1、32空间向量的坐标空间向量的坐标3.2课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标1.理解空间向量基本定理并会用其解决一些几何问理解空间向量基本定理并会用其解决一些几何问题题2掌握空间向量的坐标表示，会求空间向量的坐掌握空间向量的坐标表示，会求空间向量的坐标标3掌握空间向量的坐标运算规律，熟练掌握向量掌握空间向量的坐标运算规律，熟练掌握向量加减法、数乘及数量积的坐标运算加减法、数乘及数量积的坐标运算课前自主学案课前自主学案1平面向量基本定理的内容是：如果平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同是同一平面内的两个一平面内的两个_向量，那么对于这一平
2、向量，那么对于这一平面内的任意向量面内的任意向量a，有且仅有一对实数，有且仅有一对实数1，2，使，使a_成立，不共线的向量成立，不共线的向量e1，e2叫作叫作这一平面内所有向量的一组这一平面内所有向量的一组_2在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫作把向量向量，叫作把向量_不共线不共线基底基底正交分解正交分解1e12e21空间向量的分解与坐标空间向量的分解与坐标定理定理1：设：设e1，e2，e3是空间中三个是空间中三个_的的单位向量，则单位向量，则(1)空间中任意一个向量空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的可以写成这三个向量的线性组合即：线
3、性组合即：vxe1ye2ze3.(2)上述表达式中的系数上述表达式中的系数x，y，z由由v_决决定即：定即：如果如果vxe1ye2ze3xe1ye2ze3，则，则xx，yy，zz.表达式中的系数组成的有序数组表达式中的系数组成的有序数组(x，y，z)称为称为v在在这组基下的坐标这组基下的坐标两两垂直两两垂直唯一唯一2空间向量基本定理空间向量基本定理定理定理2：(空间向量基本定理空间向量基本定理)设设e1，e2，e3是空间是空间中三个中三个_的单位向量则的单位向量则(1)空间中任意一个向量空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的可以写成这三个向量的线性组合：线性组合：v_.(2)上述表达式中的系
4、数上述表达式中的系数x，y，z由由v唯一决唯一决定即：定即：如果如果vxe1ye2ze3xe1ye2ze3，则，则xx，yy，zz.不共面不共面xe1ye2ze31怎样正确理解空间向量基本定理？怎样正确理解空间向量基本定理？提示：提示：(1)空间向量基本定理表明，用空间三个空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组不共面已知向量组e1，e2，e3可以表示出空间可以表示出空间任意一个向量，而且表示结果是唯一的任意一个向量，而且表示结果是唯一的(2)空间中的基是不唯一的，空间中任意三个不空间中的基是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基共面向量均可作为空间向量的基思考感悟思考
5、感悟3空间向量运算的坐标公式空间向量运算的坐标公式(1)向量的加减法向量的加减法(x1，y1，z1)(x2，y2，z2)(x1x2，y1y2，z1z2)；(x1，y1，z1)(x2，y2，z2)(x1x2，y1y2，z1z2)(2)向量与实数的乘法向量与实数的乘法a(x，y，z)_(ax，ay，az)思考感悟思考感悟2如何确定向量的坐标？如何确定向量的坐标？提示：提示：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标；定，可先求其两端点的坐标；(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标；通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标；(3)给出条件求向量的问
6、题，可先设出向量的坐给出条件求向量的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量基本定理及应用空间向量基本定理及应用应用空间向量基本定理时，应用空间向量基本定理时，(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行运算律进行(2)若没给定基时，首先选择基选择时，要尽若没给定基时，首先选择基选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看
7、基向量的模及其夹角是否已知或易求就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求【思路点拨】【思路点拨】利用重心利用重心的概念，再结合图形求得的概念，再结合图形求得结果结果空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示 已知在正四棱锥已知在正四棱锥P-ABCD中，中，O为底面中心，为底面中心，底面边长和高都是底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱分别是侧棱PA，PB的的中点，如图所示，以中点，如图所示，以O为坐标原点，分别以射线为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为的指向为x轴，轴，y轴，轴，z轴的正方向，轴的正方向，建立空间直角坐标系分别写出点建立空间直角坐标系分别写出点A，B，C，D，E，F的坐标的坐标
8、【思路点拨】【思路点拨】通过特殊点通过特殊点(中点、轴上的点中点、轴上的点)来求来求其他点的坐标其他点的坐标向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标求点的坐标时，一定要注意向量的起点是标求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点在原点时，向量的坐标与终点坐标否在原点在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标才是终点坐标空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 已知已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求：求：(1)(2ab)(a2b)；(2)以以a，b为邻边的平行四边形的面
9、积为邻边的平行四边形的面积【思路点拨】【思路点拨】(1)利用向量的坐标运算求出利用向量的坐标运算求出2ab和和a2b的坐标，再利用向量的数量积求的坐标，再利用向量的数量积求解解(2)由由a，b的坐标求出的坐标求出cos后，转化后，转化为为sin，再利用三角形的面积公式求解，再利用三角形的面积公式求解【解】【解】(1)2ab2(2，1，2)(0，1,4)(4，3,0)，a2b(2，1，2)2(0，1,4)(2,1，10)，(2ab)(a2b)(4，3,0)(2,1，10)42(3)10(10)5.【名师点评】【名师点评】向量的数量积运算常用的处理向量的数量积运算常用的处理思路有两种，一是先求坐标
10、再求点乘；另一个思路有两种，一是先求坐标再求点乘；另一个是先利用多项式的乘法展开，再代入坐标求是先利用多项式的乘法展开，再代入坐标求解在解题时应注意适当地选择求解方法解在解题时应注意适当地选择求解方法利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首先利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点且互建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再利用公相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再利用公式解决夹角、模等问题式解决夹角、模等问题利用向量的坐标表示求夹角和距离利用向量的坐标表示求夹角和距离如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体A
11、BCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G分别是分别是DD1、BD、BB1的中点的中点(1)求证：求证：EFCF；(2)求求CE的长的长【名师点评】【名师点评】在特殊的几何体中建立空间直在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单变得简单1空间向量基本定理说明空间向量基本定理说明用空间三个不共面的已知向量组用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线可以线性表示出空间
12、任意一个向量，而且表示的结果是性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的唯一的2关于空间直角坐标系的建立关于空间直角坐标系的建立建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴同时，使尽可能多直关系确定原点和各坐标轴同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内这样可以较方便的点在坐标轴上或坐标平面内这样可以较方便的写出点的坐标的写出点的坐标3空间向量在几何中的应用空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长定几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可在此处，要所成的角，只需通过简单运算即可在此处，要认真体会向量的工具性作用认真体会向量的工具性作用
