1、第第 2 节节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示 的平面向量共线的条件. 知 识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 存在唯一一对实数 1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (
2、1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB (x 2x1， y2y1)， |AB | （x 2x1）2（y2y1）2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10. 微点提醒 1.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)且 ab，则 x1x2且 y1y2. 2.若 a 与 b 不共
3、线，ab0，则 0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的 向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( ) (3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2满足 1a1b2a2b， 则 12，12.( ) (4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1 x2 y1 y2.( ) 解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表
4、示不相同. (4)若 b(0，0)，则x1 x2 y1 y2无意义. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 4P87A2 引申改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e1(0，0)，e2(1，2) B.e1(1，2)，e2(5，7) C.e1(3，5)，e2(6，10) D.e1(2，3)，e2 1 2， 3 4 解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. 答案 B 3.(必修 4P92B2 改编)设 P 是线段 P1P2上的一点，若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线 段 P1P2的一个三等分点(靠近点 P1)，则点 P 的坐标为( ) A.(2，2)
5、B.(3，1) C.(2，2)或(3，1) D.(2，2)或(3，1) 解析 由题意得P1P 1 3P1P2 且P1P2 (3，3). 设 P(x，y)，则(x1，y3)(1，1)， x2，y2，则点 P(2，2). 答案 A 4.(2015 全国卷)已知点 A(0， 1)， B(3， 2)， 向量AC (4， 3)， 则向量BC( ) A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4) 解析 根据题意得AB (3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7， 4)，故选 A. 答案 A 5.(2017 山东卷)已知向量 a(2，6)，b(1，)，若 ab，则 _. 解析 ab，2
6、60，解得 3. 答案 3 6.(2019 宝鸡质检)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为_. 解析 设 D(x， y)， 则由AB DC ， 得(4， 1)(5x， 6y)， 即 45x， 16y，解得 x1， y5. 答案 (1，5) 考点一 平面向量基本定理及其应用 【例 1】 (1)(2019 衡水中学调研)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若AB 2AE，AD 3AF ，AM AB AC (，R)，则5 2( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.3 (2)(2
7、019 宜春调研)在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD 1 3AB 1 2AC . 延长 AD 交 BC 于 E，若AE ABAC，则 的值是_. 解析 (1)AM AB ACAB(ABAD ) ()AB AD 2()AE 3AF. 因为 E，M，F 三点共线，所以 2()(3)1， 即 251，5 2 1 2. (2)设AE xAD ，AD 1 3AB 1 2AC ， AE x 3AB x 2AC . 由于 E，B，C 三点共线，x 3 x 21，x 6 5. 根据平面向量基本定理，得 x 3， x 2. 因此 x 3 x 2 x 6 1 5. 答案 (1)A (2)1 5 规律
8、方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三 角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【训练 1】 (1)(2019 济南质检)在ABC 中，AN 1 4NC ，若 P 是直线 BN 上的一 点，且满足AP mAB2 5AC ，则实数 m 的值为( ) A.4 B.1 C.1 D.4 (2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足OC 2 3OA 1 3OB ，则 |AC | |AB |_. 解析 (1)根据题意设BP nBN(
9、nR)，则APABBPABnBNABn(AN AB )ABn 1 5AC AB (1n)AB n 5AC . 又AP mAB2 5AC ， 1nm， n 5 2 5， 解得 n2， m1. (2)因为OC 2 3OA 1 3OB ，所以OC OA 1 3OA 1 3OB 1 3(OB OA )，所以AC 1 3 AB ，所以|AC | |AB | 1 3. 答案 (1)B (2)1 3 考点二 平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)设 A(0，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(0，1)，则AB AC等于( ) A.2AD B.2AD C.3AD D.3AD (2)向量 a，b，c 在正方形
10、网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 (1)由题意得AB (1，2)，AC(1，4)，AD (0，2)，所以AB AC(0， 6)3(0，2)3AD . (2)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形 边长为 1)， 则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)， aAO (1，1)，bOB (6，2)，cBC (1，3)， cab，(1，3)(1，1)(6，2)， 则 61， 23， 解得 2，1 2， ， 2 1 2 4. 答案 (1)C (2)D 规律方法 1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的
