1、第第 3 节节 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2.了解二元一次不等式的 几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些 简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 知 识 梳 理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 AxByC0 直线 AxByC0 某一侧的所有点 组成的平面区域 不包括边界直线 AxByC0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.点 P1(x1， y1)和 P2(x2， y2)位于直线 AxByC0 的两侧
2、的充要条件是(Ax1By1 C)(Ax2By2C)0. 3.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对 x，y 的约束 条件 目标函数 关于 x，y 的解析式 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 微点提醒 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域
3、：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常 选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若 B(AxByC)0 时，区域为直线 AxByC0 的上方. (2)若 B(AxByC)0 表示的平面区域在直线 xy10 的下方. (4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是z b. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 5P98 例 3 改编)不等式组 x3y60， xy20，且不等式组 yx2， ykx1， y0 所表示的平面区域如图所示. 直线 ykx1 与 x 轴的交点为 1 k，0 ， 直线 ykx1 与直线 yx2 的交点为 3
4、 k1， 2k1 k1 ， 三角形的面积为1 2 21 k 2k1 k1 1 4， 解得 k1 或 k2 7，经检验，k 2 7不符合题意，k1. 答案 D 考点二 线性规划中的最值问题 多维探究 角度 1 求线性目标函数的最值 【例 21】 (一题多解)(2018 全国卷)若变量 x， y 满足约束条件 2xy30， x2y40， x20， 则 zx1 3y 的最大值是_. 解析 法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线 y 3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线 x2 与直线 x2y40 的交点 A(2，3)时，zx1 3y 取得最大值，故 zmax2 1 3
5、33. 法二 画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别 为(2，3)，(2，7)，(2，1)，将三点坐标代入，可知 zmax21 333. 答案 3 角度 2 求非线性目标函数的最值 【例 22】 (1)(2019 济南一模)若变量 x，y 满足约束条件 x1， xy0， x2y20， 则y x的 最大值为( ) A.1 B.3 C.3 2 D.5 (2)若 x，y 满足约束条件 xy20， 2y10， x10， 则 zx22xy2的最小值为( ) A.1 2 B.1 4 C.1 2 D.3 4 解析 (1)不等式组表示平面区域是以(1，1)， 1，3 2 ，(2，2
6、)为顶点的三角形区域 (包含边界)(图略). y x表示平面区域内的点与原点的连线的斜率， 由题意得点 1，3 2 与原点的连线斜率 最大，即y x的最大值为 3 2 1 3 2. (2)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2 y21，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1，0)的距离的平方再减去 1. 观察图形可得，平面区域内的点到定点(1，0)的距离的最小值为1 2，故 zx 2 2xy2的最小值为 zmin1 41 3 4. 答案 (1)C (2)D 角度 3 线性规划中的参数问题 【例 23】 (2019 西安质检)已知实数 x，y 满足约束条
7、件 y0， yx10， y2x40. 若目标 函数 zyax(a0)取得最大值时的最优解有无数个，则 a 的值为( ) A.2 B.1 C.1 或 2 D.1 解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示. 由 zyax(a0)得 yaxz. 因为 a0，所以要使 zyax 取得最大值时的最优解有无数个，故必有 a0. 当直线 yaxz 与直线 AC 重合，即 a1 时，直线 yaxz 在 y 轴上的截距 最大，此时 z 取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；当直线 yaxz 与 直线 BC 重合时，直线 yaxz 在 y 轴上的截距最小，此时 z 取得最小值，不符 合条件.故 a1. 答
8、案 B 规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 一般在平面区域的顶点或边界处取得. 2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式 的几何意义： (1) x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离， （xa）2（yb）2表示点(x， y)与点(a，b)的距离； (2)y x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率， yb xa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜 率. 3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件. 【训练 2】 (1)(2018 茂名二模)若实数 x，y 满足条件 xy40， x2y20
