1、第第 5 节节 指数与指数函数指数与指数函数 最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义， 了解实数 指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函 数图像通过的特殊点，会画底数为 2，3，10，1 2， 1 3的指数函数的图像；4.体会指 数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1.根式 (1)概念：式子na叫作根式，其中 n 叫作根指数，a 叫作被开方数. (2)性质：(na)na(a 使 n a有意义)；当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan |a| a，a0， a，a0，m，nN+，且 n1)；正 数的负分数指数幂
2、的意义是 a m n 1 n am (a0，m，nN+，且 n1)；0 的正分数指 数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r， sQ. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数 yax(a0 且 a1)叫作指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定 义域是 R，a 是底数. (2)指数函数的图像与性质 a1 01； 当 x0 时，00 且 a1)的图像越高，底数越大. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)4（4）44.( ) (2)(1) 2 4(1) 1
3、2 1.( ) (3)函数 y2x 1 是指数函数.( ) (4)函数 ya x 21 (a1)的值域是(0，).( ) 解析 (1)由于4（4）44444，故(1)错. (2)(1) 2 44 （4）41，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为 yax(a0，且 a1)， 故 y2x 1 不是指数函数，故(3)错. (4)由于 x211，又 a1，ax 21a. 故 ya x 21 (a1)的值域是a，)，(4)错. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 1P70 定义引申改编)若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图像经过 2，1 3 ，则 f(1)( ) A.1 B.2
4、C. 3 D.3 解析 依题意可知 a21 3，解得 a 3 3 ， 所以 f(x) 3 3 x ，所以 f(1) 3 3 1 3. 答案 C 3.(必修 1P62 例题改编)某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年 的产量比上一年增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为( ) A.ya(1p%)x(00). 解 (1)原式11 4 4 9 1 2 1 100 1 2 11 4 2 3 1 101 1 6 1 10 16 15. (2)原式（a 3b2a 1 3b 2 3） 1 2 ab2a 1 3b 1 3 a 3 2 +1 6 -11 3b 1+1
5、3 -2-1 3a b. 规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利 用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺 序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练 1】 化简下列各式： (1)(0.064 1 5)2.5 2 3 3 33 8 0； (2)5 6a 1 3 b 2 3a 1 2b 1 4a 2 3 b 3 1 2. 解 (1)原式 64 1 000 1 5 5 2 2 3 27 8 1 31 4 10 3 1 5 5 2 2 3
6、 3 2 3 1 31 5 2 3 210. (2)原式5 2a 1 6b 3 4a 2 3 b 3 1 2 5 4a 1 6b 3 (a1 3b 3 2)5 4a 1 2 b 3 2 5 4 1 ab3 5 ab 4ab2 . 考点二 指数函数的图像及应用 【例 2】 (1)(2019 衡水中学检测)不论 a 为何值，函数 y(a1)2xa 2恒过定点， 则这个定点的坐标是( ) A. 1，1 2 B. 1，1 2 C. 1，1 2 D. 1，1 2 (2)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_. 解析 (1)y(a1)2xa 2a 2x1 2 2x，令 2x1
7、 20，得 x1，故函数 y(a 1)2xa 2恒过定点 1，1 2 . (2)在同一平面直角坐标系中画出 y|2x2|与 yb 的图像，如图所示. 当 00 C.00.62 C.0.8 0.11.250.2 D.1.70.30，且 a1)在区间1，1上的最大值 是 14，则 a 的值为_. 解析 令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x 1，1，所以 t 1 a，a ，又函数 y(t1) 22 在 1 a，a 上单调递增，所以 ymax (a1)2214，解得 a3(负值舍去).当 00，a1)的图像经过点 A(1，6)， B(3，24).若不等式 1
8、a x 1 b x m0 在 x(，1上恒成立，则实数 m 的最大 值为_. 解析 (1)因为 f(x)x2 a 与 g(x)ax(a1，且 a2)在(0，)上具有不同的单调 性. 所以 a2. 因此 M(a1)0.21，N 1 a 0.1 N. (2)依题意知 x25x40， 解得 x4 或 x1， 令 u x25x4 x5 2 2 9 4， x(，14，)，所以当 x(，1时，u 是减函数，当 x4，) 时， u 是增函数.而 31， 所以由复合函数的单调性可知， f(x) 2 54 3 xx在区间(， 1上是减函数，在区间4，)上是增函数. (3)把A(1， 6)， B(3， 24)代入
9、f(x)b ax， 得 6ab， 24b a3，结合a0， 且a1， 解得 a2， b3， 所以 f(x)3 2x.要使 1 2 x 1 3 x m 在区间(，1上恒成立， 只需保证函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(，1上的最小值不小于 m 即可.因为函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(，1上为减函数，所以当 x1 时，y 1 2 x 1 3 x 有最小值 5 6.所以只需 m 5 6即可.所以 m 的最大值为 5 6. 答案 (1)D (2)4，) (，1 (3)5 6 思维升华 1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分 数指数幂进行根式的化简运
10、算. 2.判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令 x1 得到底数的值再进行 比较. 3.指数函数的单调性取决于底数 a 的大小，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应 分 00，且 a1)的图像可能是( ) 解析 若 a1 时，yax1 a在 R 上是增函数， 当 x0 时，y11 a(0，1)，A，B 不满足. 若 00，且 10 时，bx0 时， a b x 1. a b1，ab，11. 则 g(b1)g(1)g(1)， 故 g(a)g(1)g(b1). 答案 g(a)g(b1) 三、解答题 9.已知函数 f(x) 1 2 ax ，a 为常数，且函数的图像过点(1，2). (1)
11、求 a 的值； (2)若 g(x)4 x2，且 g(x)f(x)，求满足条件的 x 的值. 解 (1)由已知得 1 2 a 2，解得 a1. (2)由(1)知 f(x) 1 2 x ， 又 g(x)f(x)，则 4 x2 1 2 x ， 1 4 x 1 2 x 20， 令 1 2 x t，则 t0，t2t20，即(t2)(t1)0， 又 t0，故 t2，即 1 2 x 2，解得 x1， 故满足条件的 x 的值为1. 10.(2018 长沙一中月考)已知函数 f(x)3 xa 3x1为奇函数. (1)求 a 的值； (2)判断函数 f(x)的单调性，并加以证明. 解 (1)因为函数 f(x)是奇
12、函数，且 f(x)的定义域为 R；所以 f(0)1a 110，所以 a 1. (2)由(1)知 f(x)3 x1 3x11 2 3x1，函数 f(x)在定义域 R 上单调递增. 证明：设 x10，所以 a6. 答案 6 14.已知定义在 R 上的函数 f(x)2x 1 2|x|， (1)若 f(x)3 2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1，2恒成立，求实数 m 的取值范围. 解 (1)当 x0，所以 2x2，所以 x1. (2)当 t1，2时，2t 22t 1 22t m 2t1 2t 0， 即 m(22t1)(24t1)，因为 22t10， 所以 m(22t1)， 因为 t1，2，所以(22t1)17，5， 故实数 m 的取值范围是5，).
