1、江苏省南通市通州区江苏省南通市通州区 20202020 届高三数学第一次调研抽测试题（含解析）届高三数学第一次调研抽测试题（含解析） 参考公式：锥体的体积公式参考公式：锥体的体积公式 1 3 VSh 锥体 ，其中，其中S为锥体的底面积，为锥体的底面积，h为高为高. . 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .请把答案填写在答题卡相应位置请把答案填写在答题卡相应位置. . 1.已知集合 1,1,2A ，1,2,4B ，则AB=_. 【答案】1,2 【解析】 【分析】 根据集合交集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为
2、 1,1,2A ，1,2,4B ， 所以1,2AB . 故答案为1,2 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2.设i为虚数单位，则复数 3 (1) i的实部为_. 【答案】-2 【解析】 【分析】 根据复数的乘法运算，化简 3 (1) i，即可得出结果. 【详解】因为 32 (1) (1)2 (1)221) iiiiii， 所以其实部为2. 故答案为2 【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型. 3.某校共有学生 2400 人，其中高三年级 600 人.为了解各年级学生兴趣爱好情况，用分层 抽样的方法从全校学生中抽取容量为 100
3、的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_. 【答案】25 【解析】 【分析】 先由题意确定抽样比，进而可得出结果. 【详解】由题意，从全校 2400 人中抽取 100 人，抽样比为 1001 240024 ， 又高三年级共有 600 人，所以高三年级应抽取的学生人数为 1 60025 24 . 故答案为 25 【点睛】本题主要考查分层抽样各层样本数的问题，熟记分层抽样的概念，会求抽样比即可， 属于常考题型. 4.若从甲乙丙丁 4 位同学中选出 3 位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为_ 【答案】 3 4 【解析】 分析：先确定 4 位同学中选出 3 位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据
4、古典概型 概率公式求结果. 详解：因为 4 位同学中选出 3 位同学共有 3 4 4C种，甲被选中事件数有 2 3 3C ,所以甲被选 中的概率为 3 4 . 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无 序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目 具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 5.在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为-2，则输入的x的值为_. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】
5、 先由程序框图， 得到该算法流程图表示求分段函数 2 2 2,1 log,1 xx y x x 的函数值， 由输出的y值 为2，分类讨论，即可求出结果. 【详解】由题意可得，程序框图表示求分段函数 2 2 2,1 log,1 xx y x x 的函数值； 因为输出的y的值为2， 当1x 时，有 2 log2x ，所以 1 4 x ，满足题意； 当1x 时，有 2 22x ，所以0x ，不满足题意； 所以输入的x的值为 1 4 . 故答案为 1 4 【点睛】本题主要考查条件结构的流程图，会分析流程图的作用即可，属于常考题型. 6.已知双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 的焦距为 4.则a
6、的值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据双曲线方程，得到焦距为 222 2221caba ，求解，即可得出结果. 【详解】因为双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 的焦距为 4， 所以 222 22214 caba ，解得3a . 故答案为3 【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常 考题型. 7.不等式 2 3 1 2 2 xx 的解集为_. 【答案】(1，2) 【解析】 【分析】 利用指数函数单调性求解即可 【详解】由题 2 3 1 2 2 xx 则 2 31 1 22 2 xx ，故 2 3112xxx 故填(1，2) 【点睛】本题考
