1、平行四边形6.1 平行四边形的性质平行四边形的性质做一做做一做 在小学，在小学，我们已经认识了平行四边形我们已经认识了平行四边形.在图在图6-1中找出平行四边形，并把它们勾画出来中找出平行四边形，并把它们勾画出来.图图6-1四边形四边形平行四边形平行四边形两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形叫作两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形平行四边形.如图如图6-2，在四边形，在四边形ABCD 中，中，ADBC，ABDC，则四边形则四边形ABCD是平行四边是平行四边形形.图图6-2 平行四边形平行四边形ABCD记作记作“ABCD”.探究探究图图6-3 每位同学根据定义画一个平行四边
2、形，测量平每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形行四边形(或者图或者图6-3中的中的ABCD)四条边的长度、四条边的长度、四个角的大小，由此你能做出什么猜测？四个角的大小，由此你能做出什么猜测？你能证明吗？你能证明吗？通过观察和测量，我通过观察和测量，我发现平行四边形的对边相发现平行四边形的对边相等、对角相等等、对角相等.这些猜测对吗？这些猜测对吗？下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论.平行四边形的对边平行四边形的对边相等、对角相等相等、对角相等.在图在图6-4-4的的ABCD中，连接中，连接AC.1=2，4=3.ABDC，BCAD(平行四边形的两组对边分别平行平行四边形的两
3、组对边分别平行).图图6-4 四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，又又 AC=CA，AB=CD，BC=DA，B=D.ABC CDA.又又1+4=2+3.即即BAD=DCB.图图6-4-4结论结论平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.由此得到平行四边形的性质定理：由此得到平行四边形的性质定理：所以所以AB=CD.如图如图6-5，直线，直线l1与平行，与平行，AB，CD是是l1与与l2之间的任意之间的任意两条平行线段两条平行线段.试问：试问：AB与与CD是否相等？为什么？是否相等？为什么？图图6-5举举例例例例1 夹在两条平行夹在两条平行线间
4、的平行线线间的平行线段相等段相等.因为因为l1l2，ABCD，所以四边形所以四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.解解直线直线l1上的各点到直线上的各点到直线l2的距离相等吗？为什么？的距离相等吗？为什么？1.如图，如图，ABCD的一个外角为的一个外角为38，求，求A，B，BCD，D的度数的度数.练习练习答：答：A=142；B=38；BCD=142；D=38.2.如图，在如图，在ABCD中，中，ABC=68，BE平分平分ABC，交，交AD于点于点E.AB=2cm，ED=1cm.(1)求求A，C，D的度数；的度数；(2)求求ABCD的周长的周长.(1)答：答：A=112；C=112；D=68.
5、AE=AB=2cm，AD=AE+ED=2+1=3(cm).).ABCD的周长的周长=2(AD+AB)=2(3+2)=10(cm).).ABE=AEB.(2)解解 由已知可得由已知可得探究探究 如图如图6-6，四边形，四边形ABCD是平行四边形，它的两条是平行四边形，它的两条对角线对角线AC与与BD相交于点相交于点O.比较比较OA，OC，OB，OD 的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？图图6-6-6图图6-6我发现我发现OA=OC，OB=OD.我猜测点我猜测点O 是每条对角线是每条对角线的中点的中点.从而从而 1=2，3=4.所以所以 OAB OC
6、D.(ASA)于是于是 OA=OC，OB=OD.这个猜测对吗？这个猜测对吗？下面我们来进行证明下面我们来进行证明.如图如图6-7，由于四边形由于四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，因此因此AB=CD，且，且ABCD.图图 6-7结论结论平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.由此得到平行四边形的性质定理：由此得到平行四边形的性质定理：如图如图6-8，在，在ABCD中，对角线中，对角线AC 与与BD相交于相交于点点O，过点，过点O的直线的直线MN分别交分别交AD，BC于点于点M，N.例例2求证：求证：OM=ON.图图6-8举举例例 ADBC，MAO=NCO.又又AOM=CON
7、，AOM CON.OM=ON.AC，BD为为ABCD的对角线，且相交于点的对角线，且相交于点O，OA=OC.证明证明图图6-8 1.如图，在如图，在ABCD中，中，BC=10cm，AC=10cm，BD=12cm.(1)AOD的周长；的周长；(2)ABC与与BCD的周长哪个长？长多少？的周长哪个长？长多少？练习练习答：答：(1)AOD的周长是的周长是21cm.(2)BCD的周长比的周长比ABC 的周长长，长的周长长，长2cm.答：相等答：相等.2.平行四边形一条对角线的两个端点到另一条平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线对角线 的距离相等吗？为什么？的距离相等吗？为什么？MN证明：如右图所示，在证明：如右图所示，在ABCD中，中，DMAC于点于点M，DNAC于点于点N.AC，BD为为ABCD的对角线，的对角线，且相交于点且相交于点O，OB=OD.又又 AOD=COB，RtDOM RtBON.DM=BN.再再 见见
