1、第第 8 节节 函数与方程函数与方程 最新考纲 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数. 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 函数 yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图像与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点. (3)零点存在性定理 若函数 yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符 号相反即 f(a) f(b)0)的图像与零点的关系 b24ac 0 0 0)的图像 与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2
2、，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 微点提醒 1.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数， 则 f(x)至多有一个零点.函数的零 点不是一个“点”，而是方程 f(x)0 的实根. 2.由函数 yf(x)(图像是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a) f(b)0 的零点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2019 安庆二模)定义在 R 上的函数 f(x)， 满足 f(x) x 22，x0，1）， 2x2，x1，0），且 f(x1)f(x1)，若 g(x)3log2x，则函数 F(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点 有( ) A.3
3、个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 解析 (1)法一 由 f(x)0 得 x0， x2x20或 x0， 1ln x0， 解得 x2 或 xe. 因此函数 f(x)共有 2 个零点. 法二 函数 f(x)的图像如图 1 所示， 由图像知函数 f(x)共有 2 个零点. 图 1 (2)由 f(x1)f(x1)，即 f(x2)f(x)，知 yf(x)的周期 T2. 在同一坐标系中作出 yf(x)与 yg(x)的图像(如图 2). 图 2 由于两函数图像有 2 个交点. 所以函数 F(x)f(x)g(x)在(0，)内有 2 个零点. 答案 (1)B (2)B 规律方法 函数零点个数的判断方法： (
4、1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)0 (aR)， 若函数 f(x)在 R 上有两个零点， 则 a 的取值范围是( ) A.(，1) B.(，1) C.(1，0) D.1，0) (2)(2018 全国卷)已知函数f(x) e x，x0， ln x，x0，g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零 点，则 a 的取值范围是( ) A.1，0) B.0，) C.1，) D.1，) 解析 (1)当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x1 3. 因此当 x0 时，f(x)exa0 只有一个实根，
5、aex(x0)，则1a1，则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2，0 B.2，0 C.1 2 D.0 解析 当 x1 时，令 f(x)2x10，解得 x0； 当 x1 时，令 f(x)1log2x0，解得 x1 2， 又因为 x1，所以此时方程无解. 综上函数 f(x)的零点只有 0. 答案 D 2.(2019 上饶二模)已知函数 f(x) x 22x，x0， 11 x，x0， 则函数 yf(x)3x 的零点个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 函数 yf(x)3x 的零点个数就是yf(x)与y3x两个函数图像的交点个 数，如图所示，由函数的图像可知，零点个数为 2. 答案
6、 C 3.函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) 解析 因为函数 f(x)2x2 xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2 x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1) f(2)0 时，xf(x)m， 即 x1 xm，解得 m2，即实数 m 的取值范围是(，12，). 答案 D 8.(2019 北京燕博园联考)已知函数 f(x) ln（x1） x33x （x0）， （x0，函数 f(x) x 22axa，x0， x22ax2a，x0. 若关于 x 的方程 f
7、(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_. 解析 当 x0 时，由 x22axaax，得 ax2ax；当 x0 时，由x22ax 2aax，得 2ax2ax. 令 g(x) x 2ax，x0， x2ax，x0. 作出 ya(x0)，y2a(x0)，函数 g(x)的图像如图所示，g(x)的最大值为a 2 4 a 2 2 a 2 4 ，由图像可知，若 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a0. 则 g(5)log2530， 又 g(a)在(0，)上是增函数， 实数 a 所在的区间为(5，6). 答案 A 14.(2018 郑州一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足
8、 f(x2)f(x)，且当 x1， 1时，f(x)x2.令 g(x)f(x)kxk，若在区间1，3内，函数 g(x)0 有 4 个不 相等实根，则实数 k 的取值范围是( ) A.(0，) B. 0，1 2 C. 0，1 4 D. 1 4， 1 3 解析 令 g(x)0，得 f(x)k(x1)， 由 f(x)的周期性，作出 yf(x)在1，3上的图像如图所示. 设直线 yk1(x1)经过点(3，1)，则 k11 4. 直线 yk(x1)经过定点(1，0)，且由题意知直线 yk(x1)与 yf(x)的图像 有 4 个交点，00)有三个不同的实根 x 1，x2， x3，则 x1x2x3_. 解析
9、易知 yexe x 为奇函数，且其图像向上平移 4 个单位，得 yf(x)的图像. 所以 yf(x)的图像关于点(0，4)对称， 又 ykx4 过点(0，4)且关于(0，4)对称. 方程 f(x)kx4 的三个根中有一个为 0，且另两根之和为 0. 因此 x1x2x30. 答案 0 16.(2019 邯郸模拟)若曲线 ylog2(2xm)(x2)上至少存在一点与直线 yx1 上 的一点关于原点对称，则 m 的取值范围为_. 解析 因为直线 yx1 关于原点对称的直线为 yx1，依题意方程 log2(2x m)x1 在(2，)上有解，即 m2x 1 在 x(2，)上有解，m2. 又 2xm0 恒成立，则 m(2x)min4， 所以实数 m 的取值范围为(2，4. 答案 (2，4