11、坐标，则应先求出向量 的坐标，解题过程中注意方程思想的应用. 2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行， 实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 【训练 2】 (1)(2019 江西联考)已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且 A(1，1)，C(2，3)，|BC |2|AC|，则向量OB 的坐标是_. (2)如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E 为 AD 的中点，若CA CEDB (，R)，则 的值为( ) A.6 5 B.8 5 C.2 D.8 3 解析 (1)由点 C 是线段
12、 AB 上一点，|BC |2|AC|，得BC2AC. 设点 B 为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2). 则 2x2， 3y4，解得 x4， y7. 所以向量OB 的坐标是(4，7). (2)建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0，0). 不妨设 AB1，则 CDAD2，所以 C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)， CA (2，2)，CE(2，1)，DB (1，2)， CA CEDB ，(2，2)(2，1)(1，2)， 22， 22， 解得 6 5， 2 5， 则 8 5. 答案 (1)(4，7) (2)B 考点三 平面向量共线的坐标表示 多维探究 角度 1 利用向量共
13、线求向量或点的坐标 【例 31】 (一题多解)已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_. 解析 法一 由 O，P，B 三点共线，可设OP OB (4，4)， 则AP OP OA (44，4). 又AC OC OA (2，6)， 由AP 与AC共线，得(44)64(2)0， 解得 3 4， 所以OP 3 4OB (3，3)， 所以点 P 的坐标为(3，3). 法二 设点 P(x，y)，则OP (x，y)，因为OB (4，4)，且OP 与OB 共线，所以x 4 y 4，即 xy. 又AP (x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC共线， 所以(x
14、4)6y(2)0，解得 xy3， 所以点 P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3) 角度 2 利用向量共线求参数 【例 32】 (1)(2018 全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若 c(2ab)，则 _. (2)已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若 manb 与 a3b 共线，则m n_. 解析 (1)由题意得 2ab(4，2)，因为 c(1，)，且 c(2ab)，所以 42 0，即 1 2. (2)由 2 1 3 2，所以 a 与 b 不共线， 又 a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0. 那么当 manb 与 a3b 共线时， 有m 1 n 3，即得 m
15、n 1 3. 答案 (1)1 2 (2) 1 3 规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10；(2)若 ab(b0)，则 ab. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的 坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 【训练 3】 (1)(2019 北师大附中检测)已知向量 a(1，1)，点 A(3，0)，点 B 为直 线 y2x 上的一个动点，若AB a，则点 B 的坐标为_. (2)设向量OA (1，2)，OB (2m，1)，OC (2n，0)，m，nR，O
16、 为坐标 原点，若 A，B，C 三点共线，则 mn 的最大值为( ) A.3 B.2 C.2 D.3 解析 (1)由题意设 B(x，2x)，则AB (x3，2x)， AB a，x32x0，解得 x3，B(3，6). (2)由题意易知，AB AC ，其中AB OB OA (2m1，1)，AC OC OA ( 2n1，2)， 所以(2m1)21(2n1)，得：2m 12n1. 2m 12n2 2mn1，所以 2mn122，即 mn3. 答案 (1)(3，6) (2)A 思维升华 1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论 依据，也是向量的坐标表示的基础. 2.平面向量
17、一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. 3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a1e12e2的形式. 易错防范 1.注意运用两个向量 a，b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2x2y10. 2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全 不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.向量 a，b 满足 ab(1，5)，ab(5，3)，则 b 为( ) A.(3，4) B.(3，4) C.(3，4) D.(3，4) 解析 由 ab(1，5)，ab(5，3)， 得 2b(1，5)(5，3)
18、(6，8)， b1 2(6，8)(3，4). 答案 A 2.已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与AB 同方向的单位向量是( ) A. 3 5， 4 5 B. 4 5， 3 5 C. 3 5， 4 5 D. 4 5， 3 5 解析 AB OB OA (4，1)(1，3)(3，4)， 与AB 同方向的单位向量为AB |AB | 3 5， 4 5 . 答案 A 3.已知向量 a(2，1)，b(3，4)，c(1，m)，若实数 满足 abc，则 m 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由平面向量的坐标运算法则可得 ab(5，5)， c(，m)，据此有 5， m5，解得 5，m1，m6.
