杆 AB 和滑块 B：ABD)(tFgmABgmBBFNAxFAyFBFIDFI：0AM02323)(21212141INIlFltFlFlgmlFlgmBBBDAB02323)(2122121234122lmlltFlmglmglmllmg22363)(mlmgtF()45工程力学A加速度瞬心法结束谢谢！46
