1、第3节 简单应用一利用逆矩阵解线性方程组一利用逆矩阵解线性方程组设用矩阵表示的方程组为设用矩阵表示的方程组为 ，其中，其中BAX nnijaATnxxxX21TnbbbB21BAX1若若A可逆可逆e.g.1e.g.1 设设A为上节为上节 e.g.9 中矩阵，即中矩阵，即 301423512A1711711721723171117517141731761Ae.g.9 若若,100TB 则对方程组则对方程组,BAX 可解得可解得17117231714100171171172172317111751714173176321xxxBAX1即所求解为即所求解为 171,1723,1714321xxxRe
2、mark 利用逆矩阵求解要求利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数方程个数与未知数个数相等个数相等，且矩阵，且矩阵 可逆可逆，否则此法失效。，否则此法失效。而而GAUSSGAUSS消元法对方程组个数与未知元个数不消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用等时仍适用(此时有可能不相容或有无穷多个此时有可能不相容或有无穷多个解解)。且。且GAUSSGAUSS消元法特别适合于计算机计算。消元法特别适合于计算机计算。A二利用矩阵编制密码二利用矩阵编制密码我们介绍用数字替代字母的方法编制密码我们介绍用数字替代字母的方法编制密码 2626个字母与个字母与2626个数字个数字1-11-1对应对应 把字母分组得到
3、相应的数字向量把字母分组得到相应的数字向量1AAA 在每个向量左乘一可逆矩阵在每个向量左乘一可逆矩阵 （和和 的元的元 素为整数）得新的数字向量，然后按此码发出素为整数）得新的数字向量，然后按此码发出 返回到字母得原码返回到字母得原码 接收者再将收到信号向量左乘接收者再将收到信号向量左乘 即真码即真码1A把把“WE ARE STUDENTS”“WE ARE STUDENTS”编成密码。编成密码。e.g.2 e.g.2 解解：选择字母与数字的对应选择字母与数字的对应 A B C D E F G H I J KA B C D E F G H I J KL M N O P Q R S T U VL
4、M N O P Q R S T U V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 W X Y ZW X Y Z12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2623 24 25 26 把字母分组，得到向量。我们用把字母分组，得到向量。我们用2 2个字母一组个字母一组 2619201454ZSTNED，2120195181523UTSERAEW，（最后一组字母不够，用（最后一组字母不够，用 Z 补足）补足）选一个选一个 的可逆阵的可逆阵 中
5、元素为整数中元素为整数 221AAA，可选可选 2132A21321A在中向量前乘以矩阵在中向量前乘以矩阵 A62103436737563361UTASEARAAEWA，7111654881423ZSATNAEDA，这句话的密码为：这句话的密码为：61 33 56 37 67 43 103 62 23 14 88 54 116 7161 33 56 37 67 43 103 62 23 14 88 54 116 71 把这些数字与字母对应，得到原话（最后一把这些数字与字母对应，得到原话（最后一个字母明显不在句子中，去掉即可）个字母明显不在句子中，去掉即可）字母与数字的对应可以是公开的，但矩字母
6、与数字的对应可以是公开的，但矩阵阵A不能公开不能公开Remark Remark 1 1接收者接到上述密码后，再组成向量，并乘以接收者接到上述密码后，再组成向量，并乘以 1A261971116,523336111AA，也可以三个字母为也可以三个字母为1 1组，组成三维向量，组，组成三维向量，此时要找此时要找3 3阶可逆矩阵阶可逆矩阵Remark Remark 2 2三线性方程组在投入产出中的应用三线性方程组在投入产出中的应用1 1投入产出概念投入产出概念一般包括：一般包括：从其他部门购进原材料，半成品，辅助材料，从其他部门购进原材料，半成品，辅助材料，电力，能源等等电力，能源等等 购入必要的机器
7、设备、生产工具等购入必要的机器设备、生产工具等 必要的劳动力投入等必要的劳动力投入等投入：投入：从事某种经济活动时的付出从事某种经济活动时的付出成果可能流向两个方面：成果可能流向两个方面：以以中间产品中间产品形式供本部门及其相关部门作为本形式供本部门及其相关部门作为本 期生产中的再投入期生产中的再投入 以以最终产品最终产品的形式进入市场或作为积累，退出的形式进入市场或作为积累，退出 本期生产过程本期生产过程产出：产出：在一定投入条件下进行生产活动或在一定投入条件下进行生产活动或经济活动后所得的（生产）成果经济活动后所得的（生产）成果 数学问题数学问题闭合模型闭合模型开式模型开式模型2 2闭合模
8、型（收入支出模型）闭合模型（收入支出模型）e.g.3 木工、电工、粉刷工合作装修自家房子，木工、电工、粉刷工合作装修自家房子，订下列协议：每人工作订下列协议：每人工作1010天，具体为天，具体为 木工（工）木工（工）电工（工）电工（工）粉刷工（工）粉刷工（工）木工（房）木工（房）216电工（房）电工（房）451粉刷工（房）粉刷工（房）443 假设三种工匠日工资市场价为假设三种工匠日工资市场价为60806080元，每元，每人按人按1010天计算应得收入和装修费用支出天计算应得收入和装修费用支出工匠自己收支平衡工匠自己收支平衡三位工匠各人的日工资实际上是多少？三位工匠各人的日工资实际上是多少？问题