19、 答案 B 4.已知向量 a(1， 2)， b(3， m)， mR， 则“m6”是“a(ab)”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由题意得 ab(2，2m)，由 a(ab)，得1(2m)22，所以 m 6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件. 答案 A 5.已知 e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且 mn0，若 ab，则m n ( ) A.1 2 B.1 2 C.2 D.2 解析 因为 ab，所以 ab，即 me12e2(ne1e2)，则 nm， 2，得 m n2. 答案 C 6.已知点 A(2，3)，B(4，
20、5)，C(7，10)，若AP ABAC(R)，且点 P 在直线 x 2y0 上，则 的值为( ) A.2 3 B.2 3 C.3 2 D.3 2 解析 设 P(x，y)，则由AP ABAC， 得(x2，y3)(2，2)(5，7)(25，27). 所以 x54，y75. 又点 P 在直线 x2y0 上， 故 542(75)0，解得 2 3. 答案 B 7.(2019 河北豫水中学质检)已知在 RtABC 中，BAC90 ，AB1，AC2， D 是ABC 内一点，且DAB60 ，设AD AB AC(，R)，则 ( ) A.2 3 3 B. 3 3 C.3 D.2 3 解析 如图，以 A 为原点，A
21、B 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴建立平面直 角坐标系，则 B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)， 因为DAB60 ，所以设 D 点的坐标为(m， 3m)(m0). AD (m， 3m)AB AC(1，0)(0，2)(，2)，则 m，且 3 2 m， 所以 2 3 3 . 答案 A 8.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记AB ， BC 分别为 a，b，则AH ( ) A.2 5a 4 5b B.2 5a 4 5b C.2 5a 4 5b D.2 5a 4 5b 解析 设AH AF ，DH DE .而DH DA
22、AH bAF b b1 2a ， DH DE a1 2b . 因此， a1 2b b b1 2a .由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定理， 得 1 2， 1 21. 解之得 4 5， 2 5.故AH AF b1 2a 2 5a 4 5b. 答案 B 二、填空题 9.(2019 安徽江南十校联考)已知平面向量 a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)，且 (ac)(ab)，则 m_. 解析 a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)， ac(m1，m3)，ab(1，m5)， 又(ac)(ab)， (m1)(m5)m30，即 m23m20， 解之得 m3 17 2 . 答案 3 17 2
23、10.已知 A(2，3)，B(4，3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且|AP|3 2|BP|，则点 P 的坐标为_. 解析 设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上， 则AP 3 2BP ，得(x2，y3)3 2(x4，y3)， 即 x23 2（x4）， y33 2（y3）. 解得 x8， y15. 所以点 P 的坐标为(8，15). 答案 (8，15) 11.已知 A(1，1)，B(3，1)，C(a，b)，若 A，B，C 三点共线，则 a，b 的关系式 为_. 解析 由已知得AB (2，2)，AC(a1，b1)， A，B，C 三点共线，AB AC. 2(b1)2(a1)0，
24、即 ab2. 答案 ab2 12.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 p(ac，b)，q (ba，ca)，且 pq，则角 C_. 解析 因为 pq，则(ac)(ca)b(ba)0， 所以 a2b2c2ab，所以a 2b2c2 2ab 1 2， 由余弦定理知，cos C1 2，又因为 0C，所以 C 3. 答案 3 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.如图，在ABC 中，AD 2 3AC ，BP1 3BD ，若AP ABAC，则 的值 为( ) A.8 9 B.4 9 C.8 3 D.4 3 解析 AP ABBPAB1 3BD AB 1 3(AD AB )2
25、 3AB 1 3 2 3AC 2 3AB 2 9AC . 因为AP ABAC，所以 2 3， 2 9，则 2 3 2 9 8 9. 答案 A 14.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为 90 ，如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB ，其中 x，yR，则 xy 的 最大值是( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 解析 因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC |2|xOA yOB |2x2y2 2xyOA OB x2y2， x2y21，则 2xyx2y21. 又(xy)2x2y22xy2， 故 xy 的最大值为 2.
26、 答案 B 15.已知|OA |1，|OB | 3，OA OB 0，点 C 在AOB 内，且OC 与OA 的夹角为 30 ，设OC mOA nOB (m，nR)，则m n的值为_. 解析 OA OB 0，OA OB ， 以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立直角坐标系， OA (1，0)，OB (0， 3)，OC mOA nOB (m， 3n). tan 30 3n m 3 3 ， m3n，即m n3. 答案 3 16.在ABC 中，点 D 满足BD DC ，当点 E 在线段 AD 上移动时，若AE AB AC ，则 t(1)22 的最小值是_. 解析 因为BD DC ， 所以AD 1 2AB 1 2AC . 又AE ABAC，点 E 在线段 AD 上移动， 所以AE AD ，则 1 2 1 2 ，即 01 2 . 所以 t(1)2222212 1 2 2 1 2. 当1 2时，t 的最小值是 1 2. 答案 1 2