9、， x0， y0， 则 1 2 xy 的 最大值为( ) A. 1 16 B.1 2 C.1 D.2 (2)已知实数 x， y 满足约束条件 2xy0， yx， yxb， 若 z2xy 的最小值为 3， 则实数 b ( ) A.9 4 B.3 2 C.1 D.3 4 解析 (1)作出 xy40， x2y20， x0， y0 的可行域如图， 求 1 2 xy 的最大值转化为求 xy 的最小值， 令 zxy，由图知当直线 zxy 经过点(0，1)时，z 取得最小值，即 zmin01 1， 所以 1 2 xy 的最大值为 1 2 1 2. (2)作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示. 由
10、z2xy 得 y2xz， 平移直线 y2x， 由图可知当直线 y2xz 经过点 A 时，直线 y2xz 的截距最小，此时 z 最小为 3，即 2xy3. 由 2xy3， y2x， 解得 x3 4， y3 2， 即 A 3 4， 3 2 ， 又点 A 也在直线 yxb 上，即3 2 3 4b，b 9 4. 答案 (1)D (2)A 考点三 实际生活中的线性规划问题 【例 3】 (2016 全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新 型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件 产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3
11、 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润 为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大 值为_元. 解析 设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其 他限制条件，得线性约束条件为 1.5x0.5y150， x0.3y90， 5x3y600， x0，xN+， y0，yN+， 目标函数 z2 100x900y. 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐 标分别为(60，100)，(
12、0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值， zmax2 10060900100216 000(元). 答案 216 000 规律方法 1.解线性规划应用题的步骤. (1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问 题； (2)求解解这个纯数学的线性规划问题； (3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母 表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 【训练 3】 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件. 甲、乙两种
13、产品都需要在 A，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A 设备 2 小时，B 设备 6 小时；生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时，B 设备 1 小时.A，B 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时 售出，则该企业每月利润的最大值为( ) A.320 千元 B.360 千元 C.400 千元 D.440 千元 解析 设生产甲产品 x 件，生产乙产品 y 件，利润为 z 千元， 则 x0，y0， 2x3y480，z2xy， 6xy960， 作出可行域如图中阴影部分中的整点，作出直线 2x y0，平移该直线，当直线 z2xy 经过直线 2x3y480
14、 与直线 6xy960 的交点(150，60)(满足 xN，yN)时，z 取得最大值，为 360. 答案 B 思维升华 1.求最值：求二元一次目标函数 zaxby(ab0)的最值，将 zaxby 转化为直 线的斜截式：ya bx z b，通过求直线的截距 z b的最值间接求出 z 的最值.最优解 在顶点或边界处取得. 2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. 易错防范 1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. 2.在通过求直线的截距z b的最值间接求出 z 的最值时， 要注意： 当 b0 时， 截距 z b取 最大值时，z 也取最大值；
15、截距z b取最小值时，z 也取最小值；当 b0 时，截距 z b取 最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值. 直观想象高考命题中线性规划问题类型探析 直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律. 线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常 考常新. 类型 1 目标函数含参数 【例 1】 设不等式组 x0， x3y4， 3xy4 所表示的平面区域为 D，若直线 ya(x1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是_. 解析 由可行域(如图)易知直线 ya(x1)过定点 P(1，0). 当直线 ya(x1)经过 x3y4 与
16、3xy4 的交点 A(1，1)时，a 取得最小值1 2； 当直线 ya(x1)经过 x0 与 3xy4 的交点 B 时，a 取得最大值 4. 故 a 的取值范围为 1 2，4 . 答案 1 2，4 评析 1.“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态” ，即对线性规则问题 融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维 及数形结合解决问题的能力. 2.当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比较目 标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解. 类型 2 线性约束条件含参 【例 2】 已知 z2xy，其中实数 x，y 满足 yx， xy2， xa，
