湖北省黄冈市2020届高三数学9月质量检测试卷理科-.doc

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1、湖北省黄冈市湖北省黄冈市 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月质量检测试题月质量检测试题 理(含解析)理(含解析) 一:选择题。一:选择题。 1.已知集合 2 230Ax xx , lg11Bxx,则 RA B ( ) A. 13xx B. 19xx C. 13xx D. 19xx 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合A、B,再利用补集和交集的定义得出集合 RA B. 【详解】解不等式 2 230xx ,得1x 或3x ; 解不等式lg11x,得01 10x ,解得19x . 13Ax xx 或,19Bxx ,则13 RA xx , 因此,13 RA Bxx ,故选:C. 【

2、点睛】本题考查集合的补集与交集的计算,同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式 的求解,考查运算求解能力,属于中等题. 2.若ab,则下列不等式恒成立的是( ) A. 2 2 ab B. ln0ab C. 11 33 ab D. ab 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于 A 选项,由于指数函数2xy 为增函数,且ab, 22 ab ,A 选项中的不等 式不成立; 对于 B 选项,由于对数函数lnyx在0,上单调递增,ab,当01ab 时, lnln10ab,B 选项中的不等式不恒成立; 对于 C 选项,由

3、于幂函数 1 3 yx 在 , 上单调递增,且ab , 11 33 ab ,C 选项中的不 等式恒成立; 对于 D 选项,取1a ,2b ,则ab,但ab,D 选项中的不等式不恒成立. 故选:C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断,通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特 殊值法来判断,考查推理能力,属于中等题. 3.设 n S为正项等比数列 n a的前n项和,若 123 30SSS,且 1 1a ,则 4 a ( ) A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】 设等比数列 n a的公比为q,利用题中条件求出q,再由 3 41 aa q可计算出 4 a的

4、值. 【详解】设等比数列 n a的公比为q,则 2 123111 33110SSSaaqaq q , 整理得 2 230qq,0q ,解得3q ,因此, 33 41 1 327aa q ,故选:D. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算,一般利用首项和公比建立方程(组)求解基本 量,考查运算求解能力,属于基础题. 4.几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M、N是锐角AQB的一边QA上的两点, 试在边QB上找一点,使得MPN最大”.如图,其结论是:点P为过M、N两点且和射 线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点 1,2M 、1,4N,点P在x轴上移

5、动,当MPN取最大值时,点P的横坐标是( ) A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 2或7 【答案】A 【解析】 【分析】 根据米勒问题的结论,P点应该为过点M、N的圆与x轴的切点, 可设点P的坐标为, a b, 写出圆的方程,并将点M、N的坐标代入可求出点P的横坐标. 【详解】设圆心C的坐标为, a b,则圆的方程为 22 2 xaybb, 将点M、N的坐标代入圆的方程得 22 2 22 2 12 14 abb abb , 解得 1 2 a b 或 7 10 a b (舍) ,因此,点P横坐标为1,故选:A. 【点睛】本题考查点的坐标的求法,考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识,考

6、 查运算求解能力,属于中等题. 5.如图为一个几何体的三视图,则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 画出几何体直观图,判断两点间距离最大值的位置,求解即可. 【详解】由题意可知,几何体的直观图如下图所示,该几何体是长方体的一部分,该几何体 中任一两个顶点间距离的最大值应该是AF、BD、BE中的一个, 且 222 4442 3AFADDEEF , 2222 3213BDABAD , 222 49417BEADABDE , 故选:A. 【点睛】本题考查三视图的直观图的应用,解题时要根据三视图还原几何体,作出几

7、何体的 直观图,并计算出棱长,考查空间想象能力,属于中等题. 6.函数 2 3sin 1 xx f x x 在, 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 yf x的奇偶性,以及该函数在0x 附近的函数值符号进行排除,从而可判断 出函数 yf x的图象. 【详解】 222 3sin3sin3sin 11 1 xxxxxx fxf x xx x Q ,该函数为奇 函数,排除 A、B 选项; 构造函数 3sing xxx,则 3cos1gxx ,则函数 ygx 在0,上单调递减, 由于 1 0 32 g ,10 2 g ,由零点存在定理可知,存在, 3

8、2 t ,使得 0g t ,且当0xt时, 0g t ,此时,函数 yg x在区间0,t上单调递增, 当0xt时, 00g xg,此时, 0f x , 因此,符合条件的图象为 C 选项中的图象,故选:C. 【点睛】本题考查函数图象的识别,一般从以下几个要素进行考查: (1)定义域; (2)奇偶 性; (3)单调性; (4)零点; (5)函数值符号.通过排除法得出符合条件的函数图象,考查推 理能力,属于中等题. 7.已知抛物线 2 4xy的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一 个交点,且4PQFQ,则FQ uuu r ( ) A. 3或4 B. 8 5 或 8 3 C.

