1、 1 1 圆的综合问题圆的综合问题 例 1如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，O的半径是 2， 则PAPB的最小值为（ ） A2 B 5 C 3 1 D2 2 同类题型同类题型 1.1 如图，O是ABC的外接圆，已知AD平分BAC交O于点D，连结CD，延长AC，BD，相 交于点F现给出下列结论： 若AD5，BD2，则DE 2 5 ； ACBDCF； FDAFCB； 若直径AGBD交BD于点H，ACFC4，DF3，则cosF 41 48 ； 则正确的结论是（ ） A B C D 同类题型同类题型 1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作： （1）将圆形
2、纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示 （2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示 （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示 （4）连结AE、AF，如图（5）所示 经过以上操作小芳得到了以下结论： CDEF；四边形MEBF是菱形；AEF为等边三角形；SAEF ：S圆3 3：4， 以上结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 例 2如图，ABC中，BC4，BAC45，以4 2 为半径，过B、C两点作O，连OA，则线段OA的 最大值为_ 2 2 同类题型同类题型 2.1 如图， 已知O的半径为
3、1， 锐角ABC内接于O，BDAC于点D，OMAB于点M，OM 1 3 ， 则 sinCBD的值等于（ ） A 3 2 B1 3 C2 2 3 D1 2 同类题型同类题型 2.2 如图，直线l经过O的圆心O，与O交于A、B两点，点C在O上，AOC30，点P 是直线l上的一个动点（与圆心O不重合） ，直线CP与O相交于点M，且MPOM，则满足条件的OCP 的大小为_ 同类题型同类题型 2.3 如图，ABC中，BAC90，AC12，AB10，D是AC上一个动点，以AD为直径的O 交BD于E，则线段CE的最小值是（ ） A5 B6 C7 D8 例 3 如图， 直线l1l2 ， O与l1 和l2 分别
4、相切于点A和点 B 点M和点N分别是l1 和l2 上的动点， MN沿l1 和l2 平移O的半径为 1，160下列结论错误的是（ ） AMN 4 3 3 B若MN与O相切，则AM 3 C若MON90，则MN与O相切 Dl1 和l2 的距离为 2 3 3 同类题型同类题型 3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0） 、 （0，1） ，C的圆心坐标为（0，1） ，半 径为 1若D是C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则ABE面积的最大值是_ 同类题型同类题型 3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆” 如图，直线l： ykx4 3 与x轴、y轴分别交于A、B，OA
5、B30，点P在x轴上，P与l相切，当P在线段OA 上运动时，使得P成为整圆的点P个数是（ ） A6 B8 C10 D12 同类题型同类题型 3.3 已知ACBC于C，BCa，CAb，ABc，下列图形中O与ABC的某两条边或三边所在 的直线相切，则O的半径为 ab ab 的是（ ） A B C D 例 4如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则EF GH 的值为 _ 同类题型同类题型 4.1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作M的切线， 切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE5，CE3，则DF的长是_
6、 4 4 同类题型同类题型 4.2 如图，已知ABC的外接圆O的半径为 1，D、E分别是AB、AC上的点，BD2AD，EC2AE， 则 sinBAC的值等于线段（ ） ADE的长 BBC的长 C2 3 DE 的长 D3 2 DE 的长 例 5如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的 延长线交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连结BE，BE7 2 下列四个结论：AC平分DAB； PF2 PBPA； 若BC 1 2 OP， 则阴影部分的面积为 7 4 49 4 3 ； 若PC24， 则tanPCB 3 4 其 中正确的是（ ） A B C D
