吉林省长春市2020届高三数学上学期质量监测试卷（一）理科-.doc下载_163文库

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2、Ax xx x 或2x ，集合 2 |30 |0Bx xxx x或3x ，所以AB |3x x 或2x?，故选 B 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，以及集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 2.复数 25 2i +iz 的共轭复数z在复平面上对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的运算求得2iz ，得到z 2i ，再根据复数的表示，即可求解，得到答案【详解】由题意，根据复数的运算可得复数 25 2i +i2iz ，则z 2i ，所

3、以z对应点( 2, 1)在第三象限，故选 C 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 3.已知 3 1 ( ) 3 a ， 1 3 3b ， 1 3 log 3c ，则( ) A. abc B. cba C. cab D. bca 【答案】C 【解析】【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系. 【详解】因为 30 11 ( )( )1 33 a ， 1 0 3 331 ， 11 33 log 3log 10 ，所以01,1,0abc，cab，故选：C. 【点睛】指数、对数

4、、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用. 4.已知直线0xy与圆 22 (1)()2xyb相切，则b ( ) A. 3 B. 1 C. 3或1 D. 5 2 【答案】C 【解析】【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解. 【详解】由圆心到切线的距离等于半径，得 22 |1| 2 11 b |1| 2b13bb 或或故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径. 5.2019 年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事

5、业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，，2018 年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线13.7433095.7yx，其相关指数 2 R0.9817 ，给出下列结论，其中正确的个数是( ) 公共图书馆业机构数与年份正相关性较强公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 31

6、92 个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】【分析】根据b和 2 R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据b的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数. 【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又 2 R0.9817 趋近于 1，所以相关性较强，故正确；由回归方程知正确；由回归方程，当7x 时，得估计值为 3191.93192，故正确. 故选：D. 【点睛】回归直线方程中的b的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数 2 R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强. 6.中国传

7、统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 1 S，圆面中剩余部分的面积为 2 S，当 1 S与 2 S的比值为 51 2 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A. (35) B. ( 51) C. ( 51) D. ( 52) 【答案】A 【解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角. 【详解】 1 S与 2 S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设 1 S与 2 S所在扇形圆心角分别为, ，则 51 2 ，又2，解得(35)

8、【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式： 2 11 22 Srlr，其中是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长. 7.已知, ,a b c为直线，, 平面，则下列说法正确的是( ) ,ab，则/ /ab , ，则 / / , / /ab，则/ /ab /,/ ，则/ / A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】可根据线面垂直的性质定理判断；可借助正方体进行判断. 【详解】由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；选取正方体的上下底面为、以及一个侧面为，则/ /，故错误；选取正方体的上底面的对角线为ab、，下底面为，则/ /ab不

9、成立，故错误；选取上下底面为、，任意作一个平面平行上底面为，则有 / /成立，故正确.所以说法正确的有：. 故选：D. 【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 8.已知数列 n a为等比数列， n S为等差数列 n b的前n项和，且 2 1a ， 10 16a， 66 ab ，则 11 S（） A. 44 B. 44 C. 88 D. 88 【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质，求得 6 4a ，再利用等差数列的前 n 项和公式，即可求解 11 S的值，得到答案【详解】由题意，等比数列 n a

10、为等比数列，满足 2 1a ， 10 16a，根据等比数列的性质，可得 266 2 10 1 16,0a aaa ，可得 6 4a ，所以 66 4ba，则 111 116 11() 1144 2 bb bS ，故选 A 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前 n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 9.把函数( )yf x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到 2sin()yx(0,|) 2 的图象（部分图象如图所示），则( )yf x的解析式为（） A. (

11、)2sin(2) 6 f xx B. ( )2sin() 6 f xx C. ( )2sin(4) 6 f xx D. ( )2sin() 6 f xx 【答案】C 【解析】【分析】由图象可得 01f，解得 6 ，又由 11 2sin()0 12 ，解得2，得到 2sin(2) 6 yx ，在利用三角函数的图象变换，即可求得，得到答案【详解】由图象可知， 02sin(0)1f ，即 1 sin| 22 ，解得 6 ，又由 11 2sin()0 12 ，即 11111124 2sin()0,0 1261261211 k kZT ，解得2，即函数的解析式为2sin(2) 6 yx ，将

12、函数2sin(2) 6 yx 图象上点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，得2sin(4) 6 yx ，所以函数 f x解析式2sin(4) 6 yx . 故选 C 【点睛】本题主要考查了利用三角函数图象及三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 10.已知函数( )yf x是定义在R上的奇函数，且满足(2)( )0fxf x，当2 , 0 x 时， 2 ( )2f xxx ，则当4,6x时，( )yf x的最小值为（） A. 8 B. 1 C. 0 D. 1 【答案】B 【解