9、4或 8 3 D. 8 3 【答案】D 【解析】 【分析】 设点P的坐标为, 1t ,点Q的坐标为, x y,利用向量的坐标运算计算出点Q的纵坐标, 然后利用抛物线的定义求出FQ uuu r 的值. 【详解】抛物线 2 4xy的焦点为F的坐标为0,1,准线方程为1y , 设点P的坐标为, 1t ,点Q的坐标为, x y,则,1PQxt y uuu r ,,1FQx y uuu r , 4PQFQ uuu vuuu v Q, 141yy ,解得 5 3 y ,因此, 8 1 3 FQy uuu r ,故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义,同时也考查了利用共线向量计算点的坐标,考查运算求 解

10、能力,属于中等题. 8.将函数 sin 2 6 f xx 的图象向右平移 12 个单位,得到函数 g x的图象,则下列说 法不正确的是( ) A. 5 1 12 g B. g x在区间 53 124 ,上单调递减 C. 12 x 是 g x图象的一条对称轴 D. ,0 8 是 g x图象的一个对称中 心 【答案】D 【解析】 【分析】 利用图象平移得出函数 yg x的解析式,然后利用正弦型函数的性质判断各选项中有关函 数 yg x的性质及函数值的正误. 【详解】由题意可得 sin 2sin 2 121263 g xfxxx , 则 55 sin1 1263 g ,A 选项正确; 当 53 12

11、4 x 时, 7 2 236 x ,则函数 yg x在区间 53 124 ,上单调递减,B 选项正确; sin1 1263 g ,则 12 x 是 yg x图象的一条对称轴,C 选项正确; sin0 843 g ,,0 8 不是 yg x图象的一个对称中心,D 选项错误. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数图象平移与三角函数的基本性质,解题的关键就是要确定函数解 析式,并利用正弦函数的基本性质进行判断,考查推理能力,属于中等题. 9.已知函数 32 f xxaxbxc, f x图象在点 22f , ,处的切线过点3,4,函数 1g xf x为奇函数,则b ( ) A. 2 B. 3 C. 4

12、 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数 yg x的表达式,利用奇函数的定义得出a、b、c的等量关系,利用导数求出 函数 yf x的图象在点 22f , ,处的切线方程, 并将点3,4代入切线方程可求出实数b 的值. 【详解】 32 1111g xf xxa xb xcQ 32 3231xaxabxabc , 由于函数 yg x是奇函数,则 gxg x , 即 32 3231xaxabxabc 32 3231xaxabxabc , 所以, 2 23210axabc 对任意的xR恒成立, 30 10 a abc ,得 3 2 a cb , 32 32f xxxbxb, 2 36fxx

13、xb,则 22fb, 2fb, 所以,函数 yf x的图象在点 22f , ,处的切线方程为22ybb x, 由于该直线过点3,4,则有42bb,解得3b ,故选:B. 【点睛】本题考查利用奇偶性求参数,同时也考查了函数的切线过点的问题,一般利用导数 求出切线方程,并将点的坐标代入切线方程即可,考查运算求解能力,属于中等题. 10.在ABC中, 点P满足 3BPPC uuvuuu v , 过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、 N,若AM AB ,0,0ANAC uuu ruuu r ,则的最小值为( ) A. 2 1 2 B. 3 1 2 C. 3 2 D. 5 2 【答案】B 【

14、解析】 分析】 由 题 意 得 出 13 44 APABAC uu u ruu u ruuu r , 再 由 AMAB ,ANAC, 可 得 出 13 44 APAMAN uuu ruuuruuu r ,由三点共线得出 13 1 44 ,将代数式与 13 44 相乘, 展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示: 3BPPC uuruuu r Q ,即 3APABACAP uu u ruu u ruuu ruu u r , 13 44 APABAC uu u ruu u ruuu r , AMAB uuuruuu r Q ,0,0ANAC uuu ruuu r , 1 ABAM

