1、安庆师范大学安庆师范大学第三章第三章 多维随机向量多维随机向量 第一节 二维随机向量及其分布第三节 随机变量的独立性第二节 边际分布第四节 两个随机变量的函数的分布第五节 条件分布n第六节 维随机向量及其分布 n安庆师范大学安庆师范大学第一节 二维随机向量及其分布1.二维随机向量的定义及其分布函数 定义定义3.1.13.1.1 设 ，是定义在同一个样本空间 上的两个随机变量，则称向量 为 的二维随机变量二维随机变量，简记为 。)(X)(Y YX,YX,定义定义3.1.23.1.2 设 是二维随机变量，对任意实数 和 ，称二元函数 (3.1.1)为二维随机变量 的分布函数分布函数，或称为随机变量
2、 和 的联合分布函数联合分布函数.YX,xyyYxXPyxF,YX,XY安庆师范大学安庆师范大学yxF,分布函数 的性质：（1）单调不减性：是变量 和 的单调不减函数yxF,XY（2）有界性：，且 ，有 ，。1,0yxFyx,0,xF0,yF0,F1,F（3）右连续性：是变量 和 的右连续函数，即 。yxF,xyyxFyxFyxFyxF,0,0（4）非负性：对于任意 ，下式成立：。dcba,0,caFdaFcbFdbFdYcbXaP安庆师范大学安庆师范大学 定义定义3.1.33.1.3 若二维随机变量 的所有可能取值是有限对或可列无穷多对，则称 为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.2、二维
3、离散型随机变量YX,YX,定义定义3.1.4 3.1.4 设二维离散型随机变量 的一切可能取值为 ，且 取各对可能值的概率为 （3.1.3）称式（3.1.3）为 的（联合）概率分布联合）概率分布或（联合）分布列联合）分布列.YX,2,1,jiyxjiYX,2,1,jipyYxXPijjiYX,安庆师范大学安庆师范大学 表格形式为：性质：（1）非负性：（2）规范性：,2,1,0jipij1ijpxxyyijijpyYxXPyxF,联合分布函数：安庆师范大学安庆师范大学 例3.1.1 袋子中有5件产品（3正2次），任取一件产品，再取一件产品，设（1）试求有放回抽取方式下 的联合分布列；（2）试求无
4、放回抽取方式下 的联合分布列.，第二次取到次品第二次取到正品，第一次取到次品第一次取到正品0,10,1YXYX,YX,解：（1）有放回抽取：安庆师范大学安庆师范大学 （2）无放回抽取：例3.1.2 设随机变量 在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 在 中等可能地取整数值，试求 的分布律。XYYX,X1YX,解：由题意易知 的取值为：的正整数，且取不大于iji.4,3,2,1安庆师范大学安庆师范大学n 即 )()/(),(iXPiXjYPjYiXPijii,4,3,2,1,411安庆师范大学安庆师范大学n3.二维连续型随机变量 定义定义3.1.43.1.4 设二维随机变量 的分
5、布函数为 ，若存在一个非负可积函数 ，使得对任意实数 ，使得 则称 为二维连续型随机变量，称 为 的联合分布密度或概率密度.YX,yxF,yxf,yx,dudvvufyxFxy,YX,yxf,YX,安庆师范大学安庆师范大学 的性质：(1)非负性非负性 ；(2)正则性正则性 ；(3)设 为xOy平面上的任一区域，则点 落在 内的概率为 .(3.1.6)(4)若 在点 处连续，则有 YX,yx,yxf,D1,dudvvufyxyxFyxf,2yxyxf,0,dxdyyxfDYXPD,Dyxf,安庆师范大学安庆师范大学 例例3.1.33.1.3 设二维随机变量 的联合密度为试求(1)常数 ,（2）,
6、（3）解解 （1）由联合密度函数的正则性知从而 .(2)(3)YX,1YXPyxyxdxdyeYXP01k1121)1(edxdyeYXPyxyx其它,0,0,oyxceyxfyxkdxdycedxdyyxfyx 00,1YXPc安庆师范大学安庆师范大学4.常见的二维分布 1.1.二维均匀分布二维均匀分布 设 是平面上的一个有界区域，其面积为 ，若随机变量的联合密度函数为：就称就称 服从区域服从区域 上的均匀分布，简记为上的均匀分布，简记为 SDYX,其它，,0,1,DyxSyxf DUYX,D安庆师范大学安庆师范大学 2.二维正态分布 设二维随机变量 具有联合概率密度函数其中 均为常数，且
7、,则称 服从参数为 的二维正态分布，记作 .,2121YX,yxeyxfyyxx,121,22222121212122121221YX,222121NYX,21211,0,021安庆师范大学安庆师范大学 3.二维指数分布 设二维随机变量 具有联合概率密度函数其中 ，则称 服从参数为 的二维指数分布。0,0YX,其它,00,0,yxeyxfyxYX,例3.1.4 设（X，Y）在圆域x2+y24上服从均匀分布，求（1）（X，Y）的概率密度；（2）P0X1，0Y1.安庆师范大学安庆师范大学第二节 边际分布1.边际分布函数 定义定义3.2.13.2.1设二维随机变量 ，各自的分布函数分别记为 和 ,则
