1、江苏省南通海安市江苏省南通海安市 20202020 届高三数学学年初学业质量检测试题（含解届高三数学学年初学业质量检测试题（含解 析）析） 参考公式：参考公式： 锥体的体积公式锥体的体积公式 1 3 VSh，其中，其中S为锥体的底面积，为锥体的底面积，h为高为高. . 一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上. . 1.已知集合0,2,6,8A，2,4,6B ，则AB _. 【答案】 6 【解析】 【分析】 利用集合交集的定义可求出集合AB. 【详解】因为集合0,2,6,8A，2,4,6B ， 所以 6AB I，故答案为： 6. 【点睛】本题考查集合
2、的交集运算，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数1 2zii，其中i为虚数单位，则z的模为_. 【答案】5 【解析】 【分析】 利用复数的乘法法则将复数z表示为一般形式，然后利用复数的求模公式可计算出复数z的 模. 【详解】 2 1 222ziiiii Q，因此，复数z的模为 22 215z ，故答案 为：5. 【点睛】本题考查复数模的计算，对于复数问题，一般利用复数四则运算法则将复数表示为 一般形式，再结合相关公式或知识求解，考查计算能力，属于基础题. 3.某厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的 方法抽取一个容量为n的样本，其中A型号产品有18
3、件，则n的值为_. 【答案】90 【解析】 【分析】 根据分层抽样总体和样本中，A型号的产品所占的比例相等列等式求出n的值. 【详解】由于在总体和样本中，A型号的产品所占的比例相等，则有 182 235n ，解得 90n， 故答案为：90. 【点睛】本题考查分层抽样中的计算，解题时要根据分层抽样的特点列等式进行计算，考查 运算求解能力，属于基础题. 4.函数 2 56yxx 的定义域是_ 【答案】2,3 【解析】 【分析】 根据偶次方根被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域. 【详解】依题意 2 560xx ，即 2 56320xxxx，解得2,3x. 【点睛】本小题主要考查具体函
4、数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，考 查一元二次不等式的解法，属于基础题. 5.已知长方体 1111 ABCDABC D的体积为72，则三棱锥 1 ABCD的体积为_. 【答案】12 【解析】 【分析】 设长方体 1111 ABCDABC D的底面积为S，高为h，可得出 72Sh ，则三棱锥 1 ABCD的 底面积为 1 2 S，高为h，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥 1 ABCD的体积. 【详解】设长方体 1111 ABCDABC D的底面积为S，高为h， 则长方体 1111 ABCDABC D的体积为 72Sh ， 由题意可知，三棱锥 1 ABCD的底面积为 1 2 S
5、，高为h， 因此， 三棱锥 1 ABCD的体积为 1 1111 7212 3266 ABCD VShSh ， 故答案为：12. 【点睛】本题考查锥体体积的计算，解题的关键就是弄清楚锥体和长方体底面积以及高之间 的等量关系，考查计算能力，属于基础题. 6.如图是一个算法流程图，则输出的n的值为_. 【答案】9 【解析】 【分析】 根据框图列出算法步骤，可得出输出结果. 【详解】由题意可得1024n 为偶数，则 1024 512 2 n ， 9 22 log 512log 29n ，输 出n的值为9，故答案为：9. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查条件结构框图的应用，一般根据算法框
6、图列举出算法步骤，即可计算出输出结果，考查计算能力，属于中等题. 7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 2 2 2 :10 x Cya a 的右焦点的坐标为3,0， 则该双曲线的两条渐近线方程为_. 【答案】 2 2 yx 【解析】 【分析】 根据题意求出a的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可得 2 2 312a ，则双曲线的方程为 2 2 1 2 x y， 因此，双曲线渐近线方程为 12 22 yxx ，故答案为： 2 2 yx . 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是求出双曲线的方程，考查运算 求解能力，属于基础题. 8.某饮品店提供A、B两种口味的饮
7、料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量.甲、乙 二人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的 概率为_. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 记A种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为 1 A、 2 A、 3 A，B种口味饮料大杯、中杯、小杯 分别记为 1 B、 2 B、 3 B，用列举法列出所有的基本事件，并确定事件“甲、乙所点饮料的口 味相同”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】记A种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为 1 A、 2 A、 3 A，B种口味饮料大杯、中 杯、小杯分别记为 1 B、 2 B、 3 B，
