1、湖北省黄冈市湖北省黄冈市 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月质量检测试题月质量检测试题 理（含解析）理（含解析） 一：选择题。一：选择题。 1.已知集合 2 230Ax xx ， lg11Bxx，则 RA B （ ） A. 13xx B. 19xx C. 13xx D. 19xx 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合A、B，再利用补集和交集的定义得出集合 RA B. 【详解】解不等式 2 230xx ，得1x 或3x ； 解不等式lg11x，得01 10x ，解得19x . 13Ax xx 或，19Bxx ，则13 RA xx ， 因此，13 RA Bxx ，故选：C. 【
2、点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式 的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2.若ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2 2 ab B. ln0ab C. 11 33 ab D. ab 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于 A 选项，由于指数函数2xy 为增函数，且ab， 22 ab ，A 选项中的不等 式不成立； 对于 B 选项，由于对数函数lnyx在0,上单调递增，ab，当01ab 时， lnln10ab，B 选项中的不等式不恒成立； 对于 C 选项，由
3、于幂函数 1 3 yx 在 , 上单调递增，且ab ， 11 33 ab ，C 选项中的不 等式恒成立； 对于 D 选项，取1a ，2b ，则ab，但ab，D 选项中的不等式不恒成立. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特 殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题. 3.设 n S为正项等比数列 n a的前n项和，若 123 30SSS，且 1 1a ，则 4 a （ ） A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】 设等比数列 n a的公比为q，利用题中条件求出q，再由 3 41 aa q可计算出 4 a的
4、值. 【详解】设等比数列 n a的公比为q，则 2 123111 33110SSSaaqaq q ， 整理得 2 230qq，0q ，解得3q ，因此， 33 41 1 327aa q ，故选：D. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，一般利用首项和公比建立方程（组）求解基本 量，考查运算求解能力，属于基础题. 4.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角AQB的一边QA上的两点， 试在边QB上找一点，使得MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M、N两点且和射 线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点 1,2M 、1,4N，点P在x轴上移
5、动，当MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ） A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 2或7 【答案】A 【解析】 【分析】 根据米勒问题的结论，P点应该为过点M、N的圆与x轴的切点， 可设点P的坐标为, a b， 写出圆的方程，并将点M、N的坐标代入可求出点P的横坐标. 【详解】设圆心C的坐标为, a b，则圆的方程为 22 2 xaybb， 将点M、N的坐标代入圆的方程得 22 2 22 2 12 14 abb abb ， 解得 1 2 a b 或 7 10 a b （舍） ，因此，点P横坐标为1，故选：A. 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识，考
6、 查运算求解能力，属于中等题. 5.如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 画出几何体直观图，判断两点间距离最大值的位置，求解即可. 【详解】由题意可知，几何体的直观图如下图所示，该几何体是长方体的一部分，该几何体 中任一两个顶点间距离的最大值应该是AF、BD、BE中的一个， 且 222 4442 3AFADDEEF ， 2222 3213BDABAD ， 222 49417BEADABDE ， 故选：A. 【点睛】本题考查三视图的直观图的应用，解题时要根据三视图还原几何体，作出几
7、何体的 直观图，并计算出棱长，考查空间想象能力，属于中等题. 6.函数 2 3sin 1 xx f x x 在, 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 yf x的奇偶性，以及该函数在0x 附近的函数值符号进行排除，从而可判断 出函数 yf x的图象. 【详解】 222 3sin3sin3sin 11 1 xxxxxx fxf x xx x Q ，该函数为奇 函数，排除 A、B 选项； 构造函数 3sing xxx，则 3cos1gxx ，则函数 ygx 在0,上单调递减， 由于 1 0 32 g ，10 2 g ，由零点存在定理可知，存在, 3
8、2 t ，使得 0g t ，且当0xt时， 0g t ，此时，函数 yg x在区间0,t上单调递增， 当0xt时， 00g xg，此时， 0f x ， 因此，符合条件的图象为 C 选项中的图象，故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从以下几个要素进行考查： （1）定义域； （2）奇偶 性； （3）单调性； （4）零点； （5）函数值符号.通过排除法得出符合条件的函数图象，考查推 理能力，属于中等题. 7.已知抛物线 2 4xy的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一 个交点，且4PQFQ，则FQ uuu r （ ） A. 3或4 B. 8 5 或 8 3 C.
