1、第第 5 节节 复复 数数 最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代 数表示法及其几何意义； 4.会进行复数代数形式的四则运算； 5.了解复数代数形式 的加、减运算的几何意义 知 识 梳 理 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如 abi(aR，bR)的数叫 复数，其中实部为 a，虚部为 b 若 b0，则 abi 为实数；若 a 0 且 b0，则 abi 为纯虚数 复数相等 abicdiac且bd(a， b， c，dR) 共轭复数 abi 与 cdi 共轭ac 且 b d(a，b，c，dR) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数 的平面叫作
2、复平面，x 轴叫实轴， y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原 点外， 虚轴上的点都表示纯虚数， 各象限内的点都表示虚数 复数的模 设OZ 对应的复数为 zabi，则 向量OZ 的长度叫作复数 za bi 的模 |z|abi|a2b2 2.复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的， 复数集 C 与复平面内所 有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数 zabi复平面内的点 Z(a，b)(a，bR). (2)复数 zabi(a，bR)平面向量OZ . 3.复数的运算 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(
3、abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； (4)除法：z1 z2 abi cdi (abi)(cdi) (cdi)(cdi) acbd(bcad)i c2d2 (cdi0). 微点提醒 1.i 的乘方具有周期性 in 1，n4k， i，n4k1， 1，n4k2， i，n4k3 (kZ). 2.复数的模与共轭复数的关系 z z |z|2|z |2. 3.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等 abicdi 列方程时，注意 a，b，c，dR 的
4、前提条件. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的 向量的模.( ) 解析 (1)虚部为 b；(2)虚数不可以比较大小 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 22P102A1 改编)若复数(a23a2)(a1)i 是纯虚数， 则实数 a 的值为 ( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.1 解析 依题意，有 a 23a20， a1
5、0， 解得 a2，故选 B. 答案 B 3.(选修 2-2P108B3 改编)已知复数 z1i(i 是虚数单位)，则 z2 z2z_. 解析 z1i， z2 z2z 1i 1i （1i）（1i） （1i）（1i） 2 2 1. 答案 1 4.(2017 全国卷)3i 1i( ) A.12i B.12i C.2i D.2i 解析 3i 1i （3i）（1i） （1i）（1i）2i. 答案 D 5.(2018 北京卷)在复平面内，复数 1 1i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 1 1i 1i 2 1 2 1 2i，其共轭复数为 1 2 1
6、2i， 复数 1 1i的共轭复数对应的点的坐标为 1 2， 1 2 ，位于第四象限，故选 D. 答案 D 6.(2019南昌调研)复数 5 2i 2 的共轭复数是( ) A.2i B.2i C.34i D.34i 解析 5 2i 2 5（2i） （2i）（2i） 2 (2i)234i，所以其共轭复数是 34i. 故选 C. 答案 C 考点一 复数的相关概念 【例 1】 (1)(2019 西安质检)已知 z2i i ，则复数 z 的虚部为( ) A.i B.2 C.2i D.2 (2)(2018 兰州实战考试)已知在复平面内，复数 z 对应的点是 Z(1，2)，则复数 z 的共轭复数z ( )
7、A.2i B.2i C.12i D.12i (3)(2019 大连一模)若复数 z 1i 1ai为纯虚数，则实数 a 的值为( ) A.1 B.0 C.1 2 D.1 解析 (1)z2i i （2i）（i） i （i） 12i，则复数 z 的虚部为2.故选 D. (2)复数 z 对应的点是 Z(1，2)，z12i， 复数 z 的共轭复数z 12i，故选 D. (3)设 zbi，bR 且 b0， 则 1i 1aibi，得到 1iabbi， 1ab，且 1b， 解得 a1，故选 D. 答案 (1)D (2)D (3)D 规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满 足的
8、条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可 2解题时一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部 【训练 1】 (1)(2018 安庆二模)已知复数 z 满足：(2i)z1i，其中 i 是虚数单 位，则 z 的共轭复数为( ) A.1 5 3 5i B.1 5 3 5i C.1 3i D.1 3i (2)(2019 株洲二模)设 i 为虚数单位，1i2ai 1i ，则实数 a( ) A.2 B.1 C.0 D.1 解析 (1)由(2i)z1i，得 z1i 2i （1i）（2i） （2i）（2i） 1 5 3 5i，z 1 5 3 5i.故
9、选 B. (2)1i2ai 1i ，2ai(1i)(1i)2， 解得 a0.故选 C. 答案 (1)B (2)C 考点二 复数的几何意义 【例 2】 (1)已知 i 是虚数单位，设复数 z11i，z212i，则z1 z2在复平面内对 应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(2019 吉安一中、 九江一中等重点中学联考)在复平面内， 复数 z 对应的点与 2 1i 对应的点关于实轴对称，则 z( ) A.1i B.1i C.1i D.1i 解析 (1)由题可得，z1 z2 1i 12i （1i）（12i） （12i）（12i） 3 5 1 5i，对应在复平
