1、 1 1 几何变换问题几何变换问题 例 1如图，斜边长 12cm，A30的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转 90至ABC的位置， 再沿CB向左平移使点B落在原三角尺ABC的斜边AB上， 则三角尺向左平移的距离为_（结 果保留根号） 同类题型同类题型 1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四 边形，那么xy（ ） A是一个确定的值 B有两个不同的值 C有三个不同的值 D有三个以上不同的值 同类题型同类题型 1.2 已知：如图ABC的顶点坐标分别为A（4，3） ，B（0，3） ，C（2，1） ，如将B点向 右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单
2、位到达B1 点， 若设ABC的面积为S1 ， AB1 C的面积为S2 ， 则S1 ， S2 的大小关系为（ ） AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 例 2 如图，P是等边ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转 60到BP，已知APB150，PA： PC2：3，则PB：PA是（ ） A 2 ：1 B2：1 C 5 ：2 D 3 ：1 同类题型同类题型 2.1 如图，ABC为等边三角形，以AB为边向形外作ABD，使ADB120，再以点C为旋转 中心把CBD旋转到CAE，则下列结论：D、A、E三点共线；DC平分BDA；EBAC；DC DBDA，其中正确的有（ ） 2 2 A1 个 B2 个
3、 C3 个 D4 个 同类题型同类题型 2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合） ，CNDM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN下列五个结论：CNBDMC；CONDOM； OMNOAD； AN2CM2MN2 ； 若AB2， 则SOMN 的最小值是1 2 ， 其中正确结论的个数是 （ ） A2 B3 C4 D5 同类题型同类题型 2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0） ，B（0，4） ，将BOA绕点A按顺时针方向旋转得 CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为_ 同类题型同类题型 2.4 如
4、图， 在矩形ABCD中，AB5，BC3， 将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF， 点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若CEF，CFE，则 tantan_ 同类题型同类题型 2.5 如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC 的中点，P是AB的中点，连接PM，若BC2，BAC30，则线段PM的最大值是_ 同类题型同类题型 2.6 如图 1，一副含 30和 45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BCEF 3 3 12， 点G为边EF的中点， 边FD与AB相交于点H， 如图 2， 将三角板DEF绕点G按顺时针方向
5、旋转到 60 的过程中，BH的最大值是_，点H运动的路径长是_ 例 3如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1 过点C，EF为折痕，若B60，当A1 EAB 时，BE AE 的值等于（ ） A 3 6 B 31 6 C 31 8 D 31 2 同类题型同类题型 3.1 如图，正方形ABCD中，AD4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交 AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB 边的中点，则EMN的周长是_ 同类题型同类题型 3.2 如图，MON40，点P是MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移
6、动，当PAB周长 最小时，则APB的度数为（ ） A20 B40 C100 D140 同类题型同类题型 3.3 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得 到HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ连接AF、EF，已知HEHF，下列结论： MEH为等边三角形；AEEF；PHEHAE；AD AB 2 3 5 ，其中正确的结论是（ ） A B C D 同类题型同类题型 3.4 ABC中， BAC90，AB3，AC4， 点D是BC的中点， 将ABD沿AD翻折得到AED 连 CE，则线段CE的长等于_ 4 4 专题专题 08 几何变换问题
