1、 第第 1 节节 函数及其表示函数及其表示 最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映 射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表 法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过 三段). 知 识 梳 理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 给定两个非空数集 A 和 B，如果按照某个对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个 数 x，在集合 B 中都存在唯一的数 f(x)与之对应，那么就把对应关系 f 叫作定义在 集合 A 上的函数，记作 f：AB 或 yf(x)，xA，此时 x 叫作自变量，集合 A
2、叫 作函数的定义域，集合f(x)|xA叫作函数的值域. (2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系. (3)表示函数的常用方法有：列表法、图像法和解析法. 2.分段函数 (1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系， 这样的函数通常叫作分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值 域的并集. 微点提醒 1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射. 2.直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图像有 0 个或 1 个交点. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 y1 与 yx0是同
3、一个函数.( ) (2)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.( ) (3)f(x) x3 2x是一个函数.( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 解析 (1)错误.函数 y1 的定义域为 R，而 yx0的定义域为x|x0，其定义域 不同，故不是同一函数. (2)错误.值域 CB，不一定有 CB. (3)错误.f(x) x3 2x中 x 不存在. (4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 1P31 练习 2 改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 N y|0y2，则函数
4、 yf(x)的图像可能是( ) 解析 A 中函数定义域不是2， 2； C 中图像不表示函数； D 中函数值域不是0， 2. 答案 B 3.(必修 1P34 习题 2-2A1 改编)下列函数中， 与函数 yx1 是相等函数的是( ) A.y( x1)2 B.y 3 x31 C.yx 2 x 1 D.y x21 解析 对于 A，函数 y( x1)2的定义域为x|x1，与函数 yx1 的定义 域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数； 对于 C， 函数 yx 2 x 1 的定义域为x|x0， 与函数 yx1 的定义域 xR 不同， 不是相等函数；对于 D，定义域相同，
5、但对应法则不同，不是相等函数. 答案 B 4.(2019 延安期中)已知 f(x5)lg x，则 f(2)( ) A.1 5lg 2 B.1 2lg 5 C.1 3lg 2 D.1 2lg 3 解析 令 x52，则 x2 1 5， f(2)lg 2 1 51 5lg 2. 答案 A 5.(2019 河南、河北两省重点高中联考)函数 f(x)44xln(x4)的定义域为 _. 解析 要使 f(x)有意义，则 44x0， x40， 解得40， 且 xk 2(kZ). 1x1 且 4k0， 1lg（1x）0，解得91). (2)设 f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(0)2，得 c2， f(x1
6、)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx22axabx1， 所以 2a1， ab1，即 a1 2， b3 2. f(x)1 2x 23 2x2. (3)在 f(x)2f 1 x x1 中， 将 x 换成1 x，则 1 x换成 x， 得 f 1 x 2f(x) 1 x1， 由 f（x）2f 1 x x1， f 1 x 2f（x） 1 x1， 解得 f(x)2 3 x1 3. 答案 (1)lg 2 x1(x1) (2) 1 2x 23 2x2 (3) 2 3 x1 3 规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数 fg(x)
7、的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值 范围. (3)构造法：已知关于 f(x)与 f 1 x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外 一个等式，通过解方程组求出 f(x). 【训练 2】 (1)(2018 成都检测)已知函数 f(x)axb(a0)，且 ff(x)4x3，则 f(2)_. (2)若 f(x)满足 2f(x)f(x)3x，则 f(x)_. 解析 (1)易知 ff(x)a(axb)ba2xabb， a2xabb4x3(a0)， 因此 a 24， abb3，解得 a2， b1. 所以 f(x)2x1，则 f(2)3. (2)因为 2f(x)f(x)3x， 所以将 x
8、用x 替换，得 2f(x)f(x)3x， 由解得 f(x)3x. 答案 (1)3 (2)3x 考点三 分段函数 多维探究 角度 1 分段函数求值 【例 31】 (2018 江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2 上，f(x) cos x 2 ，01 的 x 的取 值范围是_. 解析 (1)f 5 6 35 6b 5 2b， 若5 2b 3 2时， 则 f f 5 6 f 5 2b 3 5 2b b4， 解得 b7 8，不合题意舍去. 若5 2b1，即 b 3 2，则 2 5 2b4，解得 b1 2. (2)当 x0 时，f(x)f x1 2 (x1) x1 2
9、1 ， 原不等式化为 2x3 21，解得 1 41 2时，f(x)f x1 2 2x2x 1 2， 又 x1 2时，2 x2x 1 22 1 2201 21 恒成立， 综上可知，不等式的解集为 1 4， . 答案 (1)D (2) 1 4， 规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间， 其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式 分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值 范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【训练 3】 (1)(2019 合肥模拟)已
10、知函数 f(x) x 1 x2，x2， x22，x2， 则 ff(1)( ) A.1 2 B.2 C.4 D.11 (2)已知函数 f(x) （12a）x3a，x0 时，不等式 af(a)f(a)0 等价于 a22a0，解得 a2. 当 a0 等价于a22a0，则|log2x|1 2，解得 x2 1 2或 x2 1 2 . 故 x 的集合为 1， 2， 2 2 . 答案 1， 2， 2 2 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.具有性质： f 1 x f(x)的函数， 我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： yx1 x；yln 1x 1x；y x，01， 0，x1， x，0x1，
11、则 f 1 x f(x). 所以满足“倒负”变换的函数是. 答案 B 14.(2019 河南八市联考)设函数 f(x) x，x1（R）， 2x，x1， 若对任意的 aR 都有 ff(a)2f(a)成立，则 的取值范围是( ) A.(0，2 B.0，2 C.2，) D.(，2) 解析 当 a1 时，2a2. ff(a)f(2a)22 a 2f(a)恒成立. 当 a0，所以 f 1 x log2x，则 f(x)log21 xlog2x. 答案 f(x)log2 x 16.已知函数 f(x) 2e x1，x1， x3x，x1，则 ff(x)2 的解集是_. 解析 当 x1 时，f(x)x3x2，则 ff(x)2 解集为. 当 x1 时，f(x)2ex 12. 所以 ff(x)2 等价于 f(x)1，则 2ex 11，得 x1ln 2. 故 ff(x)2 的解集为(，1ln 2). 答案 (，1ln 2)
