1、医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计定义：信号估计定义：信号估计（Estimations）在受噪声干扰的在受噪声干扰的观测中观测中信号参量和波形的确定信号参量和波形的确定问题。问题。根据受到噪声污染的观测数据来估计随机变量或根据受到噪声污染的观测数据来估计随机变量或随机过程的运算。随机过程的运算。参量估计的参量估计的目的目的：在有限个信号观测样值中，以最佳：在有限个信号观测样值中，以最佳方式估计信号的参数。方式估计信号的参数。参数估计参数估计被估计的量是随机变量（静态估计）被估计的量是随机变量（静态估计）波形估计波形估计被估计的量是随机过程（动态估计）被估计的量是随机过程（动态估计）医
2、学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计设设x=x1,x2,.,xN为随机变量为随机变量s的独立同分布的的独立同分布的N个观测个观测样值，而样值，而f(x1,x2,.,xN)是用来估计参量是用来估计参量a的观测样值函的观测样值函数（统计量），称：数（统计量），称：f(x1,x2,.,xN)（31）为参量为参量a的估计量。的均值即为的估计量。的均值即为 E=E f(x1,x2,.,xN)。aaa数学描述：数学描述：a医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计非线性估计非线性估计已知待估参数的先验概率和条件先已知待估参数的先验概率和条件先验概率，依据某些最优判据，通过非线性数理统计验概率，依据
3、某些最优判据，通过非线性数理统计算法估计参数；算法估计参数；随机参量其特性用概率密度来表征随机参量其特性用概率密度来表征贝叶斯估计贝叶斯估计非随机参量仅为一般的未知量非随机参量仅为一般的未知量最大似然估计最大似然估计线性估计线性估计在估计参数在估计参数a为观察值为观察值x的线性函数，的线性函数，在最小均方误差意义下进行估计。在最小均方误差意义下进行估计。参数估计方法：参数估计方法：医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计估计偏差估计偏差估计方差估计方差估计值的均方误差估计值的均方误差有效估计有效估计一致估计一致估计 abE aa2aE aE a（）222()aaaDbE aa2211kkE
4、 aE aE aE a（）（）2lim()0NE aa医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计(c)均匀代价函数均匀代价函数 12(,).02ssCssss，2()ssssssssss医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计情况情况(a)平方误差情况下，风险函数最小的估计量称为平方误差情况下，风险函数最小的估计量称为最小均方估值最小均方估值(minimum mean square estimation)其风险函数为：其风险函数为：由于由于 2()(,)MSRssp s x dsdx(,)(|)().p s xp s x p x则风险函数为：则
5、风险函数为：p(x)0 故故MS最小即等效为上式括号最小即等效为上式括号 内项最小内项最小 2()(|)().MSRssp s x ds p x dx 医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计(|)1.p sx ds(|)(|).MSssp s x dsE s xMSss由于由于故故 此最小均方估值此最小均方估值，表示已知，表示已知x时，时，的条件均值。的条件均值。s医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计(|)().absRss p sx ds p x dx)(|)(|).ssss p s x dsss p s x ds（(|)(|).absabsssp s x dsp s x ds
6、情况情况(b)绝对值误差绝对值误差情况下，风险函数为：情况下，风险函数为：上式括号上式括号 内项为：内项为：故故RMS最小即等效为上式括号最小即等效为上式括号 内项最小。于是，可令内项最小。于是，可令上式对上式对 s的导数为零，则有：的导数为零，则有：,)s xABS估计应取在后验概率密度函数面积的估计应取在后验概率密度函数面积的平分线上。平分线上。医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计2222(|)(|)()()1(|)unfRp s x dsp s x ds p x dxp xp s x ds dx22(|)(|).22p s xp sssz ds情况情况(c)均匀估计均匀估计代价函
7、数代价函数 号中的后面一项为：号中的后面一项为：当此式最大，即当此式最大，即p(s|x)最大时，最大时，Runf最小。最小。此时此时MAPs称为最大后验估值称为最大后验估值(Maximum a Posteriori)；,)s x(|)ln(|)0MAPMAPs ss sp s xp s xss即满足医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计最后，将三种情况估计式中后验概率密度函数借助最后，将三种情况估计式中后验概率密度函数借助于贝叶斯公式用先验概率代替得到：于贝叶斯公式用先验概率代替得到：ABS估计为估计为MAP估计为估计为MS估计为估计为ln(|)ln()ln(|)0MAPMAPs ss