13、析】【分析】根据题意，求得函数 f x是以 4 为周期的周期函数，进而利用 2,0x 时，函数 f x 的解析式和函数的奇偶性，即可求解4,6上的最小值，得到答案【详解】由题意知(2)( )0fxf x，即(2)( )fxf x ，则 4(2)2(2)f xfxf xf x ，所以函数 f x是以 4 为周期的周期函数，又当 2,0x 时， 2 ( )2f xxx ，且( )f x是定义在R上的奇函数， 0,2x时， 2 ( )2f xxx，当4,6x时， 222 ( )(4)(4)2(4)1024(5)1f xf xxxxxx，所以当5x 时，函数 ( )f x的最小值为(

14、5)1f . 故选 B 【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 11.已知椭圆 22 1 43 xy 的右焦点F是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，则过F作倾斜角为 60的直线分别交抛物线于 ,A B（A在x轴上方）两点，则 | | AF BF 的值为（） A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得 12 1 3, 3 xx，进而可求得 | | AF BF 的值【详解】由椭圆 22 1

15、 43 xy ，可得右焦点为(1,0)，所以1 2 p ，解得2p ，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由抛物线定义可得 12 2 2816 sin 6033 pp ABxxp，所以 12 10 3 xx，又由 2 12 1 4 p x x ，可得 12 1 3, 3 xx，所以 1 2 |3 1 2 3 1 | 1 23 p x AF p BF x . 故选 C 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 12.已知函数 21 ( )(2 )exf xx

16、x ，若当1x 时，( )10f xmxm 有解，则m的取值范围为（） A. 1m B. 1m C. 1m D. m1 【答案】C 【解析】【分析】求得函数的导数 21 ( )(2)exfxx ，得到函数( )f x的单调性，以及 1 ,( 2),2fff的取值，再由导数的几何意义，即可求解。【详解】由题意，函数 21 ( )(2 )exf xxx ，则导数 21 ( )(2)exfxx ，所以函数 ( )f x在(1, 2)上递减，在( 2, )上递增，当2x 时，( )0f x ，又由(1)1f ，( 2)1f ，(2)0f，当1x 时，( )10f xmxm 有解，即

17、函数 yf x和(1) 1ym x的图象有交点，如图所示，又因为在点(1,(1)f的切线的斜率为(1)1 f ，所以 1m 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，结合图象求解二、填空题二、填空题. . 13. 38 1 (2)x x 展开式中常数项为_. 【答案】112 【解析】【分析】求得二项展开式的通项，令3(8)0rr，解得6r ，代入即可得到展开式的常数项【详解】由题意，二项展开式的通项为 3 883(8) 188 1 (2)()2(

18、1) rrrrrrrr r TCxCx x ，令3(8)0rr，解得6r ，所以常数项为 68 66 782 ( 1)112TC 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 14.边长为2正三角形ABC中，点P满足 1 () 3 APABAC，则BP BC_. 【答案】2 【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，结合正三角形的数量关系，即可求解，得到答案【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得： 112 () ()() () 333 BP BCABACABACABACABACAB 221248

19、481 cos602 22 3333332 ACABAC ABACAB 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 15.平行四边形ABCD中， ABD是腰长为2等腰直角三角形，90ABD，现将ABD 沿BD折起，使二面角ABDC大小为 2 3 ，若, ,A B C D四点在同一球面上，则该球的表面积为_. 【答案】20 【解析】【分析】取AD,BC的中点分别为 12 ,O O,过 1 O作面ABD的垂线与过 2 O作面BCD的垂线，确定球心的位置，再取BD中点E，连结 12 ,O E

20、O E,得到 12 O EO即为二面角A BDC的平面角，在Rt 1 OOE和在Rt 1 OOA中，求得的球的半径，即可求解【详解】由题意，取AD,BC的中点分别为 12 ,O O, 过 1 O作面ABD的垂线与过 2 O作面BCD的垂线，两垂线交点O即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结 12 ,O E O E, 则 12 O EO即为二面角A BDC的平面角，又由 12 1O EO E，连接OE，在Rt 1 OOE中，则 1 3OO ，在Rt 1 OOA中， 1 2O A，得5OA，即球半径为5ROA，所以球面积为 2 4SR 20. 【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，