8、 事件“甲只点大杯，乙点中杯或小杯”所包含的基本事件有： 12 ,A A、 13 ,A A、 12 ,A B、 13 ,A B、 12 ,B A、 13 ,B A、 12 ,B B、 13 ,B B，共8个， 其中事件“甲、 乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件有： 12 ,A A、 13 ,A A、 12 ,B B、 13 ,B B，共4个，因此，所求事件的概率为 41 82 ，故答案为： 1 2 . 【点睛】本题考查利用古典概型概率公式计算事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举 出基本事件，并确定基本事件数目，考查计算能力，属于中等题. 9.已知函数 sin 20 2 f xx 图象的
9、一条对称轴方程为 6 x ，则的值为 _. 【答案】 6 【解析】 【分析】 由题意得出2 62 kkZ ，求出的表达式，再结合的取值范围，可得出 的值. 【详解】由题意得出2 62 kkZ ， 6 kkZ ， 0 2 ，0k 且 6 ，故答案为： 6 . 【点睛】本题考查利用正弦型函数对称轴方程求参数的值，解题时要结合正弦型函数的对称 轴方程得出参数的表达式，并结合参数的取值范围得出参数的值，考查运算求解能力，属于 中等题. 10.设等比数列 n a的公比为1q q ，前n项和为 n S.若存在m N ，使得 21 5 2 mmm aaa ，且 2 9 mm SS，则正整数m的值为_. 【答
10、案】3 【解析】 分析】 先利用条件 21 5 2 mmm aaa 求出公比q的值， 然后利用等比数列求和公式以及 2 9 mm SS可 求出正整数m的值. 【详解】 21 5 2 mmm aaa Q， 2 5 2 mmm aa qa q，得 2 5 10 2 qq ，1q Q，解得 2q =. 由 2 9 mm SS，可得 2 11 1 21 2 9 1 21 2 mm aa ，所以， 2 1 29 1 2 mm ， 即1 2129 1 2 mmm ， mNQ ，1 20 m ，1 29 m ，解得3m ， 故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比数列求和公式，
11、对于等比数列 问题，通常利用首项和公比将等比数列中相关量表示出来，考查计算能力，属于中等题. 11.如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知正方形OABC， 其中1OAa a， 函数 2 3yx 交BC于点P，函数 1 2 yx 交AB于点Q，则当AQCP最小时，a的值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 由题意得出直线AB的方程为x a ，直线BC的方程为y a ，求出点P、Q的坐标，可得 出AQ、CP关于a的表达式，然后利用基本不等式求出AQCP的最小值，并利用等号成 立的条件求出对应的a的值. 【详解】由题意得出直线AB的方程为x a ，直线BC的方程为y a ， 联立直线AB的方程与
12、函数 1 2 yx 的解析式1 2 xa yx ，得1 xa y a ， 所以点Q的坐标为 1 , a a ，则 1 AQ a . 联立直线BC的方程与函数 2 3yx的解析式 2 30 ya yxx ，得 3 a x ya ， 所以点P的坐标为, 3 a a ，则 3 a CP . 由基本不等式得 4 112 2 333 aa AQCP aa ， 当且仅当 1 3 a a ，即当3a 时，等号成立，因此，3a ，故答案为：3. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是结合条件建立关于a的代数式，并 结合基本不等式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12.如图，在
13、平面四边形ABCD中，3AB ，1AD，CBCD， 2 ADBBCD ， 则AC BD uuu r uuu r 的值为_. 【答案】4 【解析】 【分析】 以点D为坐标原点，DB、AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 写出A、B、 C、D四点的坐标，并求出向量AC、BD的坐标，利用坐标法来计算出AC BD uuu r uuu r 的值. 【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DB、AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面 直角坐标系， 3AB ，1AD， 2 ADB ， 22 2 2BDABAD ， 又CBCD，且 2 BCD ，BCD是等腰直角三角形， 则点0, 1A、2 2,0B、