8、称 为 关于 的边际分布函数边际分布函数（Marginal distribution function），称 为 关于 的边际分布函数.YX,YX xFXYX,yFY xFXYX,yFYYX,依定义有 YxXPxXPxFX,limxFyxFy yFyxFyFxY,lim安庆师范大学安庆师范大学 例3.2.1 设 的分布函数为试求（1）系数 （2）解：（1）由联合分布函数性质知 所以 YX,yFxFYX,03arctan2,022arctan,122,yCBAyFCxBAxFCBAFCBA,3arctan2arctan,yCxBAyxF2,12CBA安庆师范大学安庆师范大学 （2）两个边际分布函
9、数为 3arctan21,lim2arctan21,limyyxFyFxyxFxFxYyX安庆师范大学安庆师范大学,2,1,2,1,jyYPpixXPpjjii2.二维离散型随机变量的边际分布列二维离散型随机变量的边际分布列 定义定义3.2.2 3.2.2 设 是二维离散型随机变量，分别称 的分布列 (3.2.3)(3.2.4)为 关于 的边际分布列边际分布列.事实上，边际分布列可通过下式表出 YX,YX,YX,YX,2,1,2,1,11jpyYPpipxXPpiijjjjijii安庆师范大学安庆师范大学例3.2.2 设一个口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这袋中任取一球后，不放回
10、袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同.以 分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字写出下列两种试验的随机变量（X，Y）的联合分布与边际分布.（1）有放回摸球；（2）无放回摸球.解解 （1）采取有放回摸球时，的联合分布与边际分布由下表给出.(2）采取无放回摸球时，的联合分布与边际分布由下表给出.YX,YX,YX,安庆师范大学安庆师范大学3.二维连续型随机变量的边际分布列二维连续型随机变量的边际分布列 定义3.2.3 设 是二维连续型随机变量，联合密度函数为 ，由 的边际分布的定义知故称 (3.2.5)为 关于 的边际密度函数。同样称 (3.2.6)为 关于 的边际密
11、度函数。dxyxfyfY,YX,dyyxfdxxdFxfXX,yxf,xXdxdyyxfxFxF,XXYX,YX,Y安庆师范大学安庆师范大学例3.2.3 设 服从单位圆上的均匀分布，试求 的边际密度函数.解解 由题知 的联合密度函数为 所以，当 或者 时，.当 ，且 时，有.综合可得 的边际密度函数为 同理可得 的边际密度函数为YX,YX,YX,1,01,1,2222yxyxyxf1x1x 0 xfX11x2211xyx 22112121xxXxdyxfXY 其它,011,122xxxfX 其它,011,122yyyfY安庆师范大学安庆师范大学第三节 随机变量的独立性 定义定义3.3.13.3
12、.1 设 和 为两个随机变量，若对于任意的 和，事件 是相互独立的，即则称 和 相互独立相互独立(Mutually independent).对于一般随机变量，和 相互独立 对于离散型随机变量，和 相互独立 对于连续型随机变量，和 相互独立 XYyxyYxX,yYPxXPyYxXP,XYXY yFxFyxFYX,XXYY yfxfyxfYX,jijiyYPxXPyYxXP,安庆师范大学安庆师范大学 例例3.3.13.3.1 设 的联合分布列为试判断 的独立性.解解 显然 的边际分布列为 因为 所以 不独立.YX,000,0YPXPYXPYX,YX,YX,安庆师范大学安庆师范大学 例3.3.2已
13、知 的联合密度为 问 是否独立？解 的边际密度为 由此可见 ，与 相互独立 YX,YX,其它,00,0,yxeyxfyx yfxfyxfYX,XY 0,00,0 xxedyexfxyxXYX,0,00,0yyedxeyfyyxY安庆师范大学安庆师范大学例例3.3.3 3.3.3 设设 ，则 独立的充要条件为 证明证明 充分性：当 时，的联合密度函数为.又由前一节例3.2.4知 所以 ，独立.必要性：设 独立，则对任意的 都有 .特别的，取 得 ，即 于是 .0,222121NYX22222121212121,yxeyxf yfxfyxfYX,XY 21212121xXexfYX,2122121