7、查指数函数的单调性及指数运算，是基础题 8.设 A， B 分别为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的右顶点和上顶点， 已知椭圆 C 过点 P(2， 1)， 当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_. 【答案】 2 2 【解析】 【分析】 先由题意得到 ( ,0)A a ，(0, )Bb，再由椭圆过点 (2,1)P ，得到 22 41 1 ab ，由基本不等式，确 定 22 ABab取最小值时的条件，进而可得出结果. 【详解】因为 A，B 分别为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的右顶点和上顶点， 所以 ( ,0)A a ，(0, )Bb， 又椭圆 C 过点
8、(2,1)P ， 所以 22 41 1 ab ， 所以 22 2222 2222 414 ()4193 ab ABabab abba ， 当且仅当 22 22 4ab ba ，即 22 2ab 时，取等号， 此时 22 2ac，所以离心率为 12 22 c e a . 故答案为 2 2 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质，以及基本不等式的应用即可， 属于常考题型. 9.已知等比数列 n a的前n项和为 n S.若 2 1a ， 36 80aa，则 5 S的值为_. 【答案】 11 2 【解析】 【分析】 先设等比数列的公比为q，由题中条件，列出方程组，求出首项与公比，再由求和
9、公式，即可 得出结果. 【详解】设等比数列 n a的公比为q， 由题意可得 21 25 3611 1 880 aa q aaa qa q ，即 1 3 1 80 a q q ， 解得 1 1 2 2 a q ，因此 5 1 5 1 (1 32) (1)11 2 11 22 aq S q . 故答案为 11 2 【点睛】本题主要考查等比数列前n项和基本量的运算，熟记通项公式与求和公式即可，属于 常考题型. 10.将函数( )sin 4 f xx 的图象向右平移个单位，得到函数yg x （ ）的图象.则 “ 3 4 ”是“函数( )g x为偶函数”的_条件， （从“充分不必要”、“必要不充 分”、
10、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】 先由题意得到sin 4 （ ）= g xx，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【 详 解 】 由 题 意 ， 将 函 数( )sin 4 f xx 的 图 象 向 右 平 移个 单 位 ， 可 得 sin 4 （ ）= g xx的图像， 当 3 4 时，可得 3 sinsincos 442 （ ）= g xxxx，显然( )g x为偶函数， 所以“ 3 4 ”是“函数( )g x为偶函数”的充分条件； 若函数( )g x为偶函数，则, 42 kkZ， 即, 4 kkZ，不能推出 3 4 ， 所以“
11、3 4 ”不是“函数( )g x为偶函数”的必要条件， 因此“ 3 4 ”是“函数( )g x为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可， 属于常考题型. 11.已知函数( )() x f xaxb e，若曲线yf x （ ）在点(0,(0)f处的切线方程为 310xy ，则(1)f的值为_. 【答案】3e 【解析】 【分析】 先对函数求导，得到 (0)fab，再由曲线yf x （ ）在点(0,(0)f 处的切线方程为 310xy ，列出方程组，求出函数解析式，从而可得出结果. 【详解】因为( )() x
12、 f xaxb e，所以() xxx axbf xaeaexb ea， 则 (0)fab， 又曲线yf x （ ）在点(0,(0)f处的切线方程为310xy ， 当0x 时，1y ，即(0)1f， 所以有 3 1 ab b ，解得2,1ab. 因此( )(21) x f xxe，所以(1)3fe. 故答案为3e 【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常 考题型. 12.设x0，y0，x2y4，则 (4)(2)xy xy 的最小值为_. 【答案】9 【解析】 【分析】 将分式展开，利用基本不等式求解即可 【详解】 (4)(2)8241616 1 xyxyx
13、yxy xyxyxyxy 又x2y42 2,xy即2xy ，当且仅当2,1xy等号成立，故原式9 故填 9 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件 13. 函数 2 ( )3f xxxk有两个零点，则k的取值范围是_. 【答案】 9 0, 4 【解析】 【分析】 先令 2 ( )3g xxx，作出其图像，根据函数 2 ( )3f xxxk有两个零点，得到 2 ( )3g xxx的图像与直线yk有两个交点，结合图像，即可得出结果. 【详解】令 2 2 2 3 ,0 ( )3 3 ,0 xx x g xxx xx x ， 因为函数 2 ( )3f xxxk有
14、两个零点， 所以 2 ( )3g xxx的图像与直线yk有两个交点， 作出函数 2 ( )3g xxx的图像如下： 因为 min 39 ( ) 24 g xg， 由图像可得： min 9 ( ) 4 kg x或0k . 故答案为 9 0, 4 【点睛】本题主要考查由函数零点的个数求参数的问题，通常需要将函数零点个数转化为两 函数图像交点个数来处理，结合函数图像即可求解，属于常考题型. 14.在长方体 1111 ABCDABC D中，已知底面ABCD为正方形，P为 11 AD的中点， 1AD， 1 3AA ， 点Q为正方形ABCD所在平面内的一个动点， 且满足2QCQP， 则线段BQ 的长度的最