7、同类题型同类题型 5.1 如图，在半径为 2cm，圆心角为 90的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中 阴影部分的面积为_ 同类题型同类题型 5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重 合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点） ，与左右两边相交（F，G为其中两个交点） ，图中阴影部分为 不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1m，根据设计要求，若EOF45，则此窗户的透 光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_ 同类题型同类题型 5.3 如图，将半径为 2，圆心角为 120的扇形OAB绕点A逆时针旋转 60，点O，B的对应点
8、 分别为O，B，连接BB，则图中阴影部分的面积是（ ） 5 5 A2 3 B2 3 3 C2 3 2 3 D4 3 2 3 同类题型同类题型 5.4 如图，已知矩形ABCD中，AB3，AD2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半 圆O1 和半圆O2 ，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF2（EF与AB在圆心O1 和O2 的同侧） ，则由AE ，EF，FB ，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_ 6 6 参考答案参考答案 例 1如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，O的半径是 2， 则PAPB的最小值为（ ） A2
9、B 5 C 3 1 D2 2 解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时APPBQPPBQB， 根据两点之间线段最短，PAPB的最小值为QB的长度， 连接OQ，OB， 点A是半圆上的一个三等分点， ACD30 B弧AD中点， BODACD30， QOD2QCD23060， BOQ306090 O的半径是 2， OBOQ2， BQOB2OQ22 2 ，即PAPB的最小值为 2 2 选 D 同类题型同类题型 1.1 如图，O是ABC的外接圆，已知AD平分BAC交O于点D，连结CD，延长AC，BD，相 交于点F现给出下列结论： 若AD5，BD2，则DE 2 5 ； ACBDCF
10、； FDAFCB； 若直径AGBD交BD于点H，ACFC4，DF3，则cosF 41 48 ； 则正确的结论是（ ） A B C D 7 7 解：如图 1， AD平分BAC， BADCAD， CADCBD， BADCBD， BDEBDE， BDEADB， BD AD DE BD ， 由AD5，BD2，可求DE=4 5 ， 不正确； 如图 2， 连接CD， FCDACD180，ACDABD180， FCDABD， 若ACBDCF，因为ACBADB， 则有：ABDADB，与已知不符， 故不正确； 如图 3， 8 8 FF，FADFBC， FDAFCB； 故正确； 如图 4， 连接CD，由知：FCD
11、ABD， 又FF， FCDFBA， FC FB FD FA ， 由ACFC4，DF3，可求：AF8，FB32 3 ， BDBFDF23 3 ， 直径AGBD， DH23 6 ， FH41 6 ， cosFFH AF 41 48 ， 故正确； 故选：C 同类题型同类题型 1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作： （1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示 （2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示 9 9 （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示 （4）连结AE、AF，如图（5）所示 经过以上操作
12、小芳得到了以下结论： CDEF；四边形MEBF是菱形；AEF为等边三角形；SAEF ：S圆3 3：4， 以上结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：纸片上下折叠A、B两点重合， BMD90， 纸片沿EF折叠，B、M两点重合， BNF90， BMDBNF90， CDEF，故正确； 根据垂径定理，BM垂直平分EF， 又纸片沿EF折叠，B、M两点重合， BNMN， BM、EF互相垂直平分， 四边形MEBF是菱形，故正确； 如图，连接ME，则MEMB2MN， MEN30， EMN903060， 又AMME（都是半径） ， AEMEAM， AEM1 2EMN 1 2 6030，
