1、人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册知识点复习提纲汇编第四章数列4.1 数列的概念4.2等差数列4.3等比数列4.4 数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义5.2导数的运算5.3导数在研究函数中的应用第 23 页 共 25 页第四章数列4.1 数列的概念一、数列1.数列：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。（1）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。（2）首项：数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）。（3）记法：排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an， . 简记为 a
2、n 。( 此时表示数列，而不是集合)2.数列的分类（1）按照数列的项数分：有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列（2）按照数列的变化趋势分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数列：各项都相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。 3.数列与数集：数列是按照一定顺序排列的一列数。数集则是无序的。4.通项公式（1）数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1,2，n）为定义域的函数an=f(x)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f
3、(x)，如果f(i)（i=1,2,3,）有意义，那么我们可以得到一个数列n f(n)1 a1 2 a2 3 a3 n an f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，。数列是特殊的函数（离散函数）（2）如果数列 an 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。5.递推法：如果已知数列an的首项（或前几项），且任一项an 与它的前一项an-1 （或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。用递推公式给出数列的方法叫做递推法。6.数列的表示方法：图像、列表、公式、递推公式4.2 等差数列一、等差数列1.等差数列：一般地，如果一个数列
4、从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。（后项-前项）（1）这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项。（1）求等差中项：d=an-an-1 或 d=an+1-an（2）a，A，b为等差数列，则有 2A=a+b ， 得 A=a+b2 3.等差数列的通项公式： an = a1 +(n-1)d = (a1-d)+nd (类似一元一次方程)（1）推导：一般地，如果等差数列an的首项是a1,公差是d，我们根据等差数列的定义，可以得到a2-a1=d，a3-a2=d
5、，a4-a3=d，所以有a2=a1+d，a3=a2+d=( a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=( a1+2d)+d= a1+3d，由此，得出等差数列的通项公式 an = a1 +(n-1)d = (a1-d)+nd4.关于等差数列的公式（1）若m+n=p+q ，则 am+an=ap+aq （2）若m+n=2p ，则 am+an=2ap （3）若an = a1 +(n-1)d ，则an = am +(n-m)d（4）d=anamnm（5）若an为等差数列，公差为d，则数列ak，ak+m，ak+2m，公差为md5已知数列an的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是
6、等差数列吗？解：取数列an中的任意相邻两项an 与an-1 (n1)求差，得an- an-1 =(pn+q)-p(n-1)+q = pn+q-(pn-p+q) =p ，它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列。二、等差数列an的前n项和：1.数列an的前n项和：一般地，我们称 a1+a2+a3+an 为数列an的前n项和，用Sn 表示，即 Sn = a1+a2+a3+an 。2.等差数列an的前n项和 （1）推导：对于公差为d的等差数列， 倒序相加求和Sn =a1+(a1+d)+ (a1+2d)+a1+(n-1)d (第1项+第n项)Sn =an+(an-d)+ (an-2d)+an-(n-
