1、江西省南昌市江西省南昌市 20202020 届高三数学上学期开学考试试题届高三数学上学期开学考试试题 文（含解析）文（含解析） 本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2323 小题，满分小题，满分 150150 分分. .考试时间考试时间 120120 分钟。分钟。 注意事项：注意事项： 1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码. . 2.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需铅笔把答题卡上对
2、应题目的答案信息涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. . 3.3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需 改动， 先划掉原来答案， 然后再写上新答案， 不准使用铅笔和涂改液改动， 先划掉原来答案， 然后再写上新答案， 不准使用铅笔和涂改液. .不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效. . 4.4.考生必须保证答题卡整洁考生必须保证答题卡整洁. .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. . 一一.
3、 .选择题：本题共选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合 3 =0 ,=2 1 x MxNx yx x ，则 R C MN I（ ） A. 1,2 B. 1,2 C. 2,3 D. 2,3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据求解分式不等式和二次根式的定义域得,M N集合，再运用集合的补集和交集运算求解. 【详解】由已知得,13,2MN ， 1,3 R C M ， 所以 R C MN I1,2， 故选 B. 【点睛】本
4、题考查集合的补集和交集运算，属于基础题. 2.复数z满足1 i1 i z ，则| z （ ） A. 2i B. 2 C. i D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi=，即可得到复数的模，得到答案。 【详解】由题意，复数11 i i z ，解得 111 111 iii zi iii ，所以1z ，故选 D。 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法 则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 3.已知平面内一条直线l及平面，则“l”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
5、 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解。 【详解】由题意，根据直线与平面垂直的判定定理，可得由“,ll”可证得 “”，即充分性是成立的； 反之由“,l”不一定得到“l”，即必要性不成立， 所以“l”是“”的充分不必要条件，故选 B。 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记线面垂直的判定与性 质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。 4.如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆 内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率
6、为（ ） A. 7 9 B. 7 8 C. 2 7 D. 7 27 【答案】A 【解析】 分析】 设小圆的半径为r，根据图形可得，大圆的半径为3Rr，分别求得大圆和七个小圆的面积 的和，利用面积比的几何概型，即可求解。 【详解】由题意，设小圆的半径为r，根据图形可得，大圆的半径为3Rr， 则大圆的面积为 222 (3)9SRrr， 其内部七个小圆的面积和为 2 1 7Sr， 由面积比的几何概型可得概率为 2 2 1 77 99 Sr P Sr ，故选 A。 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量( )N A”，再求出总的
7、基本事件对应的“几何度量N”，然后 根据 ( )N A P N =求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力。 5.已知一组样本数据点 11223366 ,x yxyy xxy用最小二乘法求得其线性回归方 程为24yx 若 123 ,x xx 6 x的平均数为1，则 1236 yyyy（ ） A. 10 B. 12 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 设这组样本数据中心点为( , )x y，代入线性回归方程中求得y，再求 1236 yyyy的 值。 【详解】解：设样本数据点 11223366 ,x yxyy xxy的样本中心点为( , ) x y， 则 1x ，代入线性回归方程
8、24yx 中，得2 1 42y ， 则 1236 612yyyyy，故选：B 【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题 6.公比不为1的等比数列 n a中，若 15mn a aa a，则mn不可能 为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等比数列的性质，得到1 56mn ，且,m nN ，即可求解，得到答案。 【详解】由 15mn a aa a，根据等比数列的性质，可得 1 56mn ，且,m nN ， 所以 ,m n可能值为 1,5mn或2,4mn或3,3mn， 所以mn不可能的是 6，故选 B。 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的