13、AEFAEMMEN303060， 同理可求AFE60， EAF60， AEF是等边三角形，故正确； 设圆的半径为r，则MN1 2 r，EN 3 2 r， EF2EN 3 r，ANr1 2r 3 2 r， SAEF ：S圆（1 2 3r 3 2r）：r 23 3 ：4，故正确； 综上所述，结论正确的是共 4 个 选 D 同类题型同类题型 1.3 同类题型同类题型 1.4 例 2如图，ABC中，BC4，BAC45，以4 2 为半径，过B、C两点作O，连OA，则线段OA的 最大值为_ 10 10 解：作OFBC于F，则BFCF1 2 BC2，如图，连结 OB， 在RtOBF中，OFOB2BF2(4
14、2)2222 7 ， BAC45，BC4， 点A在BC所对应的一段弧上一点， 当点A在BC的垂直平分线上时OA最大， 此时AFBC，ABAC， 作BDAC于D，如图，设BDx， ABD为等腰直角三角形， AB 2BD 2 x， AC 2 x， 在RtBDC中，BC2CD2BD2 ， 42（ 2xx）2x2 ，即x24（2 2 ） ， 1 2AFBC 1 2 BDAC， AFx 2x 4 2 2 2， AOAFOF2 222 7 ， 即线段OA的最大值为2 222 7 同类题型同类题型 2.1 如图， 已知O的半径为 1， 锐角ABC内接于O，BDAC于点D，OMAB于点M，OM 1 3 ， 则
15、 sinCBD的值等于（ ） A 3 2 B1 3 C2 2 3 D1 2 解：连接AO， 11 11 OMAB于点M，AOBO， AOMBOM， AOB2C MOBC， O的半径为 1，锐角ABC内接于O，BDAC于点D，OM1 3 ， sinCBDsinOBMMO OB 1 3 1 1 3 则 sinCBD的值等于1 3 选 B 同类题型同类题型 2.2 如图，直线l经过O的圆心O，与O交于A、B两点，点C在O上，AOC30，点P 是直线l上的一个动点（与圆心O不重合） ，直线CP与O相交于点M，且MPOM，则满足条件的OCP 的大小为_ 解：根据题意，画出图（1） ， 在QOC中，OCO
16、M， OMCOCP， 在OPM中，MPMO， MOPMPO， 又AOC30， MPOOCPAOCOCP30， 在OPM中，MOPMPOOMC180， 即（OCP30）（OCP30）OCP180， 整理得，3OCP120， OCP40 12 12 当P在线段OA的延长线上（如图 2） OCOM， OMP=（180-MOC）1 2 ， OMPM， OPM=（180-OMP）1 2 ， 在OMP中，30MOCOMPOPM180， 把代入得MOC20，则OMP80 OCP100； 当P在线段OA的反向延长线上（如图 3） ， OCOM， OCP=OMC=（180-COM）1 2 ， OMPM， P（1
17、80OMP）1 2 ， AOC30， COMPOM150， PPOM，2POCPOMC， 联立得 P10， OCP1801501020 故答案为：40、20、100 同类题型同类题型 2.3 如图，ABC中，BAC90，AC12，AB10，D是AC上一个动点，以AD为直径的O 交BD于E，则线段CE的最小值是（ ） A5 B6 C7 D8 解：如图，连接AE，则AEDBEA90， 13 13 点E在以AB为直径的Q上， AB10， QAQB5， 当点Q、E、C三点共线时，QECECQ（最短） ， 而QE长度不变，故此时CE最小， AC12， QCAQ2AC2 13， CEQCQE1358， 选
18、 D 例 3 如图， 直线l1l2 ， O与l1 和l2 分别相切于点A和点 B 点M和点N分别是l1 和l2 上的动点， MN沿l1 和l2 平移O的半径为 1，160下列结论错误的是（ ） AMN 4 3 3 B若MN与O相切，则AM 3 C若MON90，则MN与O相切 Dl1 和l2 的距离为 2 解：A、平移MN使点B与N重合，160，AB2，解直角三角形得MN4 3 3 ，正确； B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM 3 或 3 3 ，错误； C、若MON90，连接NO并延长交MA于点C，则AOCBON， 故CONO，MONMOC，故MN上的高为 1，
19、即O到MN的距离等于半径正确； D、l1l2 ，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB2，正确 选 B 同类题型同类题型 3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0） 、 （0，1） ，C的圆心坐标为（0，1） ，半 径为 1若D是C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则ABE面积的最大值是_ 14 14 解：当射线AD与C相切时，ABE面积的最大 连接AC， AOCADC90，ACAC，OCCD， RtAOCRtADC（HL） ， ADAO2， 连接CD，设EFx， DE2 EFOE， CF1， DEx(x2) ， CDEAOE， CD AO CE AE ， 即1 2 x1 2