9、4或 8 3 D. 8 3 【答案】D 【解析】 【分析】 设点P的坐标为, 1t ，点Q的坐标为, x y，利用向量的坐标运算计算出点Q的纵坐标， 然后利用抛物线的定义求出FQ uuu r 的值. 【详解】抛物线 2 4xy的焦点为F的坐标为0,1，准线方程为1y ， 设点P的坐标为, 1t ，点Q的坐标为, x y，则,1PQxt y uuu r ，,1FQx y uuu r ， 4PQFQ uuu vuuu v Q， 141yy ，解得 5 3 y ，因此， 8 1 3 FQy uuu r ，故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，同时也考查了利用共线向量计算点的坐标，考查运算求 解
10、能力，属于中等题. 8.将函数 sin 2 6 f xx 的图象向右平移 12 个单位，得到函数 g x的图象，则下列说 法不正确的是( ) A. 5 1 12 g B. g x在区间 53 124 ，上单调递减 C. 12 x 是 g x图象的一条对称轴 D. ,0 8 是 g x图象的一个对称中 心 【答案】D 【解析】 【分析】 利用图象平移得出函数 yg x的解析式，然后利用正弦型函数的性质判断各选项中有关函 数 yg x的性质及函数值的正误. 【详解】由题意可得 sin 2sin 2 121263 g xfxxx ， 则 55 sin1 1263 g ，A 选项正确； 当 53 12
11、4 x 时， 7 2 236 x ，则函数 yg x在区间 53 124 ，上单调递减，B 选项正确； sin1 1263 g ，则 12 x 是 yg x图象的一条对称轴，C 选项正确； sin0 843 g ，,0 8 不是 yg x图象的一个对称中心，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象平移与三角函数的基本性质，解题的关键就是要确定函数解 析式，并利用正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题. 9.已知函数 32 f xxaxbxc， f x图象在点 22f , ,处的切线过点3,4，函数 1g xf x为奇函数，则b （ ） A. 2 B. 3 C. 4
12、 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数 yg x的表达式，利用奇函数的定义得出a、b、c的等量关系，利用导数求出 函数 yf x的图象在点 22f , ,处的切线方程， 并将点3,4代入切线方程可求出实数b 的值. 【详解】 32 1111g xf xxa xb xcQ 32 3231xaxabxabc ， 由于函数 yg x是奇函数，则 gxg x ， 即 32 3231xaxabxabc 32 3231xaxabxabc ， 所以， 2 23210axabc 对任意的xR恒成立， 30 10 a abc ，得 3 2 a cb ， 32 32f xxxbxb， 2 36fxx
13、xb，则 22fb， 2fb， 所以，函数 yf x的图象在点 22f , ,处的切线方程为22ybb x， 由于该直线过点3,4，则有42bb，解得3b ，故选：B. 【点睛】本题考查利用奇偶性求参数，同时也考查了函数的切线过点的问题，一般利用导数 求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程即可，考查运算求解能力，属于中等题. 10.在ABC中， 点P满足 3BPPC uuvuuu v ， 过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、 N，若AM AB ，0,0ANAC uuu ruuu r ，则的最小值为（ ） A. 2 1 2 B. 3 1 2 C. 3 2 D. 5 2 【答案】B 【
14、解析】 分析】 由 题 意 得 出 13 44 APABAC uu u ruu u ruuu r ， 再 由 AMAB ，ANAC， 可 得 出 13 44 APAMAN uuu ruuuruuu r ，由三点共线得出 13 1 44 ，将代数式与 13 44 相乘， 展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： 3BPPC uuruuu r Q ，即 3APABACAP uu u ruu u ruuu ruu u r ， 13 44 APABAC uu u ruu u ruuu r ， AMAB uuuruuu r Q ，0,0ANAC uuu ruuu r ， 1 ABAM
