1、第第 9 节节 函数模型及其应用函数模型及其应用 最新考纲 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会 直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如 指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型) 的广泛应用. 知 识 梳 理 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表 现为与 x 轴平行 随 n
2、 值变化而各 有不同 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a、b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 与指数函数相关模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 与对数函数相关模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 与幂函数相关模型 f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0) 微点提醒 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增 长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容； “对数增长”先快后慢，其增长速度缓 慢. 2.充分理解题
3、意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数 学结果对实际问题的合理性. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按 九折出售，则每件还能获利.( ) (2)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大.( ) (3)不存在 x0，使 ax00)的增长速度.( ) 解析 (1)9 折出售的售价为 100(110%) 9 1099 元. 每件赔 1 元，(1)错. (2)中，当 x2 时，2xx24.不正确. (3)
4、中，如 ax01 2，n 1 4，不等式成立，因此(3)错. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 1P120 问题 1 引申改编)在某个物理实验中， 测得变量 x 和变量 y 的几组数 据，如下表： X 0.50 0.99 2.01 3.98 Y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) A.y2x B.yx21 C.y2x2 D.ylog2x 解析 根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98， 代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意. 答案 D 3.(必修 1P109
5、A14 改编)某公司为激励创新， 计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年 增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据： lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( ) A.2020 年 B.2021 年 C.2022 年 D.2023 年 解析 设经过 n 年资金开始超过 200 万元， 即 130(112%)n200. 两边取对数，得 n lg1.12lg 2lg 1.3， nlg 2lg 1.3 lg 1.12 0.300.11 0.05 19 5
6、，n4， 从 2021 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元. 答案 B 4.(2018 宝鸡检测)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月 生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)1 2x 22x20(万元).一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36 万件 B.18 万件 C.22 万件 D.9 万件 解析 利润 L(x)20xC(x)1 2(x18) 2142， 当 x18 万件时， L(x)有最大值. 答案 B 5.(2018 黄冈检测)已知 f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时
7、，对三 个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f(x)g(x)h(x) B.g(x)f(x)h(x) C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)h(x)g(x) 解析 在同一坐标系内，根据函数图像变化趋势，当 x(4，)时，增长速度 由大到小依次 g(x)f(x)h(x). 答案 B 6.(2019 北京海淀区月考)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方 案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元.销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元.若 公司拟定的奖励模型为 yalog4xb.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额 应为_万元. 解析 依题意 a
8、log48b1， alog464b4. 解得 a2， b2， y2log4x2， 令 2log4x28，得 x451 024. 答案 1 024 考点一 利用函数的图像刻画实际问题 【例 1】 (2017 全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律， 提高旅游服务质量， 收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位： 万人)的数据， 绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，
9、波动性更小， 变化比较平 稳 解析 由题图可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误. 答案 A 规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化 快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况， 选出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养. 【训练 1】 高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小 洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 vf(h)的大致 图像是( ) 解析 vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该
10、是先变大后变小，故选 B. 答案 B 考点二 已知函数模型求解实际问题 【例 2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可 使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源 消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) k 3x5 (0x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值. 解 (1)当 x0 时，C8，k40， C
11、(x) 40 3x5(0x10)， f(x)6x2040 3x5 6x 800 3x5(0x10). (2)由(1)得 f(x)2(3x5) 800 3x510. 令 3x5t，t5，35， 则y2t800 t 1022t 800 t 1070(当且仅当2t800 t ， 即t20时等号成立)， 此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70. 隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元. 规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【训练 2】 已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单位：百件)关于每 件衣服的利润 x(单位： 元)的函数解析式为 q(x) 1 260 x1 ，040 3 10. 所以，10 年内该企业的人均年终奖不会超过 3 万元. (2)任取 x1，x2N+，且 1x10， 所以 608002 000a0，解得 a24. 所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过 23 人.