20、x(x2) ， 解得x2 3 ， SABEBEAO 2 2(2 312) 2 11 3 同类题型同类题型 3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆” 如图，直线l： ykx4 3 与x轴、y轴分别交于A、B，OAB30，点P在x轴上，P与l相切，当P在线段OA 上运动时，使得P成为整圆的点P个数是（ ） A6 B8 C10 D12 解：直线l：ykx4 3 与x轴、y轴分别交于A、B， 15 15 B（0，4gh(3) ） ， OB4 3 ， 在RTAOB中，OAB30， OA 3OB 34 3 12， P与l相切，设切点为M，连接PM，则PMAB， PM1 2 PA，
21、 设P（x，0） ， PA12x， P的半径PM1 2PA6 1 2 x， x为整数，PM为整数， x可以取 0，2，4，6，8，10，6 个数， 使得P成为整圆的点P个数是 6 故选：A 同类题型同类题型 3.3 已知ACBC于C，BCa，CAb，ABc，下列图形中O与ABC的某两条边或三边所在 的直线相切，则O的半径为 ab ab 的是（ ） A B C D 解：设O的半径为r， A、O是ABC内切圆， SABC1 2（abc）r 1 2 ab， r ab abc ； B、如图，连接OD，则ODOCr，OAbr， AD是O的切线， ODAB， 即AODC90， ADOACB， OA：ABO
22、D：BC， 即（br） ：cr：a， 解得：r ab ac ； C、连接OE，OD， 16 16 AC与BC是O的切线， OEBC，ODAC， OEBODCC90， 四边形ODCE是矩形， ODOE， 矩形ODCE是正方形， ECODr，OEAC， OE：ACBE：BC， r：b（ar） ：a， r ab ab ； D、解：设AC、BA、BC与O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE； AC、BE是O的切线， ODCOECDCE90； 四边形ODCE是矩形； ODOE， 矩形ODCE是正方形； 即OEODCDr，则ADAFbr； 连接OB，OF， 由勾股定理得：BF2OB2OF2 ，BE2OB
23、2OE2 ， OBOB，OFOE， BFBE， 则BAAFBCCE，cbrar，即rcba 2 故选 C 例 4如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则EF GH 的值为 _ 解：如图，连接AC、BD、OF， 设O的半径是r， 则OFr， AO是EAF的平分线， OAF60230， OAOF， OFAOAF30， COF303060， FI=rsin60= 3 2 r， 17 17 EF= 3 2 r2= 3 r， AO2OI， OI1 2 r，CIr 1 2r 1 2 r， GH BD CI CO 1 2 ， GH1 2 BDr， EF GH 3
24、r r 3 同类题型同类题型 4.1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作M的切线， 切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE5，CE3，则DF的长是_ 解：延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P， AE5，EC3， AOCEOE，即有，OEEN1， 又DMNDEO，且MN=1 3 DM， DE3OE3， 又OEBP，O是DB中点，所以E也是中点， EPDE3， BP2， 又EFCPFB，相似比是 3：2， EF=EP3 5 1.8， 故可得DFDEEF31.84.8 同类题型同类题型 4.2 如图，已知ABC的外接圆O的半径为 1，D、E分别
25、是AB、AC上的点，BD2AD，EC2AE， 则 sinBAC的值等于线段（ ） ADE的长 BBC的长 C2 3 DE 的长 D3 2 DE 的长 18 18 解：如图，作直径CF，连接BF， 在RtCBF中，sinFBC CF BC 2 ； BD2AD，EC2AE， AD：ABAE：AC1：3， 又EADCAB， EADCAB， BC3DE， sinAsinFBC 2 3DE 2 3 2 DE 选 D 例 5如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的 延长线交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连结BE，BE7 2 下列四个结论：AC平分D