10、面上的 点的坐标为 3 5， 1 5 ，在第四象限 (2)复数z对应的点与 2 1i 2（1i） （1i）（1i）1i对应的点关于实轴对称， z 1i.故选 D. 答案 (1)D (2)D 规律方法 1.复数 zabi(a，bR) Z(a，b) OZ (a，b). 2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析 几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 【训练 2】 (1)(2019 东北三省三校二模)设 i 是虚数单位，则复数 1 1i在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)如图，若向量O
11、Z 对应的复数为 z，则 z4 z表示的复数为( ) A.13i B.3i C.3i D.3i 解析 (1) 1 1i 1i （1i）（1i） 1 2 1 2i， 则复数 z 对应的点为 1 2， 1 2 ， 在第四 象限，故选 D. (2)由题图可得 Z(1，1)，即 z1i，所以 z 4 z 1i 4 1i1i 4（1i） （1i）（1i）1i 44i 2 1i22i3i.故选 D. 答案 (1)D (2)D 考点三 复数的运算 【例 3】 (1)(2018 全国卷)(1i)(2i)( ) A.3i B.3i C.3i D.3i (2)(2018 全国卷)设 z1i 1i2i，则|z|(
12、) A.0 B.1 2 C.1 D. 2 (3)设复数 z12i，则z 23 z1 ( ) A.2i B.2i C.2 D.2 (4) 1i 1i 6 2 3i 3 2i_. 解析 (1)(1i)(2i)2i2ii23i.故选 D. (2)z1i 1i2i （1i）2 （1i）（1i）2i 12i1 2 2ii，|z|i|1.故选 C. (3)z 23 z1 （12i） 23 12i1 1 24i4i23 2i 4i 2i2.故选 C. (4)原式 （1i）2 2 6 （ 2 3i）（ 3 2i） （ 3）2（ 2）2 i6 62i3i 6 5 1i. 答案 (1)D (2)C (3)C (4
13、)1i 规律方法 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看 作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写成最简形式 (3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为 a bi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答 (4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为 abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答 【训练 3】 (1)(2018 全国卷)i(23i)( ) A.
14、32i B.32i C.32i D.32i (2)已知 i 为虚数单位，则1i 3i( ) A.2i 5 B.2i 5 C.12i 5 D.12i 5 (3)设 z1i(i 是虚数单位)，则 z22 z( ) A.13i B.13i C.13i D.13i 解析 (1)i(23i)2i3i232i，故选 D. (2)1i 3i （1i）（3i） （3i）（3i） 12i 5 . (3)因为 z1i，所以 z2(1i)212ii22i，2 z 2 1i 2（1i） （1i）（1i） 2（1i） 1i2 2（1i） 2 1i，则 z22 z2i(1i)13i.故选 C. 答案 (1)D (2)D
15、(3)C 思维升华 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分 母实数化的过程 2复数 zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充 要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数 zabi(a， bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部 的角度分解成两部分去认识 易错防范 1.判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2注意复数的虚部是指在 abi(a，bR)中的实数 b，即虚部是一个实数. 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1.(2019 合肥联考)已知
16、复数(12i)iabi，aR，bR，则 ab( ) A.3 B.1 C.1 D.3 解析 因为(12i)i2i，所以 a2，b1，则 ab1，选 B. 答案 B 2.(2018 浙江卷)复数 2 1i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1i B.1i C.1i D.1i 解析 因为 2 1i 2（1i） （1i）（1i） 2（1i） 1i2 1i，所以复数 2 1i的共轭复数 为 1i.故选 B. 答案 B 3.设复数 z 满足z |1i|i(i 为虚数单位)，则复数 z( ) A. 2i B. 2i C.1 D.12i 解析 复数 z 满足z |1i|i 2i，则复数 z 2i，故选
17、A. 答案 A 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1i)2 B.i2(1i) C.(1i)2 D.i(1i) 解析 i(1i)2i 2i2，不是纯虚数，排除 A；i2(1i)(1i)1i，不 是纯虚数，排除 B；(1i)22i，2i 是纯虚数故选 C. 答案 C 5.设 z 1 1ii(i 为虚数单位)，则|z|( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.2 解析 因为 z 1 1ii 1i （1i）（1i）i 1i 2 i 1 2 1 2i，所以|z| 1 2 2 1 2 2 2 2 . 答案 B 6.若 a 为实数，且12i ai 为实数，则 a( ) A.1 B.
