1、江苏省常州市江苏省常州市 20202020 届高三数学上学期期末考试试题届高三数学上学期期末考试试题 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 20201 参考公式： 锥体的体积公式 V1 3Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 为锥体的高 样本数据 x1，x2，xn的方差 s 21 n (xi x )2，其中 x1 n xi. 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 (第 3 题) 1. 已知集合 A1，0，1，Bx|x 20，则 AB_ 2. 若复数 z 满足 zi1i(i 是虚数单位)，则 z 的实部为_ 3. 如图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_ 4
2、. 函数 y 2 x1的定义域是_ 5. 已知一组数据 17，18，19，20，21，则该组数据的方差是_ 6. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为_ 7. 已知函数 f(x) 1 x1，x0， x 2 3，x0， 则 f(f(8)_ 8. 函数 y3sin(2x 3 )，x0，取得最大值时自变量 x 的值为_ 9. 在等比数列an中，若 a11，4a2，2a3，a4成等差数列，则 a1a7_ 10. 已知 cos（ 2 ） cos 2，则 tan 2_ 11. 在平面直角坐标系 xOy 中
3、，双曲线 C：x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的右顶点为 A，过 A 作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线交于点 B.若 OB2a，则 C 的离心率为_ 12. 已知函数 f(x)|lg(x2)|，互不相等的实数 a，b 满足 f(a)f(b)，则 a4b 的 最小值为_ 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x 22axy22ay2a210 上存在点 P 到点(0， 1)的距离为 2，则实数 a 的取值范围是_ 14. 在ABC 中，A 3 ，点 D 满足AD 2 3AC ，且对任意 xR R，|xACAB|ADAB| 恒成立，则 cosABC_ 二、 解答题：本大题共
4、6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a1，cos B 3 3 . (1) 若 A 3 ，求 sin C 的值； (2) 若 b 2，求 c 的值 16.(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，APAD，点 M，N 分别 是线段 PD，AC 的中点求证： (1) MN平面 PBC； (2) PCAM. 17. (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a 2y
5、2 b 21(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，椭圆右顶点为 A，点 F2在圆 A：(x2) 2y21 上 (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 点 M 在椭圆 C 上， 且位于第四象限， 点 N 在圆 A 上， 且位于第一象限， 已知AM 13 2 AN ，求直线 F 1M 的斜率 18. (本小题满分 16 分) 请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为 10 2 cm 的正方形硬纸片(如图 1)，切去阴影部分 所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图 2 中的点 P， 正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图 2)，设正四棱锥 PEFGH 的
6、底面边长为 x(cm) (1) 若要求包装盒侧面积 S 不小于 75 cm 2，求 x 的取值范围； (2) 若要求包装盒容积 V(cm 3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的容积 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)(ax 22x)ln xa 2x 21(aR R) (1) 若曲线 yf(x)在 x1 处的切线的斜率为 2，求函数 f(x)的单调区间； (2) 若函数 f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数 a 的取值范围(e 为自然对数的底数， e2.718 28) 20. (本小题满分 16 分) 设 m 为正整数，若两个项数都不小于 m 的数列An，Bn满足