14、2, 2C、0,0D，2, 21AC uuu r ，2 2,0BD uuu r ， 因此， 22 22104AC BD uuu r uuu r ，故答案为：4. 【点睛】本题考查图形中向量数量积的计算，常利用基底向量法与坐标法来进行求解，考查 数形结合思想的应用，属于中等题. 13.在ABC中， 已知AB边上的中线1CM ， 且 1 t a n A ， 1 tanC ， 1 tan B 成等差数列， 则AB 的长为_. 【答案】 2 3 3 【解析】 【分析】 先由 1 tan A ， 1 tanC ， 1 tan B 成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到 222 2abc，再 由AB边上
15、的中线1CM ， 1 2 CMCACB，得到 2 222 423 2 c baabc ab ，进而 可求出结果. 【详解】因为 1 tan A ， 1 tanC ， 1 tan B 成等差数列， 所以 211 tantantanCAB ，即 2coscoscossin()sin sinsinsinsinsinsinsin CABABC CABABAB ， 所以 2 sin 2cos sinsin C C AB ，由正弦定理可得 2 cos 2 c C ab ， 又由余弦定理可得 222 cos 2 abc C ab ，所以 2222 22 abcc abab ，故 222 2abc ， 又因为
16、AB边上的中线1CM ，所以1CM ，因为 1 2 CMCACB， 所以 22222 422cosCMCACBCA CBCACBCA CBC， 即 2 222 423 2 c baabc ab ，解 2 3 3 c . 即AB的长为 2 3 3 . 故答案为 2 3 3 【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的应用，熟记正弦定理与余弦定理，以及向量数 量积的运算即可，属于常考题型. 14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线 1: 20lxy与x轴交于点A，点B在直线 1 l上， 直线 2: 310lxy 上有且仅有一点C满足：ACBC（A、B、C两两互不相同） ，则点 B的横坐标的所有可能值之
17、积为_. 【答案】19 【解析】 【分析】 设点B的坐标为,2t t ，设点,C x y，根据ACBC转化为 0AC BC ，可得出点C的 轨迹为圆，由题意得出点C的轨迹圆与直线 2 l相切，将直线 2 l的方程与点C的轨迹方程联立， 利用0 得出关于t的二次方程，利用韦达定理求出两根之积 1 2 t t可得出结果. 【详解】设点B的坐标为,2t t ，直线 1 l与x轴的交点为点2,0A ， 设点,C x y，2,ACxy uuu r ，,2BCxt yt uuu r ， ACBCQ，220AC BCxxty yt uuu r uuu r ， 联立 310 220 xy xxty yt ，消
18、去x得 2 102143 30ytyt ， 2 2144 10330tt ，化简得 2 16190tt ，由韦达定理得 1 2 19t t . 当点B为直线 1 l与 2 l的交点时 5 4 3 4 x y ，要使 0AC BC ，点C与点B重合，不合题意. 因此，点B的横坐标的所有可能值之积为 1 2 19t t ，故答案为：19. 【点睛】本题考查两直线垂直、直线与圆的位置关系的综合应用，解题的关键在于将点的个 数问题转化为直线与圆的位置关系，并利用韦达定理进行求解，考查转化与化归思想以及方 程思想，考查运算求解能力，属于难题. 二、解答题：请在答题卡指定区域内作答二、解答题：请在答题卡指
19、定区域内作答. .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 15.在ABC中，已知3BC ，2ACAB， 1 cos 2 B . （1）求AB、AC的值； （2）求sin BC的值. 【答案】 （1）5AB ，7AC ； （2） 4 3 7 . 【解析】 【分析】 （1）设角A、B、C的对边依次为a、b、c，由2bc，可得出2bc ，利用余弦定 理结合条件 1 cos 2 B 可解出c，从而可得出AB、AC的值； （2）求出 2 3 B ，利用余弦定理求出cosC的值，再利用同角三角函数可求出sinC的值， 然后利用两角差的正弦公式可求出sin B
20、C的值. 【详解】 （1）设角A、B、C的对边依次为a、b、c，由余弦定理得 222 cos 2 acb B ac ， 又因为 1 cos 2 B ，3a ，2bc，所以 2 22 321 2 32 cc c ，解得5c . 因此，5AB ，7AC ； （2）在ABC中，0B，又 1 cos 2 B ，故 2 3 B . 由余弦定理得 222 cos 2 abc C ab ，结合（1）知， 222 37511 cos 2 3 714 C ， 又0C，故 2 2 115 3 sin1 cos1 1414 CC ， 22231115 34 3 sinsinsincoscossin 33321421
21、47 BCCCC . 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，以及利用两角差的正弦公式求值，在求解三角形 的问题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理进行计算，考查运算求解能 力，属于中等题. 16.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，AB BC，点D为棱 1 CC的中点， 1 AC与 1 AD交 于点E， 1 BC与 1 B D交于点F，连结EF. 求证： （1）/AB EF； （2）平面 11 AB D 平面 11 B BCC. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先证明出/AB平面 11 AB D，然后利用直线与平面平行的性质定理可