15、uu u ruuur ， 1 ACAN uuu ruuu r ， 13 44 APAMAN uuu ruuuruuu r ，M、P、N三点共线，则 13 1 44 . 13333 1211 4444442 ， 当且仅当3时，等号成立，因此，的最小值为 3 1 2 ，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解 题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 11.椭圆 22 22 :10 xy Mab ab 与双曲线 22 22 :10,0 xy Qmn mn 焦点相同， 1 F、 2 F分别为左焦点和右焦点，椭圆M与双曲线Q
16、在第一象限交点为A，且 12 3 F AF ，则 当这两条曲线的离心率之积为 3 2 时，双曲线Q的渐近线斜率是（ ） A. 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 设 1 AFs， 2 AFt，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得出s、t，再由余弦定理，可得 出a、m、c的关系，结合离心率公式以及已知条件得出双曲线的离心率，从而得出双曲线Q 的渐近线斜率. 【详解】设 1 AFs， 2 AFt，A为椭圆和双曲线在第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义得 2 2 sta stm ，解得 sam tan ， 在 12 F AF中， 12 3 F AF ，由余弦定理得
17、 222 42cos 3 cstst ， 即 22 2 4camamamam，整理得 222 34amc， 设椭圆和双曲线的离心率分别为 1 e、 2 e，则 22 22 3 4 am cc ，即 2 22 1 31 4 ee ， 由题意可得 22 12 1 2 12 13 4 3 2 01,1 ee ee ee ，解得 2 6 2 e ，所以， 2 2 2 62 11 22 n e m ， 因此，双曲线Q的渐近线的斜率为 2 2 ，故选：B. 【点睛】本题考查共焦点的椭圆和双曲线的离心率，同时也考查了双曲线渐近线斜率的计算， 解题的关键在于充分利用椭圆和双曲线的定义并结合余弦定理求解，考查运
18、算求解能力，属 于中等题. 12.函数 3 3lnf xmxx在 1 ,e e 上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为( ) A. 3 1 1,3 e B. 3 1,3e C. 3 1 1,3 e D. 1, 【答案】C 【解析】 【分析】 由 0f x ， 得出 3 3lnmxx ， 构造函数 3 3lng xxx， 问题转化为当直线y m 与 函数 3 3lng xxx的图象在 1 ,e e 上有两个交点时，求实数m的取值范围，然后利用导 数分析函数 3 3lng xxx在区间 1 ,e e 上的单调性与极值，利用数形结合思想可得出实 数m的取值范围. 【详解】由 0f x ，得出 3
19、3lnmxx，构造函数 3 3lng xxx，问题转化为当直 线y m 与函数 3 3lng xxx的图象在 1 ,e e 上有两个交点时，求实数m的取值范围. 3 2 31 3 3 x gxx xx ，令 0gx ，得1x ， 当 1 1x e 时， 0gx；当1xe时， 0gx. 所以， 函数 yg x在区间 1 ,1 e 上单调递减， 在区间1,e上单调递增， 则函数 yg x在 1x 处取得最小值，即 min 11g xg，又 3 11 3g ee ， 3 3g ee， 1 gg e e ，如下图所示： 由图象可知，当 3 1 13m e 时，直线y m 与函数 3 3lng xxx在
20、区间 1 ,e e 上有两 个交点，因此，实数m的取值范围是 3 1 1,3 e ，故选：C. 【点睛】已知函数零点个数求参数取值范围常用方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组） ，解出即可； （2）参变量分离法：先将参数分离，转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题. 二、填空题二、填空题. . 13.设命题 2 :p cc， 0 :qxR， 2 00 410xcx ，若p和q中有且仅有一个为真命题， 则实数c的取值范围是_. 【答案】 11 ,0,1 22 U 【解析】 【分析】 先求出当 p和q为真命题时实数c的取值范围，然后就p真q假和p假q真两种情况分类
21、讨 论，可得出实数c的取值范围. 【详解】若命题p为真命题，即 2 cc ，解得0c 或1c ； 若命题q为真命题，则 2 1640c ，解得 1 2 c 或 1 2 c . 若p真q假，则 01 11 22 cc c 或 ，可得 1 0 2 c； 若p假q真，则 01 11 22 c cc 或 ，可得 1 1 2 c. 因此，实数c的取值范围是 11 ,0,1 22 U，故答案为： 11 ,0,1 22 U. 【点睛】本题考查利用命题的真假求参数的取值范围，解决这类问题通常是考虑命题为真命 题时参数的取值范围，再利用补集思想得出命题为假时对应的参数的取值范围，考查运算求 解能力，属于中等题.