15、大值为 _. 【答案】6 【解析】 【分析】 先以D点为坐标原点，分别以DA，DC， 1 DD所在方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立 空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C，1,0,3P，(2,2,0)B，设 ( , 0)Q x y ，由 2QCQP，得到 22 (2)(2)4xy，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结 果. 【详解】以D点为坐标原点，分别以DA，DC， 1 DD所在方向为x轴，y轴，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为在长方体 1111 ABCDABC D中， 已知底面ABCD为正 方形，P为 11 AD的中点， 2AD ， 1 3AA ， 所以(0,2
16、,0)C，1,0,3P，(2,2,0)B， 因为点Q为正方形ABCD所在平面内的一个动点， 设 ( , ,0)Q x y ， 因为2QCQP， 所以 2 222 (2)213xyxy ， 整理得： 22 (2)(2)4xy 即点Q可看作圆 22 (2)(2)4xy上的点， 又 22 (2)(2)BQxy， 所以BQ表示圆 22 (2)(2)4xy上的点与定点(2,2)之间的距离， 因此 22 max (22)( 22)426 BQr（其中r表示圆 22 (2)(2)4xy的 半径.） 故答案为 6 【点睛】本题主要考查立体几何中最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与 化归的思想即可，
17、属于常考题型. 二、 解答题： 本大题共二、 解答题： 本大题共 6 6 小题， 共小题， 共 9090 分分. .请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答. .解答时应写出文字说明、解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 15.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， OPOC，E为PC的中点，PAPD. （1）求证：/ /PA平面BDE； （2）求证：PA 平面PCD 【答案】 （1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）连结OE，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据线面垂直的判定定理，
18、即可直接证明结论成立. 【详解】 （1）连结OE. 因为四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， 所以O为AC的中点. 因为E为PC中点， 所以/OEPA. 因为OE 平面BDE，PA平面BDE， 所以/ /PA平面BDE. （2）因为OPOC，E为PC的中点，所以OEPC. 由（1）知，/OEPA，所以PAPC. 因为PAPD，PC， PD 平面PCD，PCPDP， 所以PA 平面PCD. 【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型. 16.在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.已知向量sin, 1 6 aA ，向量 1,co
19、sbA，且 1 2 a b. （1）求角A的大小； （2）若4b ，5c ，求sin2B的值. 【答案】 （1） 3 A （2） 4 3 7 【解析】 【分析】 （1）利用数量积的坐标运算，结合两角和差正弦公式和辅助角公式可求得 1 sin 62 A ， 根据角的范围可确定 3 A ； （2）利用余弦定理求得a，根据正弦定理求得sinB；由三角形 大边对大角知道B为锐角，从而求得cosB；利用二倍角公式求得结果. 【详解】（1） 31 sincossincoscossincossincos 66622 a bAAAAAAA 1 sin 62 A 0,A 5 , 666 A 66 A ，解得：
20、3 A （2）由余弦定理得： 222 2cos162540cos21 3 abcbcA 21a 由正弦定理 sinsin ab AB 得： 3 4 sin2 7 2 sin 721 bA B a bcQ BC B为锐角 2 21 cos1 sin 7 BB 2 7214 3 sin22sincos2 777 BBB 【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到正弦定理和余弦定理解三角形、两角和差和 辅助角公式化简三角函数、平面向量数量积公式的应用、二倍角公式的应用等知识，属于常 考题型. 17.设数列 n a的各项均为正数， n a的前n项和 21 2 8 nn Sa， * nN （1）求数列