22、得出 /AB EF； （2）由题意得出 1111 ABBC，由 1 BB 平面 111 A BC，可得出 111 ABBB，利用直线与平面 垂直的判定定理证明出 11 AB 平面 11 BBC C，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平 面 11 AB D 平面 11 B BCC. 【详解】 （1）在直三棱柱 111 ABCABC中， 11 /AB AB， 又AB 平面 11 AB D， 11 AB 平面 11 AB D，所以 /AB平面 11 AB D. 又AB平面 1 ABC，平面 11 AB D平面 1 ABCEF，所以 /AB EF； （2）在直三棱柱 111 ABCABC中， 1
23、B B 平面 111 A BC， 又 11 AB 平面 111 A BC，故 111 B BAB 又ABBC，故 1111 ABBC. 又因为 1111 B BBCB， 1 B B 平面 11 B BCC， 11 BC 平面 11 B BCC， 所以 11 AB 平面 11 B BCC， 又 11 AB 平面 11 AB D，所以平面 11 AB D 平面 11 B BCC. 【点睛】本题考查直线与直线平行以及平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的性质 定理以及平面与平面垂直判定定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 17.现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部
24、分） ，并卷成一 个深度为hm的圆锥筒，如图2. （1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为 2 3 rad ，求圆锥筒的容积； （2）当h为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值. 【答案】 （1） 3 2 2 81 m ； （2）当 3 3 h 时，圆锥筒的容积的最大值为 3 2 3 27 m . 【解析】 【分析】 （1）计算出扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长可求出圆锥底面圆的半径， 利用勾股定理计算出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可计算出圆锥的容积； （2）利用勾股定理得出圆锥的底面半径为 2 1 h ，可得出01h，利用圆锥的体积公式 计算出圆锥的容积V关于h的函数，再利
25、用导数可求出V的最大值，并求出对应的h的值. 【详解】设圆锥筒的半径为r，容积为V. （1）由 2 2 3 r ，得 1 3 r ，从而 2 2 2 1 3 hr， 所以 2 3 1112 22 2 333381 VShm . 答：圆锥筒的容积为 3 2 2 81 m ； （2）因为 2 1rh ，01h. 所以 223 1111 1 3333 VShr hhhhh，即 3 1 3 Vhh，01h. 因为 2 1 1 3 3 Vh ，令0V得， 3 3 h （舍负值） ，列表如下： h 3 0, 3 3 3 3 ,1 3 V 0 V 极大值 所以，当 3 3 h 时，V取极大值即最大值，且V的
26、最大值为 2 3 27 . 答：当 3 3 h 时，圆锥筒的容积的最大值为 3 2 3 27 m . 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查利用导数求函数的最值，解题的关键就是要 结合题意求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18.如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为F， 左、 右顶点分别为 1 A、 2 A， 上、 下顶点分别为 1 B、 2 B， 连结 2 B F并延长交椭圆于点P， 连结 2 PA， 12 A B，记椭圆C的离心率为e. （1）若 1 2 e ， 12 7AB . 求椭圆C的标准方程；
27、求 21 B AF和 2 PA F的面积之比. （2）若直线 2 PB和直线 2 PA斜率之积为 9 2 ，求e的值. 【答案】 （1） 22 1 43 xy .5 ； （2） 1 2 e . 【解析】 【分析】 （1）设椭圆的焦距为2c，根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b的值，可得 出椭圆的标准方程； 求出直线 2 B F的方程，将该直线方程与椭圆C的标准方程联立，求出点P的坐标，再利用 三角形的面积公式可求出 21 B AF和 2 PA F的面积之比； （2）先利用截距式得出直线 2 PB的方程为1 xy cb ，将该直线方程与椭圆C的方程联立， 求出点P的坐标，利用斜率公式计