7、1)d (第n项+第1项)由+，得 2Sn=(a1+an)+ (a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)，由此得到等差数列an的前n项和的公式 Sn=n(a1+an)2 =项数(首项+末项)2代入等差数列的通项公式an = a1 +(n-1)d，Sn也可以表示用首项a1与公差d表示，即Sn=na1+n(n1)d2 3.在等差数列an中。前n项和Sn的性质（1）Sm ，S2m- Sm ，S3m- S2m 也成等差数列，公差为m2d（2）等差数列 Snn ，即数列 Sm1m1 ，Smm，Sm+1m+1 ，公差为 d2 （3）ambm = S2m1T2m1 (am，bm为等差数列，S、T为前n
8、项和)4.裂项求和：设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n项和。5.常见的裂项公式：（1）1n(n+1) = 1n - 1n+1 （2）1n(n+k) = 1k ( 1n - 1n+k ) （3）1(2n1)(2n+1) = 12 ( 12n1 - 12n+1 )（4）1n+k + n = 1k ( n+k - n )（5）1n(n+1)(n+2) = 12 1n(n+1) - 1(n+1)(n+2) 6.在等差数列a2n中，所有奇数项和为 S奇=(a1+nd)(n+1)推导：S奇=a1+a3+a5+a2n-
9、1+a2n+1 =a1+(a1+2d)+(a1+4d)+(a1+2nd-2d)+(a1+2nd)S奇= a2n+1+ a2n-1+ a3+ a1 =(a1+2nd)+ (a1+2nd-2d)+(a1+2d)+ a1 +得，2 S奇=(2a1+2nd)(n+1) 所以S奇=(a1+nd)(n+1) 4.2 等比数列一、等比数列1.等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列。（1）这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。（2）等比中项：若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。则有 Ga = bG ， G2=a
10、b （a,b同号） G=ab 2.等比数列an的通项公式：an =a1qn-I （q0）推导： an =amqn-m , 公比为q= anam 3.已知Sn和an的关系，在n2时，往往得到an与an-1的关系4. M=ab ,是a，M，b为等比数列的既不充分也不必要条件5.证明数列为等比数列常用的方法：（1）定义法：an+1an = anan1 = q （q为常数，n2） （2）等比中项法：an+1 2= an an+2 （an0，nN* ） （3）通项法：an =a1qn-1 6.等比数列性质：（1）若m+n=q+p ，则 am an = ap aq （2）若m，n，p，为等差数列，则 am
11、 、 an 、ap 为等比数列。（3）若a1、a2、an-1、an 为等比数列，则 a1 an = a2 an-1= a3 an-2 =（4）若an是公比为q的等比数列，则 an （为常数）、an 、an 仍为等比数列，公比分别为q、q、q 。（5）若an、bn是公比分别为p、q的项数相同的等比数列，则 anbn、anbn 仍为等比数列，公比分别为pq、pq 。（6）若an是公比为q的等比数列，且an0，则 logc an 是以logcq为公差的等差数列。（7）若数列an是公差为d的等差数列，则数列Can 是公比为Cd 的等比数列。7.关于等比数列an的单调性：（1）单调递增：a10，q1时
12、a10，0q1时 （2）单调递减：a10，0q1时 a10，q0时 （3）常数列：q=1时（4）摆动数列：q0时 8.求等比数列时的设项方法：（1）三个数： aq 、a、aq 公比为q（2）四个数：aq3 、aq 、aq、aq3 公比为q2 09.求等差数列时的设项方法：（1）三个数：a-d、a、a+d 公差为d（2）四个数：a-3d、a-d、a+d、a+3d 公差为2d二、等比数列的前n项和1.公式的推理：数列an的前n项和：一般地，对于等比数列 a1，a2，a3，an ，的前n项和是Sn = a1+a2+a3+an ，根据等比数列的通项公式，得 错位相减法Sn = a1+a1q+a1q2+
13、a1qn-1 ，如果用公比q乘的两边，可得 qSn = a1q+a1q2+a1qn ，用-得：(1-q)Sn =a1-a1qn 所以，得 Sn = a1(1qn)1q （q1）2.等比数列的前n项和的公式： （代入通项公式）Sn = a1(1qn)1q = a1anq1q （q1） Sn = na1 （q=1）3.性质：（1） Sn ，S2n Sn ，S3n S2n 为等比数列，那么公比为qn 。（2）等比数列an项数为2n，则 S偶S奇 = q 。证明：当q1时，S偶=a2+a4+a2n = a21(q2)n1q2 .S奇 = a1+a3+a2n-1 = a11(q2)n1q2 . 则用 =
14、 S偶S奇 = a2a1 =q .当q=1时，显然成立。（3）若an为等比数列，则 Sn=Aqn+B ，且A+B=0证明：Sn = a1(1qn)1q =a11q (1qn)= a11q -a11q qn = -a11q qn +-a11q三、数列求和的常用方法1.错位相减法：等比数列（形如an =bn Cn ，且bn为等差数列，Cn为等比数列。）2.倒序相加法：等差数列3.并项求和法：（摆动数列）4.裂项相消法：（把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消，剩下首尾若干项。）（形如：1n(n+1) = 1n - 1n+1 等）5.分组求和法：（形如：an=bn+Cn ，bn、Cn同为等差数列或