15、uu u ruuur , 1 ACAN uuu ruuu r , 13 44 APAMAN uuu ruuuruuu r ,M、P、N三点共线,则 13 1 44 . 13333 1211 4444442 , 当且仅当3时,等号成立,因此,的最小值为 3 1 2 ,故选:B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用,同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值,解 题时要充分利用三点共线得出定值条件,考查运算求解能力,属于中等题. 11.椭圆 22 22 :10 xy Mab ab 与双曲线 22 22 :10,0 xy Qmn mn 焦点相同, 1 F、 2 F分别为左焦点和右焦点,椭圆M与双曲线Q

16、在第一象限交点为A,且 12 3 F AF ,则 当这两条曲线的离心率之积为 3 2 时,双曲线Q的渐近线斜率是( ) A. 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 设 1 AFs, 2 AFt,由椭圆和双曲线的定义,解方程可得出s、t,再由余弦定理,可得 出a、m、c的关系,结合离心率公式以及已知条件得出双曲线的离心率,从而得出双曲线Q 的渐近线斜率. 【详解】设 1 AFs, 2 AFt,A为椭圆和双曲线在第一象限的交点, 由椭圆和双曲线的定义得 2 2 sta stm ,解得 sam tan , 在 12 F AF中, 12 3 F AF ,由余弦定理得

17、 222 42cos 3 cstst , 即 22 2 4camamamam,整理得 222 34amc, 设椭圆和双曲线的离心率分别为 1 e、 2 e,则 22 22 3 4 am cc ,即 2 22 1 31 4 ee , 由题意可得 22 12 1 2 12 13 4 3 2 01,1 ee ee ee ,解得 2 6 2 e ,所以, 2 2 2 62 11 22 n e m , 因此,双曲线Q的渐近线的斜率为 2 2 ,故选:B. 【点睛】本题考查共焦点的椭圆和双曲线的离心率,同时也考查了双曲线渐近线斜率的计算, 解题的关键在于充分利用椭圆和双曲线的定义并结合余弦定理求解,考查运

18、算求解能力,属 于中等题. 12.函数 3 3lnf xmxx在 1 ,e e 上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为( ) A. 3 1 1,3 e B. 3 1,3e C. 3 1 1,3 e D. 1, 【答案】C 【解析】 【分析】 由 0f x , 得出 3 3lnmxx , 构造函数 3 3lng xxx, 问题转化为当直线y m 与 函数 3 3lng xxx的图象在 1 ,e e 上有两个交点时,求实数m的取值范围,然后利用导 数分析函数 3 3lng xxx在区间 1 ,e e 上的单调性与极值,利用数形结合思想可得出实 数m的取值范围. 【详解】由 0f x ,得出 3

19、3lnmxx,构造函数 3 3lng xxx,问题转化为当直 线y m 与函数 3 3lng xxx的图象在 1 ,e e 上有两个交点时,求实数m的取值范围. 3 2 31 3 3 x gxx xx ,令 0gx ,得1x , 当 1 1x e 时, 0gx;当1xe时, 0gx. 所以, 函数 yg x在区间 1 ,1 e 上单调递减, 在区间1,e上单调递增, 则函数 yg x在 1x 处取得最小值,即 min 11g xg,又 3 11 3g ee , 3 3g ee, 1 gg e e ,如下图所示: 由图象可知,当 3 1 13m e 时,直线y m 与函数 3 3lng xxx在

20、区间 1 ,e e 上有两 个交点,因此,实数m的取值范围是 3 1 1,3 e ,故选:C. 【点睛】已知函数零点个数求参数取值范围常用方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组) ,解出即可; (2)参变量分离法:先将参数分离,转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题. 二、填空题二、填空题. . 13.设命题 2 :p cc, 0 :qxR, 2 00 410xcx ,若p和q中有且仅有一个为真命题, 则实数c的取值范围是_. 【答案】 11 ,0,1 22 U 【解析】 【分析】 先求出当 p和q为真命题时实数c的取值范围,然后就p真q假和p假q真两种情况分类

21、讨 论,可得出实数c的取值范围. 【详解】若命题p为真命题,即 2 cc ,解得0c 或1c ; 若命题q为真命题,则 2 1640c ,解得 1 2 c 或 1 2 c . 若p真q假,则 01 11 22 cc c 或 ,可得 1 0 2 c; 若p假q真,则 01 11 22 c cc 或 ,可得 1 1 2 c. 因此,实数c的取值范围是 11 ,0,1 22 U,故答案为: 11 ,0,1 22 U. 【点睛】本题考查利用命题的真假求参数的取值范围,解决这类问题通常是考虑命题为真命 题时参数的取值范围,再利用补集思想得出命题为假时对应的参数的取值范围,考查运算求 解能力,属于中等题.