7、几何变换问题 例 1如图，斜边长 12cm，A30的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转 90至ABC的位置， 再沿CB向左平移使点B落在原三角尺ABC的斜边AB上， 则三角尺向左平移的距离为_（结 果保留根号） 解：如图：连接BB， 在RtABC中，AB12，A30， BC1 2 AB6，AC6 3 ， BC6， ABACBC6 3 6， BCBC，BCBC， 四边形BCCB是矩形， BBBC，BBCC， ABBABC， AB AC BB BC ， 即：6 36 6 3 BB 6 ， 解得：BB62 3 CCBB62 3 同类题型同类题型 1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移
8、y格，就能与另一个三角形拼合成一个四 边形，那么xy（ ） A是一个确定的值 B有两个不同的值 C有三个不同的值 D有三个以上不同的值 解： （1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x2，y3， xy5； （2）当两直角边重合时有两种情况，短边重合，此时x2，y3，xy5； 长边重合，此时x2，y5，xy7 综上可得：xy5 或 7 5 5 选 B 同类题型同类题型 1.2 已知：如图ABC的顶点坐标分别为A（4，3） ，B（0，3） ，C（2，1） ，如将B点向 右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单位到达B1 点， 若设ABC的面积为S1 ， AB1 C的面积为S2 ， 则S1 ，
9、S2 的大小关系为（ ） AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 解：ABC的面积为S11 2 448， 将B点平移后得到B1 点的坐标是（2，1） ， 所以AB1 C的面积为S21 2 448， 所以S1S2 选 B 同类题型同类题型 1.3 同类题型同类题型 1.4 例 2 如图，P是等边ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转 60到BP，已知APB150，PA： PC2：3，则PB：PA是（ ） A 2 ：1 B2：1 C 5 ：2 D 3 ：1 解：如图，连接AP，BP绕点B顺时针旋转 60到BP， BPBP，ABPABP60， 又ABC是等边三角形， ABBC，CBPABP60
10、， ABPCBP， 在ABP和CBP中， BPBP ABPCBP ABBC ， ABPCBP（SAS） ， APPC， PA：PC2：3， AP3 2 PA， 连接PP，则PBP是等边三角形， 6 6 BPP60，PPPB， APB150， APP1506090， APP是直角三角形， 设PAx，则AP3 2 x， 根据勾股定理，PPAP2PA2 9 4x 2x2 5 2 x， 则PB 5 2 x， PB：PA 5 2 x：x 5 ：2 选 C 同类题型同类题型 2.1 如图，ABC为等边三角形，以AB为边向形外作ABD，使ADB120，再以点C为旋转 中心把CBD旋转到CAE，则下列结论：D
11、、A、E三点共线；DC平分BDA；EBAC；DC DBDA，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：设1x度，则2（60x）度，DBC（x60）度，故4（x60）度， 23460x60x60180 度， D、A、E三点共线； BCD绕着点C按顺时针方向旋转 60得到ACE， CDCE，DCE60， CDE为等边三角形， E60， BDCE60， CDA1206060， DC平分BDA； BAC60， E60， EBAC 由旋转可知AEBD， 又DAE180， DEAEAD CDE为等边三角形， DCDBBA 同类题型同类题型 2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线
12、AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 7 7 重合） ，CNDM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN下列五个结论：CNBDMC；CONDOM； OMNOAD； AN2CM2MN2 ； 若AB2， 则SOMN 的最小值是1 2 ， 其中正确结论的个数是 （ ） A2 B3 C4 D5 解：正方形ABCD中，CDBC，BCD90， BCNDCN90， 又CNDM， CDMDCN90， BCNCDM， 又CBNDCM90， CNBDMC（ASA） ，故正确； 根据CNBDMC，可得CMBN， 又OCMOBN45，OCOB， OCMOBN（SAS） ， OMON，COMBON，
13、DOCCOMCOBBPN，即DOMCON， 又DOCO， CONDOM（SAS） ，故正确； BONBOMCOMBOM90， MON90，即MON是等腰直角三角形， 又AOD是等腰直角三角形， OMNOAD，故正确； ABBC，CMBN， BMAN， 又RtBMN中，BM2BN2MN2 ， AN2CM2MN2 ，故正确； OCMOBN， 四边形BMON的面积BOC的面积1，即四边形BMON的面积是定值 1， 当MNB的面积最大时，MNO的面积最小， 设BNxCM，则BM2x， MNB的面积1 2x（2x） 1 2x 2 x， 当x1 时，MNB的面积有最大值1 2 ， 此时SOMN 的最小值是