26、AB； PF2 PBPA； 若BC 1 2 OP， 则阴影部分的面积为 7 4 49 4 3 ； 若PC24， 则tanPCB 3 4 其 中正确的是（ ） A B C D 解：连接OC OAOC， OACOCA PC是O的切线，ADCD， OCPD90， OCAD CADOCAOAC 即AC平分DAB故正确； AB是直径， ACB90， PCBACD90， 又CADACD90， CABCADPCB 又ACEBCE，PFCCABACE，PCFPCBBCE PFCPCF PCPF， P是公共角， PCBPAC， PC：PAPB：PC， 19 19 PC2 PBPA， 即PF2 PBPA；故正确；
27、 连接AE ACEBCE， AEBE ， AEBE 又AB是直径， AEB90 AB= 2BE= 27 2 14， OBOC7， PD是切线， OCP90， BC1 2 OP， BC是RtOCP的中线， BCOBOC， 即OBC是等边三角形， BOC60， SBOC49 4 3 ，S_(扇形BOC)(60)/(360)7(2)(49)/(6)， 阴影部分的面积为49 6 49 4 3 ；故错误； PCBPAC， PB PC BC AC ， tanPCBtanPACBC AC PB PC ， 设PBx，则PAx14， PC2 PBPA， 242 x（x14） ， 解得：x1 18，x2 32，
28、PB18， tanPCBPB PC 18 24 3 4 ；故正确 故选 C 同类题型同类题型 5.1 如图，在半径为 2cm，圆心角为 90的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中 阴影部分的面积为_ 20 20 解：扇形OAB的圆心角为 90，扇形半径为 2， 扇形面积为：902 2 360 （cm2 ） ， 半圆面积为：1 21 2 2 （cm2 ） ， SQSM SMSP 2 （cm2 ） ， SQSP ， 连接AB，OD， 两半圆的直径相等， AODBOD45， S绿色SAOD1 2211(cm 2)， 阴影部分Q的面积为：S扇形AOBS半圆S绿色 2 1 2 1(cm2)
29、 同类题型同类题型 5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重 合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点） ，与左右两边相交（F，G为其中两个交点） ，图中阴影部分为 不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1m，根据设计要求，若EOF45，则此窗户的透 光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_ 解：设O与矩形ABCD的另一个交点为M， 21 21 连接OM、OG，则M、O、E共线， 由题意得：MOGEOF45， FOG90，且OFOG1， S透明区域1801 2 360 21 211 2 1， 过O作ONAD于N， ON1 2FG 1 2
30、2 ， AB2ON21 2 2 2 ， S矩形2 22 2， S透光区域 S矩形 2 1 22 2(2) 8 同类题型同类题型 5.3 如图，将半径为 2，圆心角为 120的扇形OAB绕点A逆时针旋转 60，点O，B的对应点 分别为O，B，连接BB，则图中阴影部分的面积是（ ） A2 3 B2 3 3 C2 3 2 3 D4 3 2 3 解：连接OO，BO， 将半径为 2，圆心角为 120的扇形OAB绕点A逆时针旋转 60， OAO60， OAO是等边三角形， AOO60， AOB120， OOB60， OOB是等边三角形， AOB120， AOB120， BOB120， OBBOBB30，
31、图 中 阴 影 部 分 的 面 积 SBOB （S扇形OOBSOOB） 1 212 3 （602 2 360 1 22 3）2 3 2 3 选 C 同类题型同类题型 5.4 如图，已知矩形ABCD中，AB3，AD2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半 22 22 圆O1 和半圆O2 ，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF2（EF与AB在圆心O1 和O2 的同侧） ，则由AE ，EF，FB ，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_ 解：连接O1O2 ，O1 E，O2 F， 则四边形O1O2 FE是等腰梯形， 过E作EGO1O2 ，过FHO1O2 ， 四边形EGHF是矩形， GHEF2， O1G1 2 ， O1 E1， GE 3 2 ， O1G O1E 1 2 ； O1 EG30， AO1 E30， 同理BO2 F30， 阴影部分的面积S矩形ABO2O12S扇形AO1ES梯形EFO2O135 3 4 6