22、 14.设等比数列 n a满足0 n a ,且 13 5 8 aa, 24 5 4 aa,则 21 2 log n aaaL的最小值 为_. 【答案】6 【解析】 【分析】 设等比数列 n a的公比为q,则0q ,根据题中条件列出关于 1 a和q的方程组,解出这两个 量,求出数列 n a的通项公式,可得出 212 log n a aaL关于n的表达式,再利用二次函数的 性质求出 212 log n a aaL的最小值. 【详解】设等比数列 n a的公比为q,则0q ,由题意可得 2 131 2 241 5 1 8 5 1 4 aaaq aaa qq , 解得 1 1 8 2 a q , 114

23、 1 1 22 8 nnn n aa q ,则 2 3 2 2 7 1 4 2 22 n n nnn a aa L , 所以, 2 2 72 2 2212 71749 log 2 228 og 2 l n nn n aa n an L, 因此,当3n 或4时, 212 log n a aaL取得最小值6,故答案为:6. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合问题,在求解等比数列时,一般建立首项和公 比的方程组,利用方程思想求解,考查运算求解能力,属于中等题. 15.已知函数 22 3f xxxmx,若方程 0f x 在0,4上有两个不同的实数根, 则实数m的取值范围是_. 【答案】 29 ,

24、3 4 【解析】 【分析】 令 0f x ,得出 22 3xx m x ,构造函数 22 3xx g x x ,其中04x,对 函数 yg x的解析式化为分段函数, 并作出函数 yg x的图象, 利用数形结合思想求出 当直线y m 与函数 yg x在区间0,4上的图象有两个交点时,实数 m 的取值范围, 即可得出实数m的取值范围. 【详解】令 0f x ,得出 22 3xx m x ,构造函数 22 3xx g x x ,其中 04x, 则 3 ,03 3 2, 34 x x g x xx x ,作出函数 yg x在区间0,4上的图象如下图所示: 由图象可知, 当 29 3 4 m 时, 即当

25、 29 3 4 m 时, 直线y m 与函数 yg x在 区间0,4上的图象有两个交点,因此,实数m的取值范围是 29 ,3 4 ,故答案为: 29 ,3 4 . 【点睛】已知函数零点个数求参数取值范围常用方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组) ,解出即可; (2)参变量分离法:先将参数分离,转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题. 16.如图,在长方体 1111 ABCDABC D中,底面是边长为1的正方形,侧棱长为2,E、F、 G、M分别是棱AB、BC、 1 CC、 1 BB中点,P是底面ABCD内一动点,若直线 1 D P与 平面EFG不存在公共点,则三

26、角形PBM面积的最小值为_. 【答案】 2 4 【解析】 【分析】 分别取 11 C D、 11 AD、 1 AA的中点R、S、T,将平面EFG扩展为平面EFGRST,并证明 出平面 1/ ACD平面EFGRST,可知当点P AC时, 1 /D P平面EFG,可得出点P的轨迹 为线段AC,并证明BMPB,当PBAC时,PB取最小值,则PBM的面积取最小 值. 【详解】如下图所示: 分别取 11 C D、 11 AD、 1 AA的中点R、S、T,连接六边形EFGRST和 1 ACD的各边, E、F分别为AB、BC的中点,/EF AC,同理可证 11 /RS AC, 在长方体 1111 ABCDA

27、BC D中, 11 /AA CC,则四边形 11 AAC C为平行四边形, 11 /AC AC, /EF RS,同理可证/RG ET,/ST FG,则平面EFGRST即为平面EFG, /EF ACQ,AC 平面EFG,/AC平面EFG,同理可证 1/ AD平面EFG, 1 ACADAI,AC、 1 AD 平面 1 ACD,平面 1/ ACD平面EFG, 1 D P Q平面 1 ACD, 1 /D P平面EFG,所以,点P在底面ABCD的轨迹为线段AC. BM Q平面ABCD,PB 平面ABCD,BMPB, 当PBAC时,PBM的面积取最小值,此时, 12 22 PBAC, 因此,PBM的最小值