28、算出直线 2 PA和 2 PB的斜率，然后由这两条直线的斜率之 积为 9 2 ，得出关于a、c的齐次方程，由此可解出椭圆C的离心率e的值. 【详解】 （1）设椭圆的焦距为2c，由题意，得 22 222 1 2 7 c e a ab abc ，解得 2 2 4 3 a b ， 所以椭圆的标准方程为 22 1 43 xy ； 由知， 1 2,0A 、 2 2,0A，1,0F， 2 0,3B， 所以直线 2 B F的方程为 31yx， 将其代入椭圆的方程，得 2 2 11 4 x x，即 2 580xx-=， 所以0x 或 8 5 x ，所以点P的坐标为 8 3 3 , 55 . 从而 21 B A
29、F和 2 PA F的面积之比： 2 1 2 1 33 2 5 13 3 1 25 B A F PA F S S ； （2）因为 2 B、F在直线 2 PB上，所以直线 2 PB的方程为1 xy cb . 解方程组 22 22 1, 1, xy cb xy ab ，得 2 1 22 22 1 22 2a c x ac b ac y ac 或 2 2 0x yb ， 所以点P的坐标为 22 2 2222 2 , b ac a c acac . 因为直线 2 PB的斜率 2 0 0 PB bb k cc ， 直线 2 PA的斜率 2 22 22 22 2 222 22 0 22 PA b ac b
30、ac b ac ac k a ca aca ca ac a ac ， 又因为直线 2 PB和直线 2 PA斜率之积为 9 2 ， 所以 222 2 9 2 acac b acbacacb a accac acac acac ， 即 19 2 2 e e ，化简得 2 2520ee ，01eQ，解得 1 2 e . 因此，椭圆C的离心率为 1 2 e . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值，以及椭圆离心率的求解，同时 也考查了直线与椭圆交点坐标的求解，考查方程思想的应用，属于中等题. 19.已知函数 2 x xbxc f x e （e为自然对数的底数） ， fx为 f x的导函
31、数，且 10 f . （1）求实数c的值； （2）若函数 f x在0x 处的切线经过点1,0，求函数 f x的极值； （3）若关于x的不等式 2f x 对于任意的0,2x恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】 （1）1； （2）函数 yf x的极小值为0，极大值为 4 e ； （3）,22e. 【解析】 【分析】 （1）求出函数 yf x的导数 fx ，由 10 f ，可求出实数c的值； （2）利用导数求出函数 yf x在0x 处的切线方程，将点1,0代入切线方程，可求 出实数b的值，然后利用导数求出函数 yf x的极值点，并列表分析函数 yf x的单 调性，由此可得出函数 yf x的极小值和
32、极大值； （3）方法 1：由 2f x ，得 2 21 x bxex，0,2x，然后分 0x 和02x两 种情况讨论，在0x 时可验证不等式成立，在0,2x时，由参变量分离法得 21 x e bx xx ，并构造函数 21 x e g xx xx ，并利用导数求出函数 yg x在区 间0,2上的最小值，由此可得出实数b的取值范围； 方法 2：解导数方程 0fx ，得出 1 1xb ， 2 1x ，然后分1 1b，10b， 011b ，12b和1 12b 五种情况讨论，分析函数 yf x在区间0,2上的 单调性，求出函数 yf x的最大值 maxf x，再解不等式 max2f x可得出实数b的取
33、 值范围. 【详解】 （1）因为 2 x xbxc f x e ，所以 2 2 x xb xbc fx e ， 又因为 10 f ，所以 12 0 bbc e ，解得1c . （2）因为 2 x xbxc f x e ，所以 01f. 因为 2 2 x xb xbc fx e ，所以 01fb . 因为，函数 yf x在0x 处的切线方程为11ybx 且过点1,0， 即11b ，解得2b. 因为 11 x xx fx e ，令 0fx ，得1x ，列表如下： x , 1 1 1,1 1 1, fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以当1x 时，函数 yf x取得极小值10f ， 当1x 时，
34、函数 yf x取得极大值为 4 1f e ； （3）方法 1：因为 2 1 2 x xbx f x e 在 0,2x上恒成立， 所以 2 21 x bxex在0,2x上恒成立. 当0x 时，01成立； 当0,2x时， 21 x e bx xx 恒成立，记 21 x e g xx xx ，0,2x， 则 22 121 211 1 x x xex ex gx xxx . 令 21 x h xex，0,2x， 则 0 2121 10 x h xee ，所以函数 yh x在区间0,2上单调递增， 所以 0 020 1 10h xhe ，即2 10 x ex 在区间 0,2上恒成立. 当0,2x，令 0
35、gx ，得1x ， 所以，函数 yg x在区间0,1上单调递减，在区间1,2上单调递增， 所以 min 122g xge，所以，22be， 因此，实数b的取值范围是,22e； 方法 2：由（1）知， 2 1 x xbx f x e ， 所以 2 2111 xx xb xbxxb fx ee . 令 0fx ，得 1 1xb ， 2 1x . 当1 1 b 时，即0b 时，函数 yf x在区间0,2上单调递减， 由题意可知 012f ，满足条件； 当10b时，即1b 时，函数 yf x在区间0,1上单调递增，在区间 1,2上单调递 减， 由题意可知 2 12 b f e ，解得122be； 当0