15、等比数列。）例：设x0，求和Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+(xn+1xn)2 解：Sn=(x2+2+1x2)+ (x4+2+1x4)+(x2n+2+1x2n)=2n+( x2+ x4+x2n)+( 1x2+1x4+1x2n)当x2 =1 即x=1时 ，Sn=2n+n+n=4n当x21 时 ，Sn=2n+x2(1x2n)1x2 +1x2(11x2n)1x2 6.求 an 的方法：（1）观察法（规律）（2）公式法（直接）（3）已知Sn求an （an=Sn-Sn-1 ，n2，验证n=1时是否成立）例3：数列an的前n项和Sn = 32 an-3 ,求an .解：当n=1时，a1=S1=3
16、2 a1-3 ,得a1=6当n2时，an=Sn-Sn-1 =32an - 32 an-1 ,化简得 anan1=3 所以an为等比数列，an=63n-1=23n ，此时n=1时亦成立，所以an=23n 。（4）构造法 （形如an+1 = pan+q ） 变换为 an+1+x=p(an+x) 形式后求q例4：已知a1=3，an+1=2an+3，求an解：化为an+1+x=2(an+x)形式 an+1=2an+x x=3于是有an+1+3=2(an+3) ，q=2 ，an+3是以a1+3=6为首项，公比为2的等比数列 an+3=62n-1 ，an=3(2n-1)（5）累加法 （ 形如an+1 -a
17、n=f(n) ）例5：已知数列an中，a1=1,且an+1-an=3n-n，求an解：an+1-an=3n-n an-an-1=3n-1-(n-1) an-1-an-2=3n-2-(n-2) a3-a2=32-2a2-a1=3-1两边分别相加：an-a1=(3n-1+3n-2+3)-(n-1)+(n-2)+1=3(13n1)13 -n(n1)2 （-1）从而可以解出an（6）累乘法 （ 形如an+1an = f(n) ）例6：已知a1=1， an+1an =n+2n ，求an 解：an+1an =n+2n 所以 anan1 =n+1n1 an1an2 =nn2 a3a2 =42a2a1 =31
18、两边分别相乘：ana1 =n(n+1)2 ，a1=1 ，an=n(n+1)2 ，a1亦成立an=n(n+1)2 （7）作商法 （ 形如 a1 a2 a3 an = f(n) ）当n=1时 ，an=f(1) 当n2时 ，an=f(n)f(n1) 例7：在an中，a1=1 ，有a1 a2 a3 an =n2 ，求a3+a5 解：a1 a2 a3 an =n2 a1 a2 a3 an-1 =(n-1)2 得 an=( nn1 )2 a3+a5=6116（8）倒数法例8：在an中，a1=1 ，an=an13an1+1 ,求an .解：an=an13an1+1 1an =3an1+1an1 =3+1an
19、1 即1an为首项为1，公差为3的等差数列。 1an =1+(n-1)3=3n-2 an=13n2 4.4 数学归纳法一、数学归纳法1.数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0属于N*）时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k（kn0，kN*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。2.归纳法的分类：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法其中特点是“特殊一般”（1）不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法叫作不完全归纳
20、法（2）完全归纳法：把研究对象一一都考察到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。例1：用数学归纳法证明：13+23+n3=14n2n+12（nN*）证明：当n=1时，左边=13=1，右边=14121+12=1，等式成立。假设当n=k（kN*）时，等式成立，即13+23+k3=14k2k+12，那么13+23+k3+k+13=14k2k+12+k+13= k+1214k2+k+1= 14k+12k+22= 14(k+1)2 k+1+1 2即当n=k+1时，等式也成立。根据可知，等式对任意nN*都成立。第五章一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义一、变化率问题1.平均变化率：yx=f(x2
21、)f(x1)x2x12.瞬时变化率：一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+x的平均变化率在x0时的极限，即 limx0yx=limx0f(x0+x)f(x0)x3.函数f(x)在x=x0处的导数：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或yx=x0 ,即 f(x0)= limx0yx=limx0f(x0+x)f(x0)x二、导数的概念及其几何意义1.函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即K= f(x0)= limx0f(x0+x)f(x0)x2