21、以及几何体的结构特征、二面角的应用，其中解答中熟练应用几何体的结构特征，以及二面角的定义求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题 16.已知数列 n a的前项n和为 n S，满足 1 1 2 a ,且 1 2 2 2 nn aa nn ，则 2n S_， n a _. 【答案】 (1). 2 21 n n (2). 1 ( 1) (1) n n n 【解析】【分析】由 1 2 2 2 nn aa nn ，得到 212 11 2121 nn n a n a ，列用裂项法，即可求得 2n S，在分别求得 1234 ,a a a a，归纳即可求解

22、【详解】由题意，数列 n a满足 1 2 2 2 nn aa nn ，可得 212 2 2 (21)2(21) nn aa nn 211 (21)(21)2121nnnn ，所以 2n S 11 13 + 11 35 + 11 2121nn 12 1 2121 n nn ，由 1 11 21 2 a ，递推可得 2 77 62 3 a ， 3 1111 123 4 a ， 4 2121 204 5 a ，归纳可得 1 ( 1) (1) n n n . 【点睛】本题主要考查了裂项法求和，以及利用数列的递推公式求解数列的项，归纳数列的通项公式，其中解答中熟记数列的求和方法，以及合理利用递

23、推公式求项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，tan()abA ab . （）求证：ABC是直角三角形；（）若10c ，求ABC的周长的取值范围. 【答案】（）见证明；（）20,10 10 2 【解析】【分析】（）由正弦定理和题设条件，化简得sincosBA，得到 2 AB ，即可得到证明；（）由（）可得ABC的周长10 10sin10cos10 10 2sin() 4 LAAA ，利用三角

24、函数的图象与性质，即可求解【详解】（）在ABC中，由正弦定理，可得 sin sinsin cos A AB A ，即sincosBA，由ab，可得 2 AB ，即ABC是直角三角形. （）由（）可得ABC的周长10 10sin10cos10 10 2sin() 4 LAAA ，由ab可知， 42 A ，则 2 sin()1 24 A ，即2010 10 2L，所以ABC周长的取值范围是20,10 10 2 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，以及合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能

25、力，属于基础题 18.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，/ABCD，ADDC， 22ABADDC，E为PB中点. （）求证：/ /CE平面PAD；（）若4PA，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【答案】（）见证明；（） 4 【解析】【分析】（）取PA中点M，连结 ,EM DM，证得 / /CEDM，利用线面平行的判定定理，即可求解；（）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立坐标系，利用平面CDE和平面ABCD的法向量的夹角公式，即可求解【详解】（）取PA中点M，连结 ,EM DM，由 / /EMCD，EMCD，则/

26、/CEDM，又由DM 平面PAD，所以/ /CE平面PAD. （）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立坐标系，可得(2,0,0)D，(2,1,0)C， (0,0,4)P ， (0,2,0)B ，(0,1,2)E，则(0, 1,0)CD ，( 2,0,2)CE ，设平面CDE的一个法向量为 1 ( , , )nx y z，则 1 1 0 0 n CD n CE ，即 0 220 y xz ，令1x ，则 1 (1,0,1)n 又平面ABCD的法向量为 2 (0,0,1)n ；则 12 12 1 00 0 1 12 cos 22 1 n n nn ，

27、所以平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为 4 . 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19.某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得 0 分，某考试每道都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有

28、 2 道能排除两个错误选项，另 2 题只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响 ()求该考生本次测验选择题得 50 分的概率； ()求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望【答案】() 1 36 ；()见解析. 【解析】试题分析：（）设选对一道“能排除 2 个选项的题目”为事件 A，选对一道“能排除 1 个选项的题目”为事件 B，该考生选择题得 50 分的概率为 P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果（）该考生所得分数 X=30，35，40，45，50，分别求出 P（X=30），P（X=

29、35），P（X=40）， P（X=45），P（X=50），由此能求出 X 的分布列和数学期望试题解析： ()设选对一道“能排除 2 个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除 1 个选项的题目”为事件B，则P(A) ，P(B) ，该考生选择题得 50 分的概率为： P(A)P(A)P(B)P(B). ()该考生所得分数X30，35，40，45，50， P(X30) ， P(X35)C2 1 C2 1 ，(6 分) P(X40)C2 1 C2 1 ， P(X45)C2 1 C2 1 ， P(X50)， X的分布列为： X 30 35 40 45 50 P EX30 35 4045