22、 14.设等比数列 n a满足0 n a ，且 13 5 8 aa， 24 5 4 aa，则 21 2 log n aaaL的最小值 为_. 【答案】6 【解析】 【分析】 设等比数列 n a的公比为q，则0q ，根据题中条件列出关于 1 a和q的方程组，解出这两个 量，求出数列 n a的通项公式，可得出 212 log n a aaL关于n的表达式，再利用二次函数的 性质求出 212 log n a aaL的最小值. 【详解】设等比数列 n a的公比为q，则0q ，由题意可得 2 131 2 241 5 1 8 5 1 4 aaaq aaa qq ， 解得 1 1 8 2 a q ， 114
23、 1 1 22 8 nnn n aa q ，则 2 3 2 2 7 1 4 2 22 n n nnn a aa L ， 所以， 2 2 72 2 2212 71749 log 2 228 og 2 l n nn n aa n an L， 因此，当3n 或4时， 212 log n a aaL取得最小值6，故答案为：6. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合问题，在求解等比数列时，一般建立首项和公 比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题. 15.已知函数 22 3f xxxmx，若方程 0f x 在0,4上有两个不同的实数根， 则实数m的取值范围是_. 【答案】 29 ,
24、3 4 【解析】 【分析】 令 0f x ，得出 22 3xx m x ，构造函数 22 3xx g x x ，其中04x，对 函数 yg x的解析式化为分段函数， 并作出函数 yg x的图象， 利用数形结合思想求出 当直线y m 与函数 yg x在区间0,4上的图象有两个交点时，实数 m 的取值范围， 即可得出实数m的取值范围. 【详解】令 0f x ，得出 22 3xx m x ，构造函数 22 3xx g x x ，其中 04x， 则 3 ,03 3 2, 34 x x g x xx x ，作出函数 yg x在区间0,4上的图象如下图所示： 由图象可知， 当 29 3 4 m 时， 即当
25、 29 3 4 m 时， 直线y m 与函数 yg x在 区间0,4上的图象有两个交点，因此，实数m的取值范围是 29 ,3 4 ，故答案为： 29 ,3 4 . 【点睛】已知函数零点个数求参数取值范围常用方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组） ，解出即可； （2）参变量分离法：先将参数分离，转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题. 16.如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，E、F、 G、M分别是棱AB、BC、 1 CC、 1 BB中点，P是底面ABCD内一动点，若直线 1 D P与 平面EFG不存在公共点，则三
26、角形PBM面积的最小值为_. 【答案】 2 4 【解析】 【分析】 分别取 11 C D、 11 AD、 1 AA的中点R、S、T，将平面EFG扩展为平面EFGRST，并证明 出平面 1/ ACD平面EFGRST，可知当点P AC时， 1 /D P平面EFG，可得出点P的轨迹 为线段AC，并证明BMPB，当PBAC时，PB取最小值，则PBM的面积取最小 值. 【详解】如下图所示： 分别取 11 C D、 11 AD、 1 AA的中点R、S、T，连接六边形EFGRST和 1 ACD的各边， E、F分别为AB、BC的中点，/EF AC，同理可证 11 /RS AC， 在长方体 1111 ABCDA
27、BC D中， 11 /AA CC，则四边形 11 AAC C为平行四边形， 11 /AC AC， /EF RS，同理可证/RG ET，/ST FG，则平面EFGRST即为平面EFG， /EF ACQ，AC 平面EFG，/AC平面EFG，同理可证 1/ AD平面EFG， 1 ACADAI，AC、 1 AD 平面 1 ACD，平面 1/ ACD平面EFG， 1 D P Q平面 1 ACD， 1 /D P平面EFG，所以，点P在底面ABCD的轨迹为线段AC. BM Q平面ABCD，PB 平面ABCD，BMPB， 当PBAC时，PBM的面积取最小值，此时， 12 22 PBAC， 因此，PBM的最小值