9、应用，其中熟记等比数列的性质是解答本题的关 键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 7.已知二元一次不等式组 20, 20 220 xy xy xy 表示的平面区域为D， 命题p： 点( 0 , 1 )在区域D内； 命题q：点(1,1)在区域D内. 则下列命题中，真命题是（ ） A. p q B. ()pq C. ()pq D. ()()pq 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二元一次不等式组，判定出命题p为假命题，q为真命题，再根据复合命题的真值表，即 可得到判定，得到答案。 【详解】由二元一次不等式组 20 20 220 xy xy xy ，可得点(0,1)不适合不等式20xy，所
10、以点(0,1)不在不等式组表示的平面区域内，所以命题p为假命题，则 p 为真命题， 又由点(1,1)适合不等式组的每个不等式，所以点(1,1)在不等式组表示的平面区域内，所命题 q为真命题， 由复合命题的真值表可得，命题()pq为真命题，故选 C。 【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及复合命题的真假判定，着 重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 。 8.已知ABC中，4,3ABAC， 3 A ，BC的中点为M，则AM AB 等于（ ） A. 15 2 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】 在ABC中，M为BC的中点，可得 1 ()
11、2 AMABAC，再根据向量的数量积的运算公 式，即可求解。 【详解】由题意，在ABC中，M为BC的中点，可得 1 () 2 AMABAC， 所以 2 2 11111 ()44 3cos11 222223 AM ABABACABABAB AC ， 故选 B。 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量 的运算法则，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题。 9.已知圆 22 :10210C xyy与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线相切，则该双曲 线的离心率是（ ） A. 2 B. 5 3 C
12、. 5 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程 0bxay ，再由圆C，求得圆心为(0,5)C，半径 2r =，利用直线与圆相切，即可求得 5 2 c a ，得到答案。 【详解】 由双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 可得其一条渐近线的方程为 b yx a ， 即0b x a y ， 又由圆 22 :10210C xyy，可得圆心为(0,5)C，半径2r =， 则圆心到直线的距离为 22 55 () aa d c ba ，则 5 2 a c ，可得 5 2 c e a ， 故选 C。 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以
13、及直线与圆的位置关系的应用，着重考 查了推理与运算能力，属于基础题。 10.已知正实数, a b满足 2 1 ( )log 2 a a， 2 1 ( )log 3 b b，则（ ） A. 1ab B. 1ba C. 1ba D. 1ab 【答案】B 【解析】 【分析】 在同一坐标系内，分别作出函数 2 11 ( ) ,( )log 23 xx yyyx的图象，结合图象，即可求解。 【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数 2 11 ( ) ,( )log 23 xx yyyx的图象， 结合图象可得：1ba，故选 B。 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记
14、指数函数、 对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算 能力，属于中档试题。 11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适 合表示计算机中的数， 所以现在使用的计算机设计为二进制 二进制以2为基数， 只用0和1两 个数表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如 10 (521) 9876 1 20 20 20 2 543210 0 20 21 20 20 21 2 2 (1000001001)我国数学史上，清代汪莱的参两算经是较早系统论述非十进制数的文 献，总结出了八进制乘法口决：
15、88 (7 7)(61)， 88 (7 6)(52)， 88 (7 5)(43)，则 八进制下 8 (6 5)等于（ ） A. 8 (36) B. 8 (37) C. 8 (40) D. 8 (41) 【答案】A 【解析】 分析】 由二进制的转化为十进制的方法，只要一次累加个位数字上的数该数为的权重，即可得到转 化，求得答案。 【详解】 由题意知 10 8 (7 7)6 81 8 ， 10 8 (7 6)5 82 8 ， 10 8 (7 5)4 83 8 ， 根据十进制与八进制的转化可得 10 8 (6 5)3 86 8 ， 所以 88 (6 5)(36)，故选 A。 【点睛】本题主要考查了算
16、法的概念及其应用，其中解答中熟记十进制与八进制的转化方法 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 12.若函数( )(1) x f xxeax（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围 是（ ） A. 1 (,0) e B. (,0) C. 1 (,) e D. (0,) 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数 (1) x f xxeax有两个极值点， 得到 0fx有两个零点， 转化为函数y a 与 x g xxe的图象有 2 个交点， 利用导数求得函数 g x单调性与最值， 结合图象， 即可求解。 【详解】由题意，函数 (1) x f xxeax，则 (1) xxx