14、1-1 2= 1 2 ，故正确； 8 8 综上所述，正确结论的个数是 5 个， 选 D 同类题型同类题型 2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0） ，B（0，4） ，将BOA绕点A按顺时针方向旋转得 CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为_ 解：BOA绕点A按顺时针方向旋转得CDA， BOACDA， ABAC，OAAD， B、D、C共线，ADBC， BDCDOB， OAAD，BOCDBD， ODAB， 设直线AB解析式为ykxb， 把A与B坐标代入得： 3kb0 b4 ， 解得： k4 3 b4 ， 直线AB解析式为y4 3 x4， 直线OD解析式为y3 4
15、 x， 联立得： y4 3x4 y3 4x ， 解得： x48 25 y36 25 ，即M（48 25 ， 36 25 ） ， M为线段OD的中点， D（96 25 ， 72 25 ） ， 设直线CD解析式为ymxn， 把B与D坐标代入得： 96 25mn 72 25 n4 ， 9 9 解得：m 7 24 ，n4， 则直线CD解析式为y 7 24 x4 同类题型同类题型 2.4 如图， 在矩形ABCD中，AB5，BC3， 将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF， 点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若CEF，CFE，则 tantan_ 解：过C点作MNBF，交BG于M
16、，交EF于N， 由旋转变换的性质可知，ABGCBE，BABG5，BCBE3， 由勾股定理得，CGBG2DG2 4， DGDCCG1， 则AGAD2DG2 10 ， BA BC BG BE ，ABGCBE， ABGCBE， CE AG BC AB 3 5 ， 解得，CE3 10 5 ， MBCCBG，BMCBCG90， BCMBGC， CM CG BC BG ，即 CM 4 3 5 ， CM12 5 ， MNBE3， CN312 5 3 5 ， ENCE2CN29 5 ， 10 10 FNEFEN59 5 16 5 ， tantanCN EN CN FN 3 5 9 5 3 5 16 5 1 1
17、6 同类题型同类题型 2.5 如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC 的中点，P是AB的中点，连接PM，若BC2，BAC30，则线段PM的最大值是_ 解：如图连接PC 在RtABC中，A30，BC2， AB4， 根据旋转不变性可知，ABAB4， APPB， PC1 2 AB2， CMBM1， 又PMPCCM，即PM3， PM的最大值为 3（此时P、C、M共线） 同类题型同类题型 2.6 如图 1，一副含 30和 45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BCEF 12， 点G为边EF的中点， 边FD与AB相交于点H， 如图 2， 将三角
18、板DEF绕点G按顺时针方向旋转到 60 的过程中，BH的最大值是_，点H运动的路径长是_ 解：如图 1 中，作HMBC于M，设HMa，则CMHMa 11 11 在RtABC中，ABC30，BC12， 在RtBHM中，BH2HM2a，BM 3 a， BMFMBC， 3 aa12， a6 3 6， BH2a12 3 12 如图 2 中，当DGAB时，易证GH1 DF，此时BH1 的值最小，易知BH1BKKH13 3 3， HH1BHBH19 3 15， 当旋转角为 60时，F与H2 重合，此时BH的值最大，易知最大值BH26 3 ， 观察图象可知，在CGF从 0到 60的变化过程中， 点H相应移动
19、的路径长2HH1HH218 3306 3（12 312）12 3 18 例 3如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1 过点C，EF为折痕，若B60，当A1 EAB 时，BE AE 的值等于（ ） A 3 6 B 31 6 C 31 8 D 31 2 解：如图所示，延长AB，D1A1 交于点G， 12 12 A1 EAB，EA1 CA120， G1209030， 又ABC60， BCG603030， GBCG30， BCBGBA， 设BE1，AExA1 E，则AB1xBCBG，A1 G2x， GE1x1x2， RtA1 GE中，A1E2GE2A1G2 ， x2（x2）2（2x）2
20、， 解得x1 3 ， （负值已舍去） AE1 3 ， BE AE 1 1 3 31 2 ， 选 D 同类同类题型题型 3.1 如图，正方形ABCD中，AD4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交 AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB 边的中点，则EMN的周长是_ 解：解法一：如图 1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE， DCAB， PQAB， 四边形ABCD是正方形， ACD45， 13 13 PEC是等腰直角三角形， PEPC， 设PCx，则PEx，PD4x，EQ4x， PDEQ， DPEE