8、sp s xp sp x ssss(|)1(|)()()(|)MSsp x s dsssp x s dsp xp s p x s ds()(|)()(|).absabsssp s p x s dsp s p x s ds医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计此式为必要条件，而不是充分条件。此式为必要条件，而不是充分条件。医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计NkkNNkNkmzmzmzp1222/2212exp212exp21)(2221121ln()1()0NNkkkkNkkp z mzmzNmmNzmN如果要估如果要估ABS、MAP、
9、MS，还需，还需要已知要已知p(s)。医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计递归线性最小均方估计递归线性最小均方估计观察值：观察值：xj=s+nj,j=1,2,先验统计信息：先验统计信息：22()()0()()kjjjkjnsE nE snE
10、 n nE sD 用递归线性最小均方估计算法用递归线性最小均方估计算法1111kkkkksasbx211)minkkE ss（估计判据为使均方误差最小：估计判据为使均方误差最小：医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计基于已经证明的公式：基于已经证明的公式：11121111kkkkkkknabbbbb得到的递归估计算法流程见第得到的递归估计算法流程见第84页。页。医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计递归线性最小均方估计算法递归线性最小均方估计算法0111=0ssb x，当当k很大时，很大时，+1111=kkkkkksasbxs递归过程最终收敛。递归过程最终收敛。医学信号处理：参数估
11、计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计,1kkkNxc sv kN 次量，得到察值：最小二乘法的估计准则就是选s的估计值 ，使得各次测量的误差平方和最小，即：s测2211()minNNkkkkkkvxc s线性测量方法得到的理论值，线性测量方法得到的理论值，由测量方法决定的系数；由测量方法决定的系数；各次测量的误差各次测量的误差上式对求导，得到：也就是：1()0Nkkkkxc s c121kNkkkLSNkc csc医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计以上结论可推广到待估计量以上结论可推广到待估计量s为多维矢量的情况。为多维矢量的情况。1TTLSSC CC
12、 X 以上以上SLS为为m维待估矢量，维待估矢量，C为为nm维已知系数矩阵，维已知系数矩阵，X为为n维观察矢量。维观察矢量。医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计niniiinininiiiniiiininiiininiiiiniiXXnYXXYXaXXnYXYXnK12121111201212111)()(KXaY00()kkeYaKX21Nkkee000eeaK由和得：得：医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计贝叶斯估计：三种估计贝叶斯估计：三种估计ABS估计为估计为MAP估计为估计为MS估计为估计为ln(|)ln()ln(|)0MAPMAPs ss sp s xp sp x
13、ssss(|)1(|)()()(|)MSsp x s dsssp x s dsp xp s p x s ds()(|)()(|).absabsssp s p x s dsp s p x s ds医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计极大似然估计极大似然估计此式为必要条件，而不是充分条件。此式为必要条件，而不是充分条件。医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计线性均方估计线性均方估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计最小二乘法的估计准则就是选最小二乘法的估计准则就是选s的估计值的估计值 ，使得各，使得各次测量的误差平方和最小，即：次
14、测量的误差平方和最小，即：s2211()minNNkkkkkkvxc s,1kkkNxc sv kN 次量，得到察值：测线性测量方法得到的理论值，线性测量方法得到的理论值，由测量方法决定的系数；由测量方法决定的系数；各次测量的误差各次测量的误差上式对上式对求导，得到求导，得到1()0Nkkkkxc s c121kNkkkLSNkc csc最小二乘估计最小二乘估计估计量估计量s为多维矢量的情况：为多维矢量的情况：1TTLSSC CC X 以上以上SLS为为m维待估矢量，维待估矢量，C为为nm维已知系数矩阵，维已知系数矩阵，X为为n维观维观察矢量。察矢量。即：即：医学信号处理：参数估计医学信号处理：参数估计典型例题：典型例题：例例5.2 观察信号由随机信号加高斯噪声。观察信号由随机信号加高斯噪声。例例5.3 观察信号由均匀分布的随机信号加高斯噪声。观察信号由均匀分布的随机信号加高斯噪声。例例5.6 服从指数分布的脉冲序列的发放率的估计。服从指数分布的脉冲序列的发放率的估计。例例5.7 观察信号由非随机变量加高斯噪声。观察信号由非随机变量加高斯噪声。例例5.8 观察信号由随机信号加高斯噪声。观察信号由随机信号加高斯噪声。线性估计线性估计