22、.导函数：从求函数y=f(x)在x=x0处的导数的过程可以看到，当x=x0时，f(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数（导数）。即f(x)=y=limx0f(x0+x)f(x0)x5.2 导数的运算一、基本初等函数的导数（一）、几个常用函数的导数1.函数y=f(x)=c的导数：yx=f(x+x)f(x)x=ccx=0 ，所以y= limx0yx=limx00=02.函数y=f(x)=x的导数：yx=f(x+x)f(x)x=x+xxx=1，所以y= limx0yx=limx01=13.函数y=f(x)=x2的导数: yx=fx+xfxx=x
23、+x2x2x=x2+2xx+(x)2x2x=2x+x，所以y= limx0yx=limx02x+x=2x4.函数y=f(x)= 1x 的导数: yx=fx+xfxx=1x+x1xx=xx+xxx+xx= 1x2+xx ，所以y= limx0yx=limx01x2+xx=1x2 5.函数y=f(x)= x 的导数: yx=fx+xfxx=x+xxx=(x+xx)(x+x+x)x(x+x+x)=1x+x+x ，所以y= limx0yx=limx01x+x+x=12x （二）、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.导数公式函数导函数f(x)=cf(x)=0f(x)=xa（aQ*）f(x)=axa
24、-1f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)= - sinxf(x)=axf(x)=axlna（a0）f(x)=exf(x)=exf(x)=logaxf(x)=1xlna（a0，a1）f(x)=lnxf(x)= 1x二、导数的四则运算法则 f(x) g(x) = f(x) g(x) f(x) g(x) = f(x) g(x) + f(x) g(x) f(x)g(x) = f(x) g(x)f(x)g(x) g(x) 2 （g(x)0）三、简单复合函数的导数1.复合函数：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可表示成x的函数，那么称这个函数为函数
25、y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f( g(x) )。（1）复合函数y=f( g(x) )的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：yx=yu ux=f (u)g (x) （2）求复合函数的导数：例：求函数y=(2x+3)2的导数：解：函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3的复合函数，根据复合函数求导法则有：yx=yuux =(u2) (2x+3) =4u =8x+125.3导数在研究函数中的应用一、函数的单调性1.一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间（a，b）内，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f
26、(x)0，f(x)(x) 或g(x)(x) 成立，可构造函数f(x)=g(x)-(x)，后利用导数研究函数f(x)0 或f(x)0，从而得不等式g(x)(x) 或g(x)(x) 成立。例：当x0时，证明不等式ln(x+1)x-12x2 .证明：设f(x)= ln(x+1) ，g(x)= x-12x2 .F(x)= f(x)- g(x) ，则F(x)= ln(x+1)- x+12x2 . 函数F(x)的定义域为（-1，+），则F (x)=1x+11+x=x2x+1 ，当x0时，F (x)0恒成立，则函数F(x)在（0，+）上是单调递增函数，故F(x)F(0)=0，从而f(x)g(x)，即ln(x
27、+1)x-12x2 。二、函数的极值与最大(小)值1.极值点：极大值点、极小值点2.极值：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程f(x)=0 ，当f(x0)=0时：极大值：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；极小值：如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值；3.求函数f(x)极值的步骤：求函数的定义域 求函数的导数f(x) 令f(x)=0，求出全部的根x 列表 判断得结论4.不等式恒成立（或有解）与函数最值间的转化关系：不等式af(x)恒成立 ：af(x)的最大值 ；不等式af(x)恒成立 ：af(x)的最小值 ；不等式af(x)有解 ：af(x)的最小值 ；不等式af(x)有解 ：af(x)的最大值 。5.一般地，求函数y=f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数y=f(x)在a，b内的极值将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。第 25 页 共 25 页