21、QF90，PEDEFQ， DPEEQF， DEEF， DEEF， DEF是等腰直角三角形， 易证明DECBEC， DEBE， EFBE， EQFB， FQBQ1 2 BF， AB4，F是AB的中点， BF2， FQBQPE1， CE 2 ，PD413， RtDAF中，DF42222 5 ， DEEF 10 ， 如图 2，DCAB， DGCFGA， CG AG DC AF DG FG 4 2 2， CG2AG，DG2FG， FG1 32 5 25 3 ， AC42424 2 ， CG2 34 2 82 3 ， EG8 2 3 25 2 3 ， 连接GM、GN，交EF于H， GFE45， GHF是
22、等腰直角三角形， GHFH 2 5 3 2 10 3 ， EHEFFH 10 10 3 2 10 3 ， 14 14 由折叠得：GMEF，MHGH 10 3 ， EHMDEF90， DEHM， DENMNH， DE MH EN NH ， 10 10 3 EN NH 3， EN3NH， ENNHEH2 10 3 ， EN 10 2 ， NHEHEN2 10 3 10 2 10 6 ， RtGNH中，GNGH2NH2( 10 3 )2( 10 6 )25 2 6 ， 由折叠得：MNGN，EMEG， EMN的周长ENMNEM 10 2 5 2 6 5 2 3 5 2 10 2 ； 解法二：如图 3，
23、过G作GKAD于K，作GRAB于R， AC平分DAB， GKGR， SADG SAGF 1 2ADKG 1 2AFGR AD AF 4 2 2， SADG SAGF 1 2DGh 1 2GFh 2， DG GF 2， 同理， SDNF SMNF DF FM DN MN 3， 其它解法同解法一， 可得：EMN的周长ENMNEM 10 2 5 2 6 5 2 3 5 2 10 2 ； 解法三：如图 4，过E作EPAP，EQAD， 15 15 AC是对角线， EPEQ， 易证DQE和FPE全等， DEEF，DQFP，且APEP， 设EPx，则DQ4xFPx2， 解得x3，所以PF1， AE32323
24、 2 ， DCAB， DGCFGA， 同解法一得：CG2 34 2 82 3 ， EG8 2 3 25 2 3 ， AG1 3AC 42 3 ， 过G作GHAB，过M作MKAB，过M作MLAD， 则易证GHFFKM全等， GHFK4 3 ，HFMK 2 3 ， MLAKAFFK24 3 10 3 ，DLADMK42 3 10 3 ， 即DLLM， LDM45 DM在正方形对角线DB上， 过N作NIAB，则NIIB， 设NIy， NIEP NI EP FI FP y 3 2y 1 ， 解得y1.5， 所以FI2y0.5， I为FP的中点， N是EF的中点， EN0.5EF 10 2 ， BIN是
25、等腰直角三角形，且BINI1.5， BN3 2 2 ，BKABAK410 3 2 3 ，BM 2 3 2 ，MNBNBM3 2 22 3 25 6 2 ， 16 16 EMN的周长ENMNEM 10 2 5 2 6 5 2 3 5 2 10 2 同类题型同类题型 3.2 如图，MON40，点P是MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移动，当PAB周长 最小时，则APB的度数为（ ） A20 B40 C100 D140 解：如图所示： 分别作点P关于OM、ON的对称点P、P，连接OP、OP、PP，PP交OM、ON于点A、B， 连接PA、PB，此时PAB周长的最小值等于PP 如图所示：由轴对称
26、性质可得， OPOPOP，POAPOA，POBPOB， 所以POP2MON24080， 所以OPPOPP（18080）250， 又因为BPOOPB50，APOAPO50， 所以APBAPOBPO100 选 C 同类题型同类题型 3.3 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得 到HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ连接AF、EF，已知HEHF，下列结论： MEH为等边三角形；AEEF；PHEHAE；AD AB 2 3 5 ，其中正确的结论是（ ） A B C D 解：矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点， GFA
27、D， 由折叠可得，AHAD2AG，AHED90， 17 17 AHG30，EHM903060， HAG60AEDMEH， EHM中，EMH60EHMMEH， MEH为等边三角形，故 正确； EHM60，HEHF， HEF30， FEM603090，即AEEF，故正确； PEHMHE60HEA，EPHEHA90， PHEHAE，故正确； 设AD2AH，则AG1， RtAGH中，GH= 3AG= 3 ， RtAEH中，EH= AH 3= 2 3 3 HF， GF=5 3 3 AB， AD AB= 2 5 3 3 =2 3 5 ，故正确， 综上所述，正确的结论是， 选 D 同类题型同类题型 3.4 ABC中， BAC90，AB3，AC4， 点D是BC的中点， 将ABD沿AD翻折得到AED 连 CE，则线段CE的长等于_ 解：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H 在RtABC中，AC4，AB3， BC3242 5， CDDB， ADDCDB5 2 ， 1 2BCAH 1 2 ABAC， AH12 5 ， AEAB，DEDBDC， AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形， 1 2ADBO 1 2 BDAH， OB12 5 ， BE2OB24 5 ， 在RtBCE中，ECBC2BE27 5