28、为 min 1122 1 2224 BMPB ，故答案为： 2 4 . 【点睛】本题考查三角形面积的最小值的求解，考查平面内点的轨迹问题，同时也考查了利 用面面平行转化为线面平行，解题的关键就是找出点P的轨迹，考查推理能力与计算能力， 属于难题. 三、解答题三、解答题: :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知命题 :p 方程 2 2sinsin10xxm 0, 2 x 在存在唯一实数根；:qxR ， 2 210xmx . （1）若命题q 为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p q 为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）,
29、11, U； （2）0,1. 【解析】 【分析】 （1）由q 为真命题得出，可解出实数m的取值范围； （2） 令s i n0 , 1tx， 并作出函数 2 21ytt 在区间0,1上的图象， 得出当直线y m 与函数 2 21ytt 在0,1t上只有一个交点时实数 m 的取值范围， 可得出命题p为真命 题时实数m的取值范围，由命题q为真命题得出0 ，解出对应的实数m的取值范围，再 将m的两个取值范围取交集可得出命题p q 为真命题时m的取值范围. 【详解】 （1） 0 :qxR Q， 2 00 210xmx . 则命题q 为真命题时，有 2 440m ，则1m 或 1m . 因此，实数m的取值
30、范围是, 11, U； （2）若命题p q 为真命题，则p真且q真. 命题p为真命题时，即方程 2 2sinsin10xxm 在 0, 2 x 上存在唯一实数根， 令sin0,1tx，则函数sintx在0, 2 x 上单调递增， 问题转化为 2 21mtt ，在 0,1t上存在唯一实数根， 令 2 21ytt ，则 2 19 2 48 yt ，0,1t. 作出函数 2 19 2 48 yt 在0,1t上的图象如下图所示： 由图象可知，当10m 或 9 8 m 时，即当01m或 9 8 m 时，直线y m 与函 数 2 21ytt 在0,1t上有唯一交点. 当命题q为真命题时，有 2 440m
31、，则11m . 因此，当p q 为真命题时，m的取值范围是0,1. 【点睛】本题考查三角函数方程根的个数问题以及二次不等式问题，同时也考查复合命题与 参数范围的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18.设函数 sinyf xx，0，0的导数为 yfx ，若 3g xf xfx 为奇函数，且对任意的xR有 2g x . （1）求 g x表达式； （2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， tan tan2 B ag A ，求ABC 的面积最大值. 【答案】 （1） 2sing xx ； （2）3. 【解析】 【分析】 （1）求出函数 yf x的导数 fx ，可得出函数
32、yg x的表达式，利用函数 yg x 的最大值为2，得出1，再由函数 yg x为奇函数，得出 00g可得出的值，由 此可得出函数 yg x的解析式； （2）求得 tan 2 tan B a A ，利用弦化切思想以及sinsinCAB得出 sin3sincosCAB，由正弦定理得出 2sin sin B b A ，代入 1 sin 2 ABC SabC 得出 3sin2 ABC SB ，由此可得出 ABC面积的最大值. 【详解】 （1） sinf xxQ， cosfxx ， 则 sin3 cosg xxx， 2 max 132g x ，0，1， 则 sin3cosg xxx， 又函数 yg x奇
33、函数， 0sin3cos0g，则tan3 . 0， 2 3 ， 2 2sin2sin 33 g xxx ； （2） tan 2 tan2 B ag A Q且cos sin2sincosABAB， sin sin bB aA Q， 2sin sin B b A ， sinsinsincoscossin3sincosCABABABAB， 112sin sin23sincos6sincos3sin2 22sin ABC B SabCABBBB A 因此，当 4 B 时，ABC的面积取得最大值为3. 【点睛】本题考查三角函数与三角形的综合问题，同时考查三角函数的最值以及三角形面积 的最值，考查了辅助角
34、变换、三角函数的导数以及正弦定理的应用，考查分析问题和解决问 题的能力，属于中等题. 19.已知数列 n a， n b，其中 1 5a ， 1 1b ，且满足 11 1 3 2 nnn aab ， 11 1 3 2 nnn bab ，n N，2n . （1）求证：数列 nn ab为等比数列； （2）求数列 1 1 3 2n nn a a 的前n项和为 n S. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 11 53 22 n n S . 【解析】 【分析】 （1）将等式 11 1 3 2 nnn aab 与等式 11 1 3 2 nnn bab 相减，利用等比数列的定义可 证明出数列 nn ab为等
