1、第第 3 节节 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概 念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义. 知 识 梳 理 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 一般地，给定一个在区间a，b上的函数 yf(x)，将a，b区间分成 n 份，分点为： ax00)所围成的曲边 梯形的面积为 0 k(kxx2)dx k 2x 21 3x 3 k 0 k3 2 1 3k 34 3，则 k 38，k2. 答案 (1) (2)2 考点三 定积分在物理中的应用 【例 3】 (1)物体 A 以 v3t21(m/s)的速度在一直线
2、 l 上运动，物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v10t(m/s)的速度与 A 同向运动，出发 后，物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)设变力 F(x)作用在质点 M 上， 使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10， 已知 F(x) x21 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_ J(x 的单位：m，力的单位：N). 解析 (1)因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为 0 t(3t21)dt，物体 B 在 t 秒内行驶的 路程为 0 t10tdt. 所以 0 t(3t2
3、110t)dt(t3t5t2) t 0t 3t5t25. 整理得(t5)(t21)0，解得 t5. (2)变力 F(x)x21 使质点 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10 所做的功为 W 1 10F(x)dx 1 10(x21)dx 1 3x 3x 10 1 342(J). 答案 (1)C (2)342 规律方法 定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 t a 到 tb 所经过的位移 s a bv(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 x b 时，力 F(x
4、)所做的功是 W a bF(x)dx. 【训练 3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t) 73t 25 1t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的 距离(单位：m)是( ) A.125ln 5 B.825ln 11 3 C.425ln 5 D.450ln 2 解析 令 v(t)0，得 t4 或 t8 3(舍去)， 汽车行驶距离 s 0 4 73t 25 1t dt 7t3 2t 225ln（1t） 4 0 282425ln 5425ln 5(m). 答案 C 思维升华 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积
5、分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2. a bf(x)dx、 a b|f(x)|dx 与| a bf(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函数 f(x) 在闭区间a，b上可正可负，也就是它的图像可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下 方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 a bf(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线及直线 xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和；而|f(x)|是非负的，所以 a b|f(x)|dx 表示 在区间a，b上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积；而| a bf(x)dx|则是 a bf(x)dx 的绝对值，三者的值一般情况下
6、是不相同的. 易错防范 1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和. 2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果 可以为负. 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.(2019 西安调研)定积分 0 1(2xex)dx 的值为( ) A.e2 B.e1 C.e D.e1 解析 0 1(2xex)dx(x2ex) 1 0)1e 11e. 答案 C 2.已知 1 e 1 xm dx 3e 2 ，则 m 的值为( ) A.e1 4e B.1 2 C.1 2 D.1 解析 由微积分基本
7、定理得 1 e 1 xm dx(ln xmx) e 1)m1me，结合题意得 m1me3e 2 ，解得 m1 2. 答案 B 3.(2019 郑州模拟)汽车以 v(3t2) m/s 做变速运动时， 在第 1 s 至第 2 s 之间的 1 s 内经过的路程是( ) A.13 2 m B.6 m C.15 2 m D.7 m 解析 s 1 2(3t2)dt 3 2t 22t 2 1 3 244 3 22 10 7 2 13 2 (m). 答案 A 4. 2 0 sin2x 2dx 等于( ) A.0 B. 4 1 2 C. 4 1 4 D. 21 解析 2 0 sin2x 2dx 2 0 1cos