21、n a的通项公式； （2）设等比数列 n b的首项为 2，公比为q（0q ） ，前n项和为 n T.若存在正整数m，使得 33m SST，求q的值. 【答案】 （1）42 n an（2） 115 2 或 26 4 . 【解析】 【分析】 （1）先由 21 2 8 nn Sa求出 1 2a ，再由2n时， 1nnn aSS ，求出通项，进而可求 出结果； （2）先由（1）得到 2 2 n Sn，根据 33m SST，得到 2 2 9 1 2 qq m ，结合题意求出1m 或2m，分情况讨论，即可求出结果. 【详解】 （1）当1n 时， 2 111 1 2 8 aSa，则 1 2a . 当2n时，
22、 22 11 11 22 88 nnnnn aSSaa ， 即 22 11 440 nnnn aaaa ， 所以 11 40 nnnn aaaa . 因为数列 n a的各项均为正数，所以 1 0 nn aa ， 所以 1 4 nn aa ， 所以数列 n a是公差为 4 的等差数列， 所以24(1)42 n ann. （2）由（1）知， 2 2 n Sn. 由 33m SST，得 22 182222mqq， 所以 2 2 9 1 2 qq m . 因为0q ，所以 2 9 1 2m ，即 3 2 2 m ， 由于 * mN，所以1m或2m . 当1m时， 2 7 0 2 qq，解得 115 2
23、 q （舍负） ， 当2m时， 2 1 0 8 qq，解得 26 4 q （舍负） ， 所以q的值为 115 2 或 26 4 . 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与 求和公式即可，属于常考题型. 18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A，B两地，A地位于东西方向的直线MN上的陆 地处，B地位于海上一个灯塔处，在A地用测角器测得 4 BAN ，在A地正西方向 4km的 点C处，用测角器测得3tan BCN.拟定铺设方案如下：在岸MN上选一点P，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km和
24、 4 万元/km，设BPN，, 4 2 ，铺设电缆的总费用为( )f万元. （1）求函数( )f的解析式； （2）试问点P选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由. 【答案】 （1） 2cos ( )12 12 sin f ，其中, 4 2 （2）当点P选在距离A地 (62 3)km处时，铺设的总费用最少，详见解析. 【解析】 【分析】 （1） 过B作MN的垂线， 垂足为D， 根据题中条件， 得到BDAD，3BDDC， 由BPN， 得到 6 sin BP ， 6 tan DP ， 6 6 tan AP ，进而得到 66 ( )264 tansin f ，化简即可得出结果； （2）根据（1）的结
25、果，先设 2cos ( ) sin h ，, 4 2 ，对( )h求导，用导数的方法 研究其单调性，即可求出最值. 【详解】 （1）过B作MN的垂线，垂足为D. 在Rt BAD中， 4 BAD ，则BDAD. 在Rt BCD中，tan3 BD BCD DC ， 所以3BDDC. 因为4AC ，所以 1 4 3 BDBD， 所以6BD . 由BPN，则 6 sin BP ， 6 tan DP 由6ADBD，得 6 6 tan AP . 所以 66 ( )264 tansin f ， 即 2cos ( )12 12 sin f ，其中, 4 2 . （2）设 2cos ( ) sin h ，, 4
26、 2 ， 则 2 22 sin(2cos )cos1 2cos ( ) sinsin h . 令( )0h ，得 1 cos 2 ，所以 3 . 列表如下： , 4 3 3 , 3 2 ( ) h 0 h() 极小值 所以当 3 时， 2cos ( ) sin h 取得最小值 3， 所以( )f取得最小值12 12 3，此时62 3AP . 答：当点P选在距离A地(62 3)km处时，铺设的总费用最少，且为12 12 3万元. 【点睛】本题主要考查函数的模型的应用，以及导数的方法求最值的问题，熟记导数的方法 研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型. 19.在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆
27、C： 22 22 1(0) 43 xy t tt 的左、右顶点为A，B，右焦 点为F.过点A且斜率为k（0k ）的直线交椭圆C于另一点P. （1）求椭圆C的离心率； （2）若 1 2 k ，求 2 2 PA PB 的值； （3）设直线l:2xt，延长AP交直线l于点Q，线段BO的中点为E，求证：点B关于直线 EF的对称点在直线PF上。 【答案】 （1） 1 2 （2） 2 2 45 13 PA PB （3）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的方程，结合椭圆离心率的求法，即可求出结果； （2）先由题意，得到直线AP的方程为 1 (2 ) 2 yxt代入椭圆方程，求出点P的坐标，表示 出