35、比数列； （2）由（1）得出3 2n nn ab ，再将题干中两等式相加可得出数列 nn ab为常数列，且 4 nn ab，可得出 1 3 22 n n a ，然后将数列 1 1 3 2n nn a a 的通项公式裂项为 1 1 1 3 211 3 223 22 n nn nn a a ，并利用裂项法求出 n S. 【详解】 （1）当2n且n N时， 11 1 3 2 nnn aab ， 11 1 3 2 nnn bab ， 将上述两等式相减得 111111 11 332 22 nnnnnnnn abababab ， 又 11 516ab ，所以 nn ab是首项为6，公比为2的等比数列； （
36、2）由（1）知，3 2n nn ab ， 将等式 11 1 3 2 nnn aab 与等式 11 1 3 2 nnn bab 相加， 得 111111 1 3 2 1 3 2 nnnnnnnn abababab ，且 11 5 14ab ， 所以 nn ab为常数列且4 nn ab，联立得 1 3 22 n n a ， 故 11 1 1 1 3 23 211 3 223 223 223 22 nn nn nn nn a a ， 所以 01121 111111 3 223 223 223 223 223 22 n nn S L 11 53 22 n . 【点睛】本题考查利用等比数列的定义证明等比
37、数列，同时也考查了利用裂项求和法，解题 时要熟悉裂项法对数列通项公式结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题. 20.已知函数 2 0,f xaxbxc abR cR. （1）若函数 f x的最小值是11f 且1c ， ,0 ,0 f xx F x f xx ，求 33FF的值； （2）若3a ，1c 且 2f x 在区间0,2上恒成立，试求b的取值范围. 【答案】 （1）24； （2） 11 6, 2 . 【解析】 【分析】 （1） 由题意得出 1 1 1 2 c abc b a ， 可解出a、b的值， 可得出函数 yf x和函数 yF x 的解析式，从而计算出 33FF的值； （2）由已知
38、条件得出 2 31f xxbx，由题意得出 2 2312xbx 在区间0,2上 恒成立，利用参变量分离法得出 1 3bx x 且 3 3bx x 在0,2上恒成立，然后利用函数 单调性和基本不等式分别求出 1 3x x 和 3 3x x 在0,2上的最小值和最大值， 可得出实数b 的取值范围. 【详解】 （1）由已知1c ，1abc 且1 2 b a ，解得 2a ，4b ， 2 211f xx，则 2 2 211,0 1 21,0 xx F x xx ， 则 22 3323 11 1 23 124FF ； （2）由3a ，1c ，得 2 31f xxbx，从而 2f x 在区间0,2上恒成立
39、等价于 2 2312xbx 在区间0,2上恒成立， 即 1 3bx x 且 3 3bx x 在0,2上恒成立. 函数 1 3yx x 在区间0,2上单调递减，则 min 111 3 2 22 y . 由基本不等式得 311 333 26xxx xxx ，当且仅当1x 时，等号成立， 则 3 3x x 的最大值为6， 11 6 2 b ， 因此，实数b的取值范围是 11 6, 2 . 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查二次不等式区间上恒成立问题，灵活 利用参变量分离法转化为函数的最值来求解，可简化计算与分类讨论，考查运算求解能力， 属于中等题. 21.某市为了改善居民的休闲娱乐活动
40、场所，现有一块矩形ABCD草坪如下图所示，已知： 120AB 米，60 3BC 米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，要求点O是 AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD时上，且EOF90. （1）设BOE，试求OEF的周长l关于的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并 求出最低总费用. 【答案】 （1） 60 cossin1 cossin l ，定义域为 , 6 3 ； （2）当60BEAF米时，铺路总费用最低，最低总费用为3600021元 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理通过lOEOFEF，得出 60 cossin1