17、 fxexeaxea， 要使得函数 (1) x f xxeax有两个极值点，则 0fx有两个零点， 即方程 x axe有 2 个实数根，即y a 与 x g xxe的图象有 2 个交点， 又由 (1) x gxxe， 当1x 时， 0,gxg x 单调递减，当1x 时， 0,gxg x 单调递增， 所以 1 min 1 ( 1)g xge e ， 当x 时， 0g x ，当x 时， g x ， 所以当 1 0a e 是满足函数y a 与 x g xxe的图象有 2 个交点， 即函数有两个极值点，故选 A 。 【点睛】本题主要考查了利用导数求得函数的极值问题，其中熟记函数的导数与函数的单调 性与
18、极值之间的关系，以及结合函数点图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及 推理与运算能力，属于中档试题。 二二. .填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.已知 1 sin 5 ，则cos2等于_ 【答案】 23 25 【解析】 【分析】 由二倍角的余弦公式，得到 2 cos21 2sin ，代入即可求解。 【详解】由二倍角的余弦公式，可得 22 123 cos21 2sin1 2 ( ) 525 。 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，其中解答中熟记二倍角的余弦公式是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，
19、属于基础题。 14.已知定义在R上的偶函数 ( )f x满足(2)( )0fxf x ，(0)3f，则(10)f等于 _ 【答案】3 【解析】 【分析】 由 f x满足 (2)0fxf x，利用函数的奇偶性，求得函数 f x是以 2 为周期的周期 函数，进而可求解(10)f的值。 【详解】由题意，函数 f x满足 (2)0fxf x，即 (2)fxf x， 又由函数 f x是R上的偶函数，所以(2)fxfx，即 (2)f xf x， 所以函数 f x是以 2 为周期的周期函数，则(10)(2 5)(0)3fff。 【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定，以及函数的奇偶性的应用，着重考查了推理与
20、 运算能力，属于基础题。 15.已知圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为 . 【答案】 2 【解析】 【详解】因为圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形， 所以圆锥的母线长为 2， 底面直径长为 2， 则此圆锥的侧面积为 1 2 212 2 ，故答案为 2. 16.已知数列 n a的前n项和为 n S，33 nn aS，若对于任意, mn m nNSSM 恒成 立，则实数M的最小值为_ 【答案】 3 4 【解析】 【分析】 由33 nn aS，则 11 33 nn aS ，两式相减，得到 1 1 2 n n a a ，进而得到数列 n a表示首 项 3 2 ，
21、公比为 1 2 的等比数列，求得 1 1 () 2 n n S ，得到则 11 ()() 22 nm mn SS ， 求得 max 3 4 mn SS，即可求解。 【详解】由题意，数列满足33 nn aS，则 11 33 nn aS ， 两式相减，可得 11 333 nnnnn aaSSa ，即 1 1 2 n n a a ， 令1n ，得 111 3333aSa，解得 1 3 2 a ， 所以数列 n a表示首项 3 2 ，公比为 1 2 的等比数列， 所以 31 1 () 1 22 1 () 1 2 1 () 2 n n n S ， 则 11 ()() 22 nm mn SS ，且,m n
22、N ， 则当1,2nm时，此时 max 3 4 mn SS， 所以要使得对于任意, , mn SSM m nN 恒成立，则 3 4 M ， 所以M的最小值为 3 4 。 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及前 n 项和公式的应用，以及数列的恒成立问 题的求解，其中解答中熟记等比数列的定义和前 n 项和公式，合理计算是解答的关键，着重 考查了推理与运算能力，属于中档试题。 三三. .解答题：共解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答；第个试题考生
23、都必须作答；第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.已知锐角ABC的内角, ,A B C的所对边分别为, ,a b c，其中2 3c ， 2sin(2)3 3 C . （）若 2 2a ，求角A； （）求ABC面积的最大值 【答案】 （） 4 ； （）3 3. 【解析】 【分析】 （）由 3 sin 2 32 C ，求得 3 C ，再由正弦定理求得 2 sin 2 A ，即可求得角 A； （）由余弦定理和基本不等式，求得 22 12ababab，再由三角形的面积公式，即 可求解。 【详
24、解】 （）由题意，知 3 sin 2,0, 322 CC ， 即 2 2, 333 C ，故2 33 C ，即 3 C ， 又由正弦定理可得 2 22 3 sin sin 3 A ，解得 2 sin 2 A ， 又因为a c ，所以0 3 AC ，所以 4 A . （）在ABC中，由余弦定理，得 222 2coscababC ，得 22 12ababab ， 所以 1 sin3 3 2 ABC SabC ， 当且仅当ab时， 即三角形为等边三角形时， 上式等号成立， 所以ABC的面积的最大值为3 3. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三 角形的题目
25、时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。 18.如图，已知直三棱柱 111 ABCABC中，AB AC， 1 2ABACAA，E是BC的 中点，F是 1 AE上一点，且 1 2AFFE. （）证明：AF 平面 1 ABC； （）求三棱锥 11 CAFC的体积 【答案】 （）证明见解析； （） 4 9 . 【解析】 【分析】 （）连接,AE AF，由三棱柱 111 ABCA B C是直三棱柱，得 1 AA 面ABC,得到 1 AAAE， 1 AABC，又在直角三角形 1 A AE中，证得 1 AFAE，利用线面垂