28、 2 PA 与 2 PB，进而可得出结果； （3）由直线AP的方程与直线l的方程联立，求出(2 ,4 )Qtkt，表示出直线EF的斜率，再由 222 (2 ) 3412 yk xt xyt ， ， 结合韦达定理，以及题中条件，表示出直线PF的斜率，再由题意，即可 证明结论成立. 【详解】 （1）因为椭圆C： 22 22 1 43 xy tt ， 所以 22 4at ， 22 3bt ， 22 ct . 又0t ，所以2at，ct， 所以椭圆C的离心率 1 2 c e a . （2）因为直线AP的斜率为 1 2 ，且过椭圆C的左顶点( 2 ,0)At， 所以直线AP的方程为 1 (2 ) 2 y
29、xt. 代入椭圆C的方程 222 3412xyt， 得 222 3(2 )12xxtt，即 22 20xtxt ， 解得xt或2xt（舍去） ， 将xt代入 1 (2 ) 2 yxt，得 3 2 yt， 所以点P的坐标为 3 , 2 tt . 又椭圆C的右顶点B（2t,0） ， 所以 2 222 345 (2 )0 24 PAtttt ， 2 222 313 (2 )0 24 PBtttt ， 所以 2 2 45 13 PA PB . （3）直线AP的方程为(2 )yk xt， 将2xt代入(2 )yk xt，得4ykt，所以(2 ,4 )Qtkt. 因为E为线段BQ的中点，所以(2 ,2 )
30、Etkt， 因为焦点F的坐标为（t,0） ， 所以直线EF的斜率2 EF kk. 联立 222 (2 ) 3412 yk xt xyt ， ， 消y得， 22222 34164 430kxk txkt. 由于 22 2 4 43 34 AP kt x x k ，2 A xt ， 所以 2 2 2 34 34 P kt x k ， 所以点P的坐标为 2 22 2 34 12 , 3434 kt kt kk ， 所以直线PF的斜率 2 22 2 2 12 42 2 34 141 (2 )2 34 34 pF kt kk k k kkkt t k . 而直线EF的斜率为 2k， 若设EFB，则有ta
31、ntan2PFB，即2PFBEFB ， 所以点B关于直线EF的对称点在直线PF上. 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，以及椭圆的应用，熟记椭圆的方程，以及椭圆的简单 性质即可，通常处理此类题型时，需联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考 题型. 20.已知函数 2 1f xxaxa， ln,g xxbx a bR. （1）当2b时，求函数 g x的单调区间； （2）设函数 ,1 ,1 f xx h x g xx ，若0ab，且 0h x 在R上恒成立，求b的取值范 围； （3） 设函数 u xf xg xa， 若2ab ， 且 u x在 0,上存在零点， 求b的 取值范围. 【答案】
32、 （1）函数 g x的单调减区间为0,2，单调增区间为2,； （2）32 2,e ； （3）1, 【解析】 【分析】 （1）求导后，根据导函数的符号即可确定单调区间； （2）分别在1x 和1x 两种情况下， 判断恒成立的条件；当1x 时，利用二次函数的性质，结合 min0h x可构造不等式求得b 的范围；当1x 时，利用分离变量法得到 ln x b x 恒成立，进而通过求解右侧函数最小值得 到b的范围；两个范围取交集即为最终结果； （3）将函数在0,上存在零点转化为 ln 2 x xbb x 在0,上有解的问题；通过讨论lnxx的正负可分离变量变为 2 2 ln xx b xx ，利用导数求解
33、不等式右侧函数的最大值得到结果. 【详解】 （1）当2b时， 2lng xxx 22 1 x gx xx 令 0gx 得：2x 函数 g x的定义域为0, 当0,2x时， 0gx；当2,x时， 0gx， 函数 g x的单调减区间为0,2，单调增区间为2, （2）由0ab得： 2 1,1 ln ,1 xbxb x h x xbx x . 当1x 时， 2 10h xxbxb恒成立 当 1 1 2 b ，即3b时， min 120h xh恒成立； 当 1 1 2 b ，即3b时， 2 min 161 0 24 bbb h xh 解得：3 2 23b 综上所述： 32 2b 当1x 时，由 ln0h
34、 xxbx恒成立得： ln x b x 恒成立 设 1 ln x m xx x ，则 2 ln1 ln x m x x . 令 0m x 得：x e 当1,xe时， 0m x ；当,xe时， 0m x min m xm ee be 综上所述：b的取值范围为：32 2,e （3） 2 lnu xxaxbx u xQ在0,上存在零点 2 ln0xaxbx 在0,上有解 即 ln x axb x 在0,上有解 又2ab ，即2ab ln 2 x xbb x 在0,上有解 设 lnt xxx，则 11 1 x tx xx 令 0tx 得：1x 当0,1x时， 0tx ；当1,x时， 0tx 110t
35、xt ，即lnxx 2 2 ln xx b xx . 设 2 2 ln xx F x xx ，则 2 12ln2 ln xxx Fx xx 同理可证：ln 2 x x 2ln20xx 则 F x在0,1上单调递减，在 1,上单调递增 min 11F xF ，故1b b的取值范围为：1, 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、恒成立 问题的求解、函数在区间内有零点问题的求解等知识；解决函数在区间内有零点的关键是能 够将问题转化为方程或不等式有解的问题，通过分离变量法将问题进一步转化为所求参数与 函数最值之间大小关系的比较. 数学数学（附加题）（附加题） 21.