14、211210YX,22222221yYeyfYX,yx,yfxfyxfYX,21,yx2121,YXfff0安庆师范大学安庆师范大学第四节 两个随机变量的函数的分布1.二维离散型随机变量函数的分布列二维离散型随机变量函数的分布列 例例3.4.13.4.1 设 的分布列为求 和 的分布律.解：YX,YXZXYZ 安庆师范大学安庆师范大学 例例3.4.23.4.2 设 相互独立，且依次服从泊松分布 ，求证 服从 .证明证明 的可能取值为0，1，2，的分布列为 所以 服从 YXZ 21,ppYX,21pZZ kiikYPiXPkYXPkZP0,2,1,0,1!210212121kekeeikikki
15、ikiZ21p安庆师范大学安庆师范大学 例例3.4.33.4.3 设随机变量 相互独立，且都服从参数为0.2的0-1分布，即 求 的分布.解：的分布列为同理可得 的分布列为 YXVYXU,max,minYX,VU8.000,2.011YPXPYPXP安庆师范大学安庆师范大学2.二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 一般方法：（1）求 分布函数 （2）求密度函数 YXgZ,zZDYXPzYXgPzZPzF,zDzzyxgyxDdudvvuf,|,其中 zFzfZZ安庆师范大学安庆师范大学（1）和 的分布 同理同理 特别地，当特别地，当 与与 相互独立时，有独立和的卷积公式相互
16、独立时，有独立和的卷积公式 zyxZdxdyyxfzZPzF,YXZdudyyyufyuxdydxyxfzyz-,令 dyyyzfzfZ,dxxzxfzfZ,XY dxxzfxfzfYZX dyyfyzfzfYZX安庆师范大学安庆师范大学2,0 NZYX,222211,NYNX222121,NYX 例例3.4.53.4.5 设 相互独立，密度函数分别为 求 的概率分布密度.解解 由卷积公式知即 更一般地，有结论：设 相互独立且 ，则 YXZYX,2122xXexf,2122yYeyf dxeedxxzfxfzfzxzYZX2224214242222121zzxzedxee2zxt2,0 NZY
17、X,222211,NYNX222121,NYX安庆师范大学安庆师范大学（2）及 的分布 同理同理 zYzXPzMPzFM,YXM,max zFzFzYPzXPYXYX独立,zYPzXPzNPzFN11 zFzFYX111YXN,min安庆师范大学安庆师范大学第五节 条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布律 定义定义3.5.13.5.1 设二维离散型随机变量 的联合分布列为 .对于固定的j若 则称为在条件 下随机变量X X的条件分布列的条件分布列。同样，对于固定的 ，若 ，则称为在 条件下随机变量Y Y的条件分布列的条件分布列.YX,2,1,jipyYxXPijji0jyYP,2,1,.ipp
18、yYPyYxXPyYxXPjijjjijijyY ixX 0ixXPixX,2,1,.jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij安庆师范大学安庆师范大学1.二维连续型随机变量的条件分布 定义3.5.2 设二维连续型随机变量 的分布函数为 概率密度函数为 ，则分别称在条件的下X的条件概率密度；在条件下的条件概率密度.分别称为在条件Y=y下X的条件分布函数和在条件X=x下Y的条件分布函数.YX,yxF,yfyxfyxfYYX,yxf,xfyxfxyfXXY,dvxfvxfxyFduyfyufyxFyXXYxYYX,安庆师范大学安庆师范大学 例例3.5.23.5.2 设 ，在 的条件下 试求
19、的概率密度解解 由题意可得令 ，且将指数部分关于x进行配方得 最后一个等式应用到了密度函数的正则性.这个式子也表明 21,NXxX dxxyfxfdxyxfyfXY,Y22212221c22,xNxXY yfYdxxyx2222122122exp21 22212222121exp21yyfY2221,NY安庆师范大学安庆师范大学 例例3.5.23.5.2 设随机变量 ，当观察到 时，求 的概率密度 解解 按题意，X具有概率密度 类似地，对于任意给定的值 ，在 的条件下，的条件概率密度 因此，X和Y的联合概率密度为于是，得关于Y的边缘概率密度为1,0UX10 xxX 其它,010,1ln11,0yYyydxxdxyxfyfY10 xxxX yfY 其它,010,1xxfX1,xUY其它,01,11yxxxyfXY 其它,010,11,yxxxfxyfyxfXXYY