26、直的判定 定理，即可得到AF 平面 1 ABC； （）过E作EDAC，连接AD,交AC于点D，过F作/FGED,交AD于点G，利 用线面垂直的判定定理，证得ED 面 1 AAC,得到FG 面 1 AAC，求得 11 2 ACC S ，利用体 积公式，即可求解。 【详解】 （）连接,AE AF，在ABC中，依题意ABC为等腰三角形且AEBC， 由面积相等 11 22 AB ACBC AE，解得 2AE ， 由于三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱，故 1 AA 面ABC, 那么 11 AAAEAABC，. 在直角三角形 1 A AE中，因为 22AAAE， ， 所以 22 2( 2)6AE ，
27、又由 1 2AFFE，所以 6 3 EF ， 又因 1 AEAE EFAE ，故AFE为直角，即 1 AFAE， 又由 11 ,AEBC AABC AAAEA，所以得BC 面 1 A AE，所以BC AF, 由 1 ,AFAE AFBC BCAEE, 故AF 面 1 ABC. （）过E作EDAC，连接AD,交AC于点D，过F作/FGED,交AD于点G， 因为 1 AA 面ABC，所以 1 AAED, 又因 1 ,EDAC ACAAA,所以ED 面 1 AAC,所以FG 面 1 AAC， 又由 2212 3323 FGEDAB，所以 11 1 2 22 2 ACC S ， 所以 1111 112
28、4 2 3339 CA FCACC VSFG 【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及三棱锥的体积的求解，意在考查学生的空 间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推 理是线面位置关系判定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。 19.某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖 学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图 （1） 是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图， 图 （2） 是这500 名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学
29、金的频率柱状图 （）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数； （） 若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生， 否则称为“非努力型”学生， 列22联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努 力型”学生有关？ 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 【答案】 （）160 人； （）有. 【解析】 【分析】 （）根据题设条件和给定的频率分布直方图，即可计算这500名学生获得专业三等奖学金 的人数； （）分别求得每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生的人数和其中获得一、 二等奖学金学生人数，以及每周课外学习
30、时间超过35小时称为“努力型”学生人数和其中获 得一、二等奖学金学生人数，列出22联表，利用公式求得 2 K 的值，即可得到结论。 【详解】 （）获得三等奖学金的频率为: 0.0080.0160.045 0.15 0.040.0560.0165 0.40.0160.0085 0.40.32500 0.32160 故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. （）每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有 5000.0080.0160.040.040.0560.0165440 人， 其中获得一、二等奖学金学生有 5000.0080.0160.045 0.055000.040.05
31、60.01650.250.0592 ; 每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有500 0.1260人， 其中获得一、二等奖学金学生有600.350.2536人， 列22联表如图所示: “非努力型”学生 “努力型”学生 总计 获得一二等奖学金学 生 92 36 128 未获得一二等奖学金 学生 348 24 372 总计 440 60 500 2 2 500348 3692 24 42.3610.83 440 60 128 372 K ， 故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用，其中
32、解答中任何 审题，熟记频率分布直方图的性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和 解答问题的能力，属于中档试题。 20.在平面直角坐标系xOy中，已知1,2 ,1,0QF，动点P满足PQ OFPF （1）求动点P的轨迹E的方程； （2） 过点F的直线与E交于,A B两点， 记直线,QA QB的斜率分别为 12 ,k k， 求证： 12 kk为 定值. 【答案】 （1） 2 4yx； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）由轨迹方程的求法得：设动点 P,P x y，求出相关的向量利用向量的数量积以及向量 的模化简求解，可得动点P的轨迹E的方程 （2）设出过点1,0F的直线，并于