17、且 z 的最大值是最小值 的 4 倍，则 a 的值是( ) A. 2 11 B.1 4 C.4 D.11 2 解析 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z2xy 得 y2xz， 由图可知当直线 y2xz 经过点 A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值. 由 xy2， yx， 解得 x1， y1，即 A(1，1)， zmax2113. 当直线 y2xz 经过点 B 时，直线的纵截距最小，此时 z 最小. 由 xa， yx，解得 xa， ya，则点 B(a，a). zmin2aa3a， z 的最大值是最小值的 4 倍， 343a，即 a1 4. 答案 B 评析 当“约束条件”含参时， 可根据条件
18、先确定可行域上的边界点或者边界线， 进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般 形式的线性规划问题. 类型 3 “隐性”的线性规划问题 【例 3】 如果函数 f(x)1 2(m2)x 2(n8)x1(m0，n0)在区间 1 2，2 上单调 递减，则 mn 的最大值为( ) A.16 B.18 C.25 D.81 2 解析 f(x)(m2)xn8.由已知得：对任意的 x 1 2，2 ，f(x)0，所以 f 1 2 0，f(2)0，所以 m0，n0， m2n18， 2mn12. 画出可行域，如图，令 mnt， 则当 n0 时，t0；当 n0 时，m t n. 由线性规划
19、的相关知识，只有当直线 2mn12 与曲线 m t n相切时，t 取得最大 值. 由 t n2 1 2， 61 2n t n， 解得 n6，t18.所以(mn)max18. 答案 B 评析 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”， 有效实现了知识模块的交汇， 例 3 要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m，n”的约束条件. 2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住 可行域中所求点的相应几何意义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了 等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力. 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.已知点(3，1
20、)和点(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则 a 的取值范围为 ( ) A.(24，7) B.(7，24) C.(，7)(24，) D.(，24)(7，) 解析 根据题意知(92a) (1212a)0，即(a7)(a24)0，解得 7a0， y1 2x3， x4y12， 则 zy3 x2的取值范围为_. 解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，zy3 x2表示点 D(2，3) 与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率.因点 D(2，3)与 B(8，1)连线的斜率为1 3 且 C 的坐标为(2，2)， 故由图知 zy3 x2的取值范围为 ，1 3 . 答案 ，1 3 能力提升题组
21、(建议用时：15 分钟) 13.(2019 长沙一模)设不等式组 yx， 3yx， xy4 表示的平面区域为 1， 不等式(x2)2(y 2)22 表示的平面区域为 2，对于 1中的任意一点 M 和 2中的任意一点 N， |MN|的最小值为( ) A. 2 2 B. 2 4 C. 2 D.3 2 解析 不等式组 yx， 3yx， xy4 表示的平面区域1和不等式(x2)2(y2)22表示的 平面区域 2如图所示， 对于 1中的任意一点 M 和 2中的任意一点 N，|MN|的最小值就是点(0，0)与圆 (x2)2(y2)22 的圆心(2，2)连线的长度减去半径， 即为 （20）2（20）2 2
22、2. 答案 C 14.(2019 石家庄模拟)已知x， y满足约束条件 x10， xy0， xym0， 若 y x1的最大值为2， 则 m 的值为( ) A.4 B.5 C.8 D.9 解析 不等式组对应的可行域如图所示： 由 x1， xym0得 B(1，m1). y x1 y0 x（1）表示动点(x，y)和点 D(1，0)连线的斜率，可行域中点 B 和点 D 连线的斜率最大， m1 1（1）2，m5. 答案 B 15.(2018 山东 K12 联盟联考)已知变量 x， y 满足 2xy0， x2y30， x0， 则 zlog2(2xy) 的最大值为_. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如
23、图阴影部分所示， 令 m2xy，由图可知当直线 y2xm 经过点 A 时， 直线 y2xm 的纵截距最大，此时 m 取得最大值， 由 2xy0， x2y30解得 x1， y2，所以点 A(1，2). 则 m 的最大值为 4， 所以 z 的最大值为 log2 42. 答案 2 16.为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过 1 200 元的资金购买 单价分别为 90 元、120 元的排球 和篮球.根据需要，排球至少买 3 个，篮球至少买 2 个，并且排球的数量不得超过 篮球数量的 2 倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是_. 解析 设买排球 x 个，篮球 y 个，买排球和篮球的个数之和 zxy，则 x3， y2， x2y， 90x120y1 200， 即 x3， y2， x2y， 3x4y40. 由约束条件作出可行域如图阴影部分中的整点. 联立 x2y， 3x4y40，解得 A(8，4)，化目标函数 zxy 为 yxz，由图可知， 当直线 yxz 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值，此时 z8 412. 答案 12