36、11b 时，即01b时， 函数 yf x在0,1 b上单调递减，在1,1b上单调递增，在 1,2上单调递减， 由题意可知 2 12 b f e ，解得22be，所以01b； 当12b时，即1b时，函数 yf x在区间0,1上单调递减，在区间 1,2上单调 递增， 由题意可知 2 25 22 b f e ，解得 2 5 2 be. 又因为1b，所以1b； 当1 12b 时，即10b 时， 函数 yf x在0,1上单调递减，1,1 b上单调递增，在1,2b上单调递减， 由题意可知 1 2 12 b b fb e ，即 1 2110 b eb . 令1tb ，则12t ，设2121 tt yetet
37、 ， 则210 t ye ，所以，函数21 t yet 在区间1,2上单调递增， 又因为1t 时，220ye，所以0y在区间1,2上恒成立，所以10b . 综上，22be，因此，实数b的取值范围是,22e. 【点睛】本题考查导数的计算、导数的几何意义、利用导数求函数的极值以及利用导数研究 不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，也可以采用分类讨论 法，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题. 20.若无穷数列 n a满足：只要 pq aa （p、qN ） ，必有 11pq aa ，则称 n a具有性 质P. （1）若数列 n a具有性质P，且 1 1
38、a ， 2 2a ， 4 3a ， 5 2a ， 678 21aaa，求 3 a； （2） 若无穷数列 n b是等差数列， 无穷数列 n c是公比大于1的等比数列， 15 bc， 51 bc， nnn abc，判断 n a是否具有性质P，并说明理由； （3）设 n b是无穷数列，已知 1 sin nnn abanN ，求证：“对任意的 1 a， n a具有 性质P”的充要条件为“ n b是常数列”. 【答案】 （1） 3 16a ； （2）不具有性质P，证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题中条件得出 25 aa，结合性质P可得出 36 aa， 47 aa， 58
39、aa，再利用条 件 678 21aaa，可得出 3 a的值； （2）假设数列 n a是具有性质P，根据题中条件得出 15 aa，根据性质P得出 26 aa，将 两等式作差得出关于q的方程，解出q的值，不满足1q ，说明数列 n a不具备性质P； （3）充分性：由数列 n b是常数列，可得 1n bb，通过 11 sin nn aba ，证明 11pq aa ， 可得出数列 n a具有性质P； 必要性：对任意的 1 a， n a具有性质P，得到 211 sinaba，构造函数 1 f xxb， sing xx，证明出 1nn bb ，可证明出数列 n b是常数项. 【详解】 （1）因为 2 2a
40、 ， 5 2a ，所以 25 aa. 因为数列 n a具有性质P，所以 36 aa， 47 aa， 58 aa， 从而 345678 21aaaaaa，又 4 3a ， 5 2a ，所以 3 16a ； （2）假设 n a是具有性质P，等比数列 n c的公比为1q q . 因为 nnn abc，所以 111 abc， 555 abc. 因为 15 bc， 51 bc，所以 1155 bcbc，从而 15 aa. 又因为 n a具有性质P，所以 26 aa，即 2266 bcbc. ，得 21216565 bbccbbcc. 因为 n b是等差数列，所以 2165 bbbb，从而 2165 cc
41、cc. 因为数列 n c是等比数列，所以 1 0c ，从而 54 1qqq ，而 4 110qq. 因为1q ，所以不存在这样的q，所以假设不成立. 所以 n a不具有性质P； （3）1充分性：若 n b是常数列，则 1n bb，从而 11 sinsin nnnn ababa . 若存在p、qN ，使得 pq aa ，则由 11 sin pp aba ， 11 sin qq aba 得， 11pq aa ，所以对任意的 1 a， n a具有性质P； 2必要性：若对任意的 1 a， n a具有性质P. 先证明：对于给定的 1 b，存在t R，使得 1 sin0ttb. 证明：记函数 1 sinf
42、 tttb ， 则 11 22sin20f bb， 11 22sin20f bb ， 又函数 yf t的图象不间断，所以存在 11 2,2tbb，使得 0f t . 取 1 at，则 111 sin0aab，即 111 sinaba， 又由 1 sin nnn aba 得， 211 sinaba，所以 12 aa. 由 n a具有性质P，得 23 aa， 34 aa， 1nn aa ， 所以 n a为常数列，从而 1 sin nnn baa 为常数，所以 n b是常数列. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，同时也考查了充分必要条件的证明，本 题的难点在于构造新函数，利用函数的零点存在定理来证明常数列，考查分析问题和解决问 题的能力，属于难题. 21.已知矩阵 3 2 x A y ， 4 1