33、2 4yx联 立，得韦达定理，将 12 ,k k用点, ,Q A Q B表示出来，将韦达定理代入即可求出 12 kk为定值。 【 详 解 】 1设,P x y， 则1, 2,1 , 0,1,P QxyO FP Fxy由 PQ OFPF知 2 2 11xxy 化简得： 2 4yx，即动点P的轨迹E方程为 2 4yx； 2设过点1,0F的直线为： 1122 1,xmyA x yB xy，由 2 1 4 xmy yx 得 2 1212 440,4 ,4ymyyym y y ， 12 121122 12 22 ,1,1 11 yy kkxmyxmy xx 12 12 12 22 22 yy kk my
34、my 1221 12 2222 22 ymyymy mymy 1212 2 1212 2228 24 my ymyy m y ym yy 将 1212 4 ,4yym y y 代入得 2 12 2 88 2 44 m kk m 故 12 kk为定值2 【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，用韦达定理来解决定值问题，大胆设，大胆算，属中 档题 21.已知函数 x f xea（,aR e为自然对数的底数） ， 21 1 2 g xx （1）若直线1yx是函数 f x图像一条切线，求a的值； （2）对于任意 3 , 2 xf xg x 恒成立，求a的取值范围. 【答案】 （1）1a ； （2） 1 2
35、a . 【解析】 【分析】 （1）设出切点，利用切线斜率就是在切点处的导数以及切点在曲线上列式，两个方程两个未 知数，解方程。 （2）参变分离，将 f xg x转化为 21 1 2 x axex，构造函数 213 1, 22 x xxexx ，利用导数求 x的最小值。 【详解】 1设切点为 ,1 ,1 x m mfxxe，则 11 1 m m me mmea 由 1 1 m e m 得 1 0 1 m e m 设 1 1 m g me m ，则 2 1 0 1 m gme m 0 1 00 0 1 ge ，故0,m 所以1a 2 f xg x得 213 1, 22 x axexx 设 213
36、1, 22 x xxexx 则 3 1111 , 2 xx xxexxex 所以 3 , 1 ,0, 2 xxx 单调递增， 1,0 ,0,xxx 单调递减 0,0,xxx单调递增 而 3 2 1311 0, 2228 e ，下面比较 0与 3 2 大小 因为 3 2 4 3 ee，即 3 2 3 4 e 故 33 22 31313 00 22824 ee 即 1 0 2 x ，所以 1 2 a 【点睛】此题是典型的恒成立问题转化为最值，先参变分离，这样避免分类讨论，然后利用 导数求最值，此题是一道难度偏大的题目。 （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分，请考生在第分，请考生在第 22
37、22、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分. . 选修选修 4444：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos , 2sin x y （0,2 ), 为参数） ，在同 一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 2 , xx yy 得到曲线 1 C，以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系（为极径，为极角） （）求曲线C的直角坐标方程和曲线 1 C的极坐标方程； （） 若射线:0OA 与曲线 1 C交于点A， 射线 :0 2 OB 与曲线 1 C 交于点B，求22 11
38、 OAOB 的值 【答案】 （） 22 4xy， 2222 416cossin； （） 5 16 . 【解析】 【分析】 （）消去参数，求得曲线C的直角方程为 22 4xy，再根据图象的变换公式，即可求解 曲线 1 C的方程，进而得到其极坐标方程； （）将0 代入 2222 416cossin，根据极坐标中极经的几何意义，即可 求解。 【详解】 （）由曲线C的参数方程为 2 2 xcos ysin (0,2,aa为参数)， 得 22 4xy，所以曲线C的直角方程为 22 4xy； 曲线C经过伸缩变换得到 1 C的参数方程为 4 2 xcos ysin ，得 22 416xy， 所以曲线C的极坐
39、标方程为 2222 416cossin. （）将0 代入 2222 416cossin 得 22 2 1cossin 164 ，即 22 2 1cossin 164 OA ， 同理 22 22 2 cossin 1sincos22 164164 OB ， 所以22 11115 16416 OAOB . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化， 以及图象的变换和极坐标的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 2 1 ( ) |1 (0) a f xxxa a ， ( )41g xx
40、 （）当1a 时，求不等式 3f x 的解集； （）若关于x的不等式( )( )f xg x的解集包含 1,2，求a的取值集合 【答案】 （）,03,)； （） 1. 【解析】 【分析】 （）由1a 时，得到函数 23,1 1,12 23,2 xx f xx xx ，分类讨论，即可求得不等式的解集； （）由已知关于x的不等式 f xg x解集包含1,2，等价于 2 1 141 a xxx a |在1,2x恒成立，进而得到 1 4ax a 在1,2x恒成 立，由此可求解实数a的取值范围。 【详解】 （）由题意，当1a 时，函数 23,1 1,12 23,2 xx f xx xx ， 当1x 时,
41、 233f xx ，解得0x; 当12x时， 13f x , 无解; 当2x时， 233f xx 解得3x ； 所以 3f x 的解集为,03,. （）由已知关于x的不等式 f xg x解集包含1,2， 等价于 2 1 141 a xxx a |在1,2x恒成立， 因为 2 1 0,2 a a a ，所以 1,2x不等式 2 1 13 a xxx a 恒成立 即 1 4ax a 在1,2x恒成立，即 1 2a a ， 又 1 0,2aa a ，所以1a ， 故a的取值集合是 1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题的求解， 着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。