30、50. 20.已知点( 1,0),(1,0)MN ，若点( , )P x y满足| 4PMPN. （）求点P的轨迹方程；（）过点(3,0)Q 的直线l与（）中曲线相交于,A B两点，O为坐标原点，求AOB 面积的最大值及此时直线l的方程. 【答案】（） 22 1 43 xy ；（） AOB面积的最大值为 3，此时直线l的方程为 6 3 3 xy . 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用 1 | 2 ABd（d表示原点到直线AB的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值. 【详解】解：（）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且24a ，1c

31、. 因此椭圆的方程为 22 1 43 xy . （）设直线l的方程为3xty与椭圆 22 1 43 xy 交于点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，联立直线与椭圆的方程消去x可得 22 (34)6 330tyty ，即 12 2 6 3 34 t yy t ， 12 2 3 34 y y t . AOB面积可表示为 2 121212 11 | |3()4 22 AOB SOQyyyyy y 2222 2222 16 3332 36 3()493431 2343423434 t ttt tttt 令 2 31tu ，则1u，上式可化为 2 66 3 3 3 u u u u ，

32、当且仅当 3u ，即 6 3 t 时等号成立，因此AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为 6 3 3 xy . 【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点(,0),( ,0)McN c ，若点( , )P x y满足| 2PMPNa且22ac，则P的轨迹是椭圆；（2）已知点(,0),( ,0)McN c ，若点( , )P x y满足| 2PMPNa且22ac，则P的轨迹是双曲线. 21.已知函数( )(1)lnf xxx, 3 ( )ln e g xxx. （）求函数 ( )f x的单调区间；（）令( )( )( )(0)h xmf xg xm两个零点 12

33、12 ,()x xxx，证明： 12 1 e xex. 【答案】（） ( )f x在(0,1)上单调递减，在1,)上单调递增.（）见证明【解析】【分析】（）求得函数的导数 1 ( )ln1fxx x ，且( )01 f ，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（）由 3 ( )(1)lnlnh xm xxxx e 有两个零点，利用导数求得函数 h x的单调性与最值，结合图象，即可得出证明【详解】（）由题意，函数( )(1)lnf xxx，则 1 ( )ln1fxx x ，且( )01 f ，当01x时，( )0fx ，函数 ( )f x单调递减；当1x 时，( )0f

34、x ，函数 ( )f x单调递增；所以函数 ( )f x在(0,1)上单调递减，在1,)上单调递增. （）由 3 ( )(1)lnlnh xm xxxx e 有两个零点可知由 11 ( )(1 ln) 1h xmx xx 且0m 可知，当01x时，( )0h x ，函数 h x单调递减；当1x 时，( )0h x ，函数 h x单调增；即( )h x的最小值为 3 (1)10h e ，因此当 1 x e 时， 1113(1)2 ( )(1)( 1)( 1)0 m ee hm eeeee ，可知( )h x在 1 ( ,1) e 上存在一个零点；当x e 时， 3 ( )(1)1

35、0h em ee e ，可知( )h x在(1, )e上也存在一个零点，因此 21 1 xxe e ，即 12 1 xex e . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

36、标系，圆C的极坐标方程为 2 4cos3. （）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）直线l与圆C交于,A B两点，点(1,2)P，求| |PAPB的值. 【答案】（）直线l的普通方程为30xy，圆C的直角坐标方程为 22 430xyx. （）2 【解析】【分析】（1）求直线l的普通方程，消去参数t即可；求圆的直角坐标方程利用 cos sin x y 互化即可. （2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t的几何意义求解| |PAPB的值. 【详解】解：（）直线l的普通方程为30xy，圆C的直角坐标方程为 22 430xyx. （）联立直线l的参数方程与圆C的直角坐标

38、】（）(, 5 1,3 ；（）最小值为 2 【解析】【分析】（1）采用零点分段的方法解不等式；（2）计算出 ( )f x的最大值，再利用基本不等式求解 ab的最小值. 【详解】（）由题意 (3)(1),34,3 ( )(3)(1), 3122, 31 (3)(1),14,1 xx xx f xxxxxx xxxx 当3x 时，41x，可得5x ，即5x . 当31x 时，221xx，可得1x ，即11x . 当1x 时，41x，可得3x ，即13x. 综上，不等式( )1f xx 的解集为(, 5 1,3 . （）由（）可得函数 ( )f x的最大值 4M ，且14abab ，即 2 3()() 2 ab abab ，当且仅当ab时“=”成立，可得 2 (2)16ab，即2ab，因此ab的最小值为 2. 【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时x的值，再逐段分析；（2）注意利用| |xaxbab，| |xaxbab求解最值.

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