1、第第 2 节节 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决 相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列 就为等差数列. 数学语言表达式：an1and(nN+，d 为常数). (2)如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项，即 Aab 2 . 2.等差数列的通
2、项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana1(n1)d. (2)前 n 项和公式：Snna1n（n1）d 2 n（a 1an） 2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN+). (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN+)，则 akalaman. (3)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN+)是公差为 md 的等差数列. (4)若 Sn为等差数列an的前 n 项和，则数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差 数列. (5)若 Sn为等差数列an的前 n
3、项和，则数列 Sn n 也为等差数列. 微点提醒 1.已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等 差数列，且公差为 p. 2.在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最大值；若 a10，d0，则 Sn存 在最小值. 3.等差数列an的单调性：当 d0 时，an是递增数列；当 d0 时，an是递减 数列；当 d0 时，an是常数列. 4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数). 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN+，都有 2an1anan2.( ) (2)等差数列an
4、的单调性是由公差 d 决定的.( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数.( ) 解析 (3)若公差 d0，则通项公式不是 n 的一次函数. (4)若公差 d0，则前 n 项和不是二次函数. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 5P17 练习 1T3(2)改编)设数列an是等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 若 a62 且 S530，则 S8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34 解析 由已知可得 a 15d2， 5a110d30， 解得 a126 3 ， d4 3，
5、S88a187 2 d32. 答案 B 3.(必修 5P38A6(2)改编)在等差数列an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2 a8_. 解析 由等差数列的性质，得 a3a4a5a6a75a5450，a590，a2 a82a5180. 答案 180 4.(2018 全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 3S3S2S4，a12，则 a5 ( ) A.12 B.10 C.10 D.12 解析 设等差数列an的公差为 d， 则 3(3a13d)2a1d4a16d， 即 d3 2a1. 又 a12，d3，a5a14d24(3)10. 答案 B 5.(2019 皖南八校模拟)已知等差
6、数列an中，a21，前 5 项和 S515，则数列 an的公差为( ) A.3 B.5 2 C.2 D.4 解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 因为 a 21， S515，所以 a 1d1， 5a154 2 d15， 解得 d4. 答案 D 6.(2019 江西赣中南五校联考)在等差数列an中，已知 a3a80，且 S90，S90，S99（a 1a9） 2 9a50， 且 a1anS1Sn对一切正整数 n 都成立. (1)求数列an的通项公式； (2)设 a10，100，当 n 为何值时，数列 lg 1 an 的前 n 项和最大？ 解 (1)令 n1，得 a212S12a1，a1
7、(a12)0， 因为 a10，所以 a12 ， 当 n2 时，2an2 Sn，2an1 2 Sn1， 两式相减得 2an2an1an(n2). 所以 an2an1(n2)， 从而数列an为等比数列，ana1 2n 12 n . (2)当 a10，100 时，由(1)知，an 2n 100， 则 bnlg 1 anlg 100 2n lg 100lg 2n2nlg 2， 所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2， 所以 b1b2b6lg 100 26 lg 100 64 lg 10， 当 n7 时，bnb7lg 100 27 0，d0，|a1|a2| |a15|(a1a2a3a4)(a5
8、a6a15)20110130. 答案 130 14.(2019 长沙雅礼中学模拟)设 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a1a1326， S981. (1)求an的通项公式； (2)令 bn 1 an1an2，Tnb1b2bn，若 30Tnm0 对一切 nN+成立，求实 数 m 的最小值. 解 (1)等差数列an中，a1a1326，S981， 2a 726， 9a581，解得 a 713， a59， da 7a5 75 139 2 2， ana5(n5)d92(n5)2n1. (2)bn 1 an1an2 1 （2n1）（2n3） 1 2 1 2n1 1 2n3 ， Tn1 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n1 1 2n3 1 2 1 3 1 2n3 ， 1 2 1 3 1 2n3 随着 n 的增大而增大，知Tn单调递增. 又 1 2n30，Tn 1 6，m5， 实数 m 的最小值为 5.
