1、第第1414章章 机械振动机械振动 了解了解简谐振动的运动学定义，简谐振动的运动学定义，掌握掌握简谐振动的规律，能从简谐振动的运动学方简谐振动的规律，能从简谐振动的运动学方程求出做简谐振动物体的速度和加速度，程求出做简谐振动物体的速度和加速度，掌握掌握简谐简谐振动三要素的确定方法和能量的计算。振动三要素的确定方法和能量的计算。掌握掌握简谐振动的旋转矢量表示。简谐振动的旋转矢量表示。理解理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点。拍和相互垂直简谐运动合成的特点。任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变
2、化均称为振动振动.机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动.周期和非周期振动周期和非周期振动 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等中原子的振动等.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解14-1 14-1 简谐运动简谐运动kl0 xmoAA 弹簧振子的振动弹簧振子的振动00Fx14-1 14-1 简谐运动简谐运动makx
3、Fxtx222ddmk2令令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo14-1 14-1 简谐运动简谐运动tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa14-1 14-1 简谐运动简谐运动)cos(tAx一一 振幅振幅maxxA 二二 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 圆频率圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系
4、统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意tx图图AAxT2Tto14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位1 1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;),(vxt202 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态；三三 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态.)0(t)(2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同.（周期性）周期性）20(取取 或或 )tx图图AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 简谐运动中，简谐运动中，和和 间不
5、存在一一对应的关系间不存在一一对应的关系.x vvvv14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位22020vxA00tanxv四四 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAx14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位cos0A2 0sin0Av2 0sin0,0,0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2
6、 cos(tAxAAxT2Tto14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位xoAcos0Ax 当当 时时0t0 x14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量xoAtt t)cos(tAx时时14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量)cos(tAx 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动.xA14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量Amv)sin()2 cos(tAtAv)cos()cos(22tAtAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 （旋转矢量旋转一周所
7、需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量AAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差.1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的
8、上的差异差异.（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto任意值任意值超前超前落后落后txo反相反相14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 例例1 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 .（1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0 xm05.0 x10sm30.0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度
9、不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；m/xo0.0514-3 14-3 旋转矢量旋转矢量ox解解 （1）11s0.6kg02.0mN72.0mkm05.0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0.6cos()m05.0(1t14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量oxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAs
10、inv1sm26.0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量解解 m0707.022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx4)s0.6cos()m0707.0(1tm05.0 x10sm30.0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400v14-3 14-3 旋
11、转矢量旋转矢量 例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4xm04.0处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求Ox （1 1）时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力；s0.1to08.004.004.008.0m/xv解解m08.0A1s22T14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量o08.004.004.008.0m/x300vm04.0,0 xt代入代入)cos(tAxcos)m08.0(m04.03A33)s2cos()m08.0(
12、1txm08.0A1s22T14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量o08.004.004.008.0m/xv3)s2cos()m08.0(1txs0.1t代入上式得代入上式得m069.0 xxmkxF2)m069.0()s2)(kg01.0(21N1070.13kg01.0m14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量o08.004.004.008.0m/xv （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间.m04.0 x 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为m04.0 xt3)s2cos()m08.0(m04.01t
13、s23)21(arccosts667.0s3214-3 14-3 旋转矢量旋转矢量o08.004.004.008.0m/x解法二解法二33起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts667.0s32t1s214-3 14-3 旋转矢量旋转矢量一一 单摆单摆lmoAmglmglMsin22ddtJmgl2mlJ lgt22dd222ddt)cos(mtlg2令令TFPglT2转动转动正向正向sin,5时时14-4 14-4 单摆和复摆单摆和复摆oC*二二 复摆复摆lmglM22ddtJmgl222ddtJmgl2令令)cos(mt)5(P（点为质心）点为质心）CmglJT2转动正向转动正向14-4 14
14、-4 单摆和复摆单摆和复摆三三 简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征xa24 4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反xtx222dd2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述)sin(tAv)cos(tAx3 3）简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述Jmgl复摆复摆mk弹簧振子弹簧振子lg单摆单摆kxF1 1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 x14-4 14-4 单摆和复摆单摆和复摆)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系
15、统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）14-5 14-5 简谐运动能量简谐运动能量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv,xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin2114-5 14-5 简谐运动能量简谐运动能量简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO14-5 14-5 简谐运动能量简谐运动能量能
16、量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx14-5 14-5 简谐运动能量简谐运动能量 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10.0m100.122sm0.4（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解（1）2maxAaAamax1s20s314.02T14-5 14-5 简谐运动能量简谐运
17、动能量（2）J100.23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100.23（4）pkEE 时，时，J100.13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105.0cm707.0 x14-5 14-5 简谐运动能量简谐运动能量11A1xx0一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐
18、运动运动14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k),2 1 0(，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差)12(12k),1 0(，ktAxcos11)cos(22tAx14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AA
19、A212k)10(，k相互加强相互加强相互削弱相互削弱)12(12k)10(，k14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成11Axo二二 多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动的合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx)1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),
20、2,1,(kkNk2 2）2kN1 1）2 k),2,1,0(k 个矢量依次相接构个矢量依次相接构成一个成一个闭合闭合的多边形的多边形.N讨讨论论14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成三三 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx质点运动轨迹质点运动轨迹1 1）或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （椭圆方程）（椭圆方程）讨论讨论14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxt
21、Axcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成本节课作业：本节课作业：P37 14-4 14-8 14-13本学期实验：本学期实验：实验实验14 14 线性电阻和非线性电阻的伏安特性曲线线性电阻和非线性电阻的伏安特性曲线（电阻元件与二极管）（电阻元件与二极管）实验实验15 15 电表的改装和校正（电流计改装为电流电表的改装和校正（电流计改装为电流表）表）实验实验16 16 用惠斯通电桥测电阻用惠斯通电桥测电阻