8、 x 2 dx 1 2x 1 2sin x 2 0 | 4 1 2. 答案 B 5.定积分 0 2|x1|dx 等于( ) A.1 B.1 C.0 D.2 解析 0 2|x1|dx 0 1|x1|dx 1 2|x1|dx 0 1(1x)dx 1 2(x1)dx xx 2 2 1 0 x2 2x 2 1 11 2 22 2 2 1 21 1. 答案 A 6.如图，指数函数的图像过点 E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于( ) A. 8 ln 3 B.8 C. 9 ln 3 D.9 解析 设指数函数为 yax(a0 且 a1)，因为其过点 E(2，9)，所以 a29，解得 a3，所以图中阴影部分
9、的面积 S 0 23xdx 3x ln 3 2 0 8 ln 3. 答案 A 7.若 f(x) lg x，x0， x 0 a 3t2dt，x0，ff(1)1，则 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 D.2 解析 因为 f(1)lg 10，f(0) 0 a3t2dtt3 a 0a 3，所以由 ff(1)1，得 a31， a1. 答案 A 8.由 yx2，yx 2 4，y1 所围成的图形的面积为( ) A.4 3 B.3 4 C.2 D.1 解析 如图所示，阴影部分的面积为 S2 0 1 x21 4x 2 dx 1 2 11 4x 2 dx 2 1 3x 31 12x 3 1 0 x 1 1
10、2x 3 2 1 2 1 3 1 122 1 122 311 12 4 3. 答案 A 二、填空题 9.已知 f(x)为偶函数且 0 6f(x)dx8，则 6 6 f(x)dx_. 解析 原式 6 0 f(x)dx 0 6f(x)dx， 因为原函数为偶函数，所以在 y 轴两侧的图像对称，所以对应面积相等，即 82 16. 答案 16 10.如图所示，函数 yx22x1 与 y1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部 分)，则该闭合图形的面积是_. 解析 由 yx22x1， y1， 解得 x10，x22. S 0 2(x22x11)dx 0 2(x22x)dx x 3 3x 2 2 0 8 34
11、4 3. 答案 4 3 11.(2019 济南模拟)设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面 积为 a2，则 a_. 解析 封闭图形如图所示，则 0 a xdx2 3x 3 2 a 0 2 3a 3 20a2，解得 a4 9. 答案 4 9 12.(2019 广 州 调 研 ) 设 f(x) 1x2，x1，1）， x21，x1，2， 则 1 2 f(x)dx 的 值 为 _. 解析 1 2 f(x)dx 1 1 1x2dx 1 2(x21)dx 1 21 2 1 3x 3x 2 1 2 4 3. 答案 2 4 3 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.(一题多解)
12、若 S1 1 2x2dx，S2 1 21 xdx，S3 1 2exdx，则 S1，S2，S3的大小关系为 ( ) A.S1S2S3 B.S2S1S3 C.S2S3S1 D.S3S2S1 解析 法一 S11 3x 3 2 1 8 3 1 3 7 3， S2ln x 2 1ln 2ln e1， S3ex 2 1e 2e2.722.74.59， 所以 S2S1S3. 法二 S1，S2，S3分别表示曲线 yx2，y1 x，ye x 与直线 x1，x2 及 x 轴围 成的图形的面积，通过作图易知 S2S1S3. 答案 B 14.若 f(x)x22 0 1f(x)dx，则 0 1f(x)dx( ) A.1
13、 B.1 3 C.1 3 D.1 解析 由题意知 f(x)x22 0 1f(x)dx， 设 m 0 1f(x)dx，则 f(x)x22m， 0 1f(x)dx 0 1(x22m)dx 1 3x 32mx 1 0 1 32mm，解得 m 1 3. 答案 B 15.一物体在力 F(x) 5，0x2， 3x4，x2 (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为_ J. 解析 由题意知，力 F(x)所做的功为 W 0 4F(x)dx 0 25dx 2 4(3x4)dx 52 3 2x 24x 4 2 10 3 24 244 3 22 242
14、 36(J). 答案 36 16.(2019 萍乡模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 yx 与直线 x1 及 x 轴所 围成的图形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 V圆锥 0 1x2dx 3x 3 1 0 3. 据此类比：将曲线 y2 ln x 与直线 y1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一 周得到一个旋转体，该旋转体的体积 V_. 解析 类比已知结论，将曲线 y2ln x 与直线 y1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分， 被积函数为 (e y 2) 2ey， 积分变量 为 y，积分区间为0，1，即 V 0 1eydyey 1 0(e1). 答案 (e1)