28、为 min 1122 1 2224 BMPB ,故答案为: 2 4 . 【点睛】本题考查三角形面积的最小值的求解,考查平面内点的轨迹问题,同时也考查了利 用面面平行转化为线面平行,解题的关键就是找出点P的轨迹,考查推理能力与计算能力, 属于难题. 三、解答题三、解答题: :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知命题 :p 方程 2 2sinsin10xxm 0, 2 x 在存在唯一实数根;:qxR , 2 210xmx . (1)若命题q 为真命题,求实数m的取值范围; (2)若p q 为真命题,求实数m的取值范围. 【答案】 (1),

29、11, U; (2)0,1. 【解析】 【分析】 (1)由q 为真命题得出,可解出实数m的取值范围; (2) 令s i n0 , 1tx, 并作出函数 2 21ytt 在区间0,1上的图象, 得出当直线y m 与函数 2 21ytt 在0,1t上只有一个交点时实数 m 的取值范围, 可得出命题p为真命 题时实数m的取值范围,由命题q为真命题得出0 ,解出对应的实数m的取值范围,再 将m的两个取值范围取交集可得出命题p q 为真命题时m的取值范围. 【详解】 (1) 0 :qxR Q, 2 00 210xmx . 则命题q 为真命题时,有 2 440m ,则1m 或 1m . 因此,实数m的取值

30、范围是, 11, U; (2)若命题p q 为真命题,则p真且q真. 命题p为真命题时,即方程 2 2sinsin10xxm 在 0, 2 x 上存在唯一实数根, 令sin0,1tx,则函数sintx在0, 2 x 上单调递增, 问题转化为 2 21mtt ,在 0,1t上存在唯一实数根, 令 2 21ytt ,则 2 19 2 48 yt ,0,1t. 作出函数 2 19 2 48 yt 在0,1t上的图象如下图所示: 由图象可知,当10m 或 9 8 m 时,即当01m或 9 8 m 时,直线y m 与函 数 2 21ytt 在0,1t上有唯一交点. 当命题q为真命题时,有 2 440m

31、,则11m . 因此,当p q 为真命题时,m的取值范围是0,1. 【点睛】本题考查三角函数方程根的个数问题以及二次不等式问题,同时也考查复合命题与 参数范围的求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 18.设函数 sinyf xx,0,0的导数为 yfx ,若 3g xf xfx 为奇函数,且对任意的xR有 2g x . (1)求 g x表达式; (2)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, tan tan2 B ag A ,求ABC 的面积最大值. 【答案】 (1) 2sing xx ; (2)3. 【解析】 【分析】 (1)求出函数 yf x的导数 fx ,可得出函数

32、yg x的表达式,利用函数 yg x 的最大值为2,得出1,再由函数 yg x为奇函数,得出 00g可得出的值,由 此可得出函数 yg x的解析式; (2)求得 tan 2 tan B a A ,利用弦化切思想以及sinsinCAB得出 sin3sincosCAB,由正弦定理得出 2sin sin B b A ,代入 1 sin 2 ABC SabC 得出 3sin2 ABC SB ,由此可得出 ABC面积的最大值. 【详解】 (1) sinf xxQ, cosfxx , 则 sin3 cosg xxx, 2 max 132g x ,0,1, 则 sin3cosg xxx, 又函数 yg x奇

33、函数, 0sin3cos0g,则tan3 . 0, 2 3 , 2 2sin2sin 33 g xxx ; (2) tan 2 tan2 B ag A Q且cos sin2sincosABAB, sin sin bB aA Q, 2sin sin B b A , sinsinsincoscossin3sincosCABABABAB, 112sin sin23sincos6sincos3sin2 22sin ABC B SabCABBBB A 因此,当 4 B 时,ABC的面积取得最大值为3. 【点睛】本题考查三角函数与三角形的综合问题,同时考查三角函数的最值以及三角形面积 的最值,考查了辅助角