18、1 2 C.1 3 D.2 解析 因为12i ai （12i）（ai） （ai）（ai） a2（2a1）i a21 是一个实数，所以 2a 10，a1 2.故选 B. 答案 B 7.(2019 豫南九校质量考评)已知复数ai 2ixyi(a，x，yR，i 是虚数单位)，则 x2y( ) A.1 B.3 5 C.3 5 D.1 解析 由题意得 ai(xyi)(2i)2xy(x2y)i，x2y1，故选 A. 答案 A 8.(2019 福建省普通高中质量检查)若复数 z 满足(1i)z| 3i|，则在复平面内， z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由
19、题意，得 z （ 3）212 1i 2（1i） （1i）（1i）1i，所以z 1i， 其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选 A. 答案 A 二、填空题 9.(2018 天津卷)i 是虚数单位，复数67i 12i_. 解析 67i 12i （67i）（12i） （12i）（12i） 205i 5 4i. 答案 4i 10.复数 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_. 解析 (12i)(3i)35i2i255i，所以 z 的实部为 5. 答案 5 11.(2019 西安八校联考)若abi i (a，bR)与(2i)2互为共轭复数，则 ab _. 解析 ab
20、i i （abi）（i） i2 bai，(2i)244i134i，abi i (a， bR)与(2i)2互为共轭复数，b3，a4，则 ab7，故答案为7. 答案 7 12.在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i，若点 A 关于直线 y x 的对称点为 B，则向量OB 对应的复数为_. 解析 因为 A(1，2)关于直线 yx 的对称点 B(2，1)，所以向量OB 对应的 复数为2i. 答案 2i 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.(2019 上饶模拟)设 a，bR，a3bi 32i(i 是虚数单位)，则 b( ) A.2 B.1 C.1 D.2 解析 因为 a3bi 3
21、2i （3bi）（32i） （32i）（32i） 92b 13 （63b）i 13 ，aR，所以 63b 13 0b2，故选 A. 答案 A 14.设 xR，i 是虚数单位，则“x2”是“复数 z(x24)(x2)i 为纯虚数” 的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由复数 z(x24)(x2)i 为纯虚数， 得 x 240， x20， 解得 x2， 所以“x2”是“复数 z(x24)(x2)i 为纯虚数”的充要条件，故选 B. 答案 B 15.计算 1i 1i 2 019 1i 1i 2 019 ( ) A.2i B.0 C.2i D
22、.2 解析 1i 1i （1i）2 （1i）（1i） 2i 2i， 1i 1ii， 1i 1i 2 019 1i 1i 2 019 (i4)504 i3(i)4504 (i)3ii0. 答案 B 16.(2019 湖南三湘名校联考)已知 i 为虚数单位，复数 z32i 2i ，则以下为真命题 的是( ) A.z 的共轭复数为7 5 4i 5 B.z 的虚部为8 5 C.|z|3 D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 z32i 2i （32i）（2i） （2i）（2i） 4 5 7i 5，z 的共轭复数为 4 5 7i 5，z 的虚 部为7 5，|z| 4 5 2 7 5 2 65 5 ，z 在复平面内对应的点为 4 5， 7 5 ，在第一象限， 故选 D. 答案 D