36、已知矩阵 23 1 M t 的一个特征值为 4.求矩阵M的逆矩阵 1 M . 【答案】 1 13 44 11 22 M 【解析】 【分析】 由题意，先设矩阵M的特征多项式为 23 ( ) 1 f t ，由题意求出2t ，进而可求出结 果. 【详解】矩阵M的特征多项式为 23 ( )(2)(1)3 1 ft t . 因为矩阵M的一个特征值为 4，所以方程( )0f有一根为 4， 即(4)630ft，所以2t . 所以 23 21 M ， 所以 1 13 44 11 22 M . 【点睛】本题主要考查求矩阵的逆矩阵问题，熟记矩阵的特征多项式，会由特征值求出矩阵 中的参数即可，属于常考题型. 22.
37、在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2cos，直线l的极坐标方程是 cos2 4 .试判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由. 【答案】直线l与曲线C相离，详见解析 【解析】 【分析】 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出曲线C的直角坐标方程为 22 (1)1xy，得 到直线l的直角坐标方程为2 20xy，再由几何法，即可得出结果. 【详解】由2cos，得 2 2 cos， 所以 22 2xyx，即曲线C的直角坐标方程为 22 (1)1xy为圆. 由cos2 4 ，得直线l的直角坐标方程为2 20xy. 所以圆心（1,0）到直线l的距离为 | 2 2 |2 21 22 ， 所以直线l与曲线
38、C相离. 【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的判断，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及 几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型. 23.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 4ACBC， 4 2AB ，M，N分别是AB， 1 CC 的中点，且 11 AMBC. （1）求 1 AA的长度； （2）求平面 1 AB N与平面 1 BCM所成锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）2 2（2） 3 10 10 【解析】 【分析】 （1）先由题意得到90ACB ，建立空间直角坐标系，设 1 A Aa，根据 11 AMBC，用 向量的方法，即可求出结果； （2）由（1）的结果，用向量的方法求
39、出平面 1 AB N的一个法向量，以及平面 1 BCM的一个 法向量，由向量夹角公式，求出两法向量的夹角余弦值，即可得出结果. 【详解】 （1）在ABC中，4ACBC， 4 2AB ， 则 222 ABACBC ，所以90ACB . 建立如图所示的空间直角坐标系. 设 1 A Aa，则(4,0,0)A，(0,4,0)B，(0,0,0)C， 1(4,0, ) Aa， 1(0,4, ) Ba，(2,2,0)M， 所以 1 ( 2,2,)AMa ， 1 (0, 4,)BCa. 因为 11 AMBC， 所以( 2) 02 ( 4)() ()0aa ， 解得 2 2a ，即 1 AA的长为2 2. （2
40、）由（1）知， 1(0,0,2 2) C， 由N是 1 CC的中点，得 (0,0, 2)N. 所以 1 ( 4,4,2 2)B A ， 1 (0, 4,2)B N . 设平面 1 AB N的法向量 1111 ,nx y z， 由 11 nB A u ruuu r ， 11 nB N u ruuur ， 得 111 11 442 20 420 xyz yz ， ， 取 1 (1, 1,2 2)n. 又 1 (0, 4, 2 2)BC，(2,2,0)CM， 设平面 1 BCM的法向量 2222 ,nxyz， 由 21 nBC u u ruuu r ， 2 nCM u u ruuur ， 得 22
41、22 42 20 220 yz xy ， ， 取 2 (1, 1, 2)n. 设平面 1 AB N与平面 1 BCM所成锐二面角的大小为， 则 12 12 12 3 10 coscos, 10 n n nn n n . 所以平面 1 AB N与平面 1 BCM所成锐二面角的余弦值为 3 10 10 . 【点睛】本题主要考查立体几何中的棱长问题，以及二面角的求法，熟记空间向量的方法求 解即可，属于常考题型. 24.已知数列 n a的通项公式为 1717 33 nn n a ， * nN，记 12 12 n nnnnn SC aC aC a （1）求 1 S， 2 S的值； （2）求证：对任意的正整数n， n 2n n 1 SS S 为定值. 【答案】 （1） 1 2 7 3 S ； 2 16 7 9 S .（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题中条件，直接计算，即可得出结果； （2）先记 17 3 ， 17 3 ，由题意可得 1000 nnnn iiiiiiiiii nnnnn iiii SCCCC 4747 (1)(1) 33 nn nn ， 进而得到 21 8 3 nnn SSS ， 即可得出结果. 【详解】 （1）因为 12 12 n nnnnn SC aC aC a， 1717