34、变换、三角函数的导数以及正弦定理的应用,考查分析问题和解决问 题的能力,属于中等题. 19.已知数列 n a, n b,其中 1 5a , 1 1b ,且满足 11 1 3 2 nnn aab , 11 1 3 2 nnn bab ,n N,2n . (1)求证:数列 nn ab为等比数列; (2)求数列 1 1 3 2n nn a a 的前n项和为 n S. 【答案】 (1)证明见解析; (2) 11 53 22 n n S . 【解析】 【分析】 (1)将等式 11 1 3 2 nnn aab 与等式 11 1 3 2 nnn bab 相减,利用等比数列的定义可 证明出数列 nn ab为等

35、比数列; (2)由(1)得出3 2n nn ab ,再将题干中两等式相加可得出数列 nn ab为常数列,且 4 nn ab,可得出 1 3 22 n n a ,然后将数列 1 1 3 2n nn a a 的通项公式裂项为 1 1 1 3 211 3 223 22 n nn nn a a ,并利用裂项法求出 n S. 【详解】 (1)当2n且n N时, 11 1 3 2 nnn aab , 11 1 3 2 nnn bab , 将上述两等式相减得 111111 11 332 22 nnnnnnnn abababab , 又 11 516ab ,所以 nn ab是首项为6,公比为2的等比数列; (

36、2)由(1)知,3 2n nn ab , 将等式 11 1 3 2 nnn aab 与等式 11 1 3 2 nnn bab 相加, 得 111111 1 3 2 1 3 2 nnnnnnnn abababab ,且 11 5 14ab , 所以 nn ab为常数列且4 nn ab,联立得 1 3 22 n n a , 故 11 1 1 1 3 23 211 3 223 223 223 22 nn nn nn nn a a , 所以 01121 111111 3 223 223 223 223 223 22 n nn S L 11 53 22 n . 【点睛】本题考查利用等比数列的定义证明等比

37、数列,同时也考查了利用裂项求和法,解题 时要熟悉裂项法对数列通项公式结构的要求,考查运算求解能力,属于中等题. 20.已知函数 2 0,f xaxbxc abR cR. (1)若函数 f x的最小值是11f 且1c , ,0 ,0 f xx F x f xx ,求 33FF的值; (2)若3a ,1c 且 2f x 在区间0,2上恒成立,试求b的取值范围. 【答案】 (1)24; (2) 11 6, 2 . 【解析】 【分析】 (1) 由题意得出 1 1 1 2 c abc b a , 可解出a、b的值, 可得出函数 yf x和函数 yF x 的解析式,从而计算出 33FF的值; (2)由已知

38、条件得出 2 31f xxbx,由题意得出 2 2312xbx 在区间0,2上 恒成立,利用参变量分离法得出 1 3bx x 且 3 3bx x 在0,2上恒成立,然后利用函数 单调性和基本不等式分别求出 1 3x x 和 3 3x x 在0,2上的最小值和最大值, 可得出实数b 的取值范围. 【详解】 (1)由已知1c ,1abc 且1 2 b a ,解得 2a ,4b , 2 211f xx,则 2 2 211,0 1 21,0 xx F x xx , 则 22 3323 11 1 23 124FF ; (2)由3a ,1c ,得 2 31f xxbx,从而 2f x 在区间0,2上恒成立

39、等价于 2 2312xbx 在区间0,2上恒成立, 即 1 3bx x 且 3 3bx x 在0,2上恒成立. 函数 1 3yx x 在区间0,2上单调递减,则 min 111 3 2 22 y . 由基本不等式得 311 333 26xxx xxx ,当且仅当1x 时,等号成立, 则 3 3x x 的最大值为6, 11 6 2 b , 因此,实数b的取值范围是 11 6, 2 . 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解,同时也考查二次不等式区间上恒成立问题,灵活 利用参变量分离法转化为函数的最值来求解,可简化计算与分类讨论,考查运算求解能力, 属于中等题. 21.某市为了改善居民的休闲娱乐活动

40、场所,现有一块矩形ABCD草坪如下图所示,已知: 120AB 米,60 3BC 米,拟在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF,要求点O是 AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD时上,且EOF90. (1)设BOE,试求OEF的周长l关于的函数解析式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为300元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并 求出最低总费用. 【答案】 (1) 60 cossin1 cossin l ,定义域为 , 6 3 ; (2)当60BEAF米时,铺路总费用最低,最低总费用为3600021元 【解析】 【分析】 (1)利用勾股定理通过lOEOFEF,得出 60 cossin1

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