9、问题解解 设木工，电工，粉刷工的日工资分别设木工，电工，粉刷工的日工资分别为为321,ppp3321232113211034410541062pppppppppppp1010天内每人天内每人总支出总支出=总收总收入入写出系数矩阵并作变换写出系数矩阵并作变换 744154618A42/9042/90618(1)1/2+(2)(1)1/2+(3)00042/90618(2)+(3)31323631,98ppppkp363取取 00042/909/6208(2)2/9+(1)363231321kppp72,64,62321ppp三人日工资分别为：三人日工资分别为：每人工资在每人工资在60806080
10、元，元，取取 k=2=2把一个实际问题化成数学问题的过程称为数学建把一个实际问题化成数学问题的过程称为数学建模（模（mathematical modeling）。数学建模的目的。数学建模的目的是解决问题，所以建模后还须求解，修正，解释。是解决问题，所以建模后还须求解，修正，解释。RemarkRemark 1 1 这个模型要解决的问题是：这个模型要解决的问题是：确定每个参与确定每个参与者的劳动支出的价格即日工资使系统平衡，即者的劳动支出的价格即日工资使系统平衡，即每人的总收入等于每人的总支出。每人的总收入等于每人的总支出。这里每个人的劳动支出仅限于三个当事人这里每个人的劳动支出仅限于三个当事人之
11、间进行流动和分配，未超出所论系统之外，之间进行流动和分配，未超出所论系统之外，因此称之为因此称之为“闭合闭合”模型模型。Remark Remark 2 2 一经济系统有一经济系统有 个部门组成，编号为个部门组成，编号为 ，每个部门的生产周期相同，每个部门只生产一种产品。每个部门的生产周期相同，每个部门只生产一种产品。且一个生产周期内各个部门的产品或者服务的分配是且一个生产周期内各个部门的产品或者服务的分配是由该系统内部按预定方式完成。由该系统内部按预定方式完成。m,2,1m由此建立的投入产出模型为由此建立的投入产出模型为闭合模型闭合模型 表示这个经济系统的一种平衡表示这个经济系统的一种平衡如何
12、确定合适的价格作为付给每个部门如何确定合适的价格作为付给每个部门的产品费用，并且使各部门的的产品费用，并且使各部门的问题问题 总收入总收入=总支出总支出由此得出投入产出闭合模型的一般形式：由此得出投入产出闭合模型的一般形式：数学表述数学表述 设设ip),2,1(mi 第第 个部门的产品价格个部门的产品价格iijc),2,1,(mji 第第 个部门购买第个部门购买第 个部门平均个部门平均 每个产品的价格中被第每个产品的价格中被第 个企业个企业 购买所占的购买所占的比例数比例数iijmipi,2,1,0mjicij,2,1,0mjcccmjjj,2,1,121（1）（2）（3）TmmmijpppP
13、cCPCP21)(,3 3开式模型（产品模型）开式模型（产品模型）开式模型开式模型最终产品最终产品（供应给系统外部）（供应给系统外部）中间产品中间产品（在各部门间分配）（在各部门间分配）问题问题研究各部门产品的产值研究各部门产品的产值因产品因产品价格已知价格已知 某星期，煤矿接到外界某星期，煤矿接到外界5000050000元订单，电厂有元订单，电厂有2500025000元订单，铁路无订单。元订单，铁路无订单。支出煤费支出煤费支出电费支出电费支出运费支出运费煤矿收入煤矿收入1元元 0.250.25电厂收入电厂收入1元元0.650.050.05铁路收入铁路收入1元元0.550.10 e.g.4e.
14、g.4三个企业：煤矿、电厂、地方铁路组成的系统三个企业：煤矿、电厂、地方铁路组成的系统 三个企业各自产值应为多少，才能满足需要三个企业各自产值应为多少，才能满足需要?问题问题解解 设煤矿、电厂和铁路的产值分别为设煤矿、电厂和铁路的产值分别为 元元321,xxx0)005.025.0(25000)10.005.025.0(50000)55.065.00(321332123211xxxxxxxxxxxx)(28330)(56163)(102087321元元元元元元xxx DCXXRemarkRemark开式系统的数学模型：开式系统的数学模型：第第 个企业的产值为个企业的产值为 ，外界对第，外界对第
15、 个企业个企业要求的产值为要求的产值为 第第 个企业每单位产值需买进第个企业每单位产值需买进第 个企业的个企业的产值为产值为 元的产品元的产品 ixidijcjiii投入产出模型为投入产出模型为DXCI)(nnnnijddDxxXcC11,)(求解开式模型即求解此线性方程组求解开式模型即求解此线性方程组 练练 习习 1.1.把下面一段话编成密码把下面一段话编成密码 ATTACK AT MIDNIGHT ATTACK AT MIDNIGHT 2.2.甲家种植西红柿甲家种植西红柿,乙家种植黄瓜，丙家种乙家种植黄瓜，丙家种植茄子，假设三种蔬菜产量恰好相同。经协商，植茄子，假设三种蔬菜产量恰好相同。经协商，三家同意按下列比例相互分享各家产品：三家同意按下列比例相互分享各家产品：西红柿西红柿 黄瓜黄瓜 茄子茄子甲得比例甲得比例 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 乙得比例乙得比例 1/3 1/3 1/4 1/3 1/3 1/4 丙得比例丙得比例 1/6 1/3 1/2 1/6 1/3 1/2 假设三种蔬菜价格中最低的为假设三种蔬菜价格中最低的为1.201.20元，三家收元，三家收支正好各自平衡，三种蔬菜的价格各是多少？支正好各自平衡，三种蔬菜的价格各是多少？