7、：存在正数 L，当 nN N * *且 nm 时，都有|AnBn|L，则称数列An，Bn是“(m，L)接近的”已知无穷等比数列an 满足 8a34a21，无穷数列bn的前 n 项和为 Sn，b11，且S n（bn1bn） bnbn1 1 2，nN N * *. (1) 求数列an通项公式； (2) 求证：对任意正整数 m，数列an，a 2 n1是“(m，1)接近的”； (3) 给定正整数 m(m5)，数列 1 an ，b 2 nk(其中 kR R)是“(m，L)接近的”，求 L 的 最小值，并求出此时的 k(均用 m 表示)(参考数据：ln 20.69) 20202020 届高三模拟考试试卷(
8、五) 数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做， 则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. (选修 4-2：矩阵与变换) 已知点(a，b)在矩阵A A 1 3 2 4 对应的变换作用下得到点(4，6) (1) 写出矩阵A A的逆矩阵； (2) 求 ab 的值 B. (选修 4-4：坐标系与参数方程) 求圆心在极轴上，且过极点与点 P(2 3， 6 )的圆的极坐标方程 C. (选修 4-5：不等式选讲) 求函数 yx2 x6 x1 的最小值 【必做题】 第 2
9、2，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤 22. 批量较大的一批产品中有 30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取 3 个样品，以 X 表示这 3 个样品中优等品的个数 (1) 求取出的 3 个样品中有优等品的概率； (2) 求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E(X) 23. 设集合 A1，2，Ant|tan3 na n13 n1a 13a0，其中 aiA，i 0，1，2，n，nN N * *. (1) 求 A1中所有元素的和，并写出集合 An中元素的个数； (2) 求证：能将集合 An(n2，nN N * *)分成两个没有公共元素的子集
10、 B sb1，b2，b3， bs和 Clc1，c2，c3，cl，s，lN N * *，使得 b2 1b 2 2b 2 sc 2 1c 2 2c 2 l成立 20202020 届高三模拟考试试卷(五)(常州) 数学参考答案及评分标准 1. 1，1 2. 1 3. 10 4. 0，) 5. 2 6. 7 10 7. 1 5 8. 12 9. 64 10. 2 2 11. 2 12. 14 13. 1 17 2 ，0 1，1 17 2 14. 5 13 26 15. 解：(1) 在ABC 中，0B，则 sin B0. 因为 cos B 3 3 ，所以 sin B 1cos 2B 1（ 3 3 ） 2
11、 6 3 .(3 分) 在ABC 中，ABC，所以 sin Csin(AB)sin(AB)，(5 分) 所以 sin Csin( 3 B)sin 3 cos Bcos 3 sin B 3 2 3 3 1 2 6 3 3 6 6 .(8 分) (2) 由余弦定理得 b 2a22accos Bc2，则( 2)212c 3 3 c 2，(10 分) 所以 c 22 3 3 c10，(c 3)(c 3 3 )0.(12 分) 因为 c 3 3 0，所以 c 30，即 c 3.(14 分) 16. 证明：(1) 取 PC，BC 的中点 E，F，连结 ME，EF，FN， 在三角形 PCD 中，点 M，E
12、为 PD，PC 的中点， 所以 EMCD，EM1 2CD. 在三角形 ABC 中，点 F，N 为 BC，AC 的中点， 所以 FNAB，FN1 2AB. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABCD，ABCD， 从而 EMFN，EMFN，所以四边形 EMNF 是平行四边形(4 分) 所以 MNEF，又 EF 平面 PBC，MN平面 PBC，所以 MN平面 PBC.(6 分) (2) 因为 PA平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PACD. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ADCD.(8 分) 因为 PAADA，PA 平面 PAD，AD 平面 PAD，所以 CD平面 PAD. 又 A
13、M 平面 PAD，所以 CDAM.(10 分) 因为 APAD，点 M 为 PD 的中点，所以 AMPD. 因为 PDCDD，PD 平面 PCD，CD 平面 PCD， 所以 AM平面 PCD.(12 分) 又 PC 平面 PCD，所以 PCAM.(14 分) 17. 解：(1) 圆 A：(x2) 2y21 的圆心 A(2，0)，半径 r1，与 x 轴交点坐标为(1， 0)，(3，0) 点 F2在圆 A：(x2) 2y21 上，所以 F 2(1，0)，从而 a2，c1， 所以 b a 2c2 2 212 3，所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 31.(4 分) (2) 由题可设点 M(
14、x1，y1)，0x12，y10，点 N(x2，y2)，x20，y20， 则AM (x 12，y1)，AN (x 22，y2) 由AM 13 2 AN 知，点 A，M，N 共线(5 分) 由题知直线 AM 的斜率存在，可设为 k(k0)，则直线 AM 的方程为 yk(x2) 由 yk（x2）， （x2） 2y21，得 x2 1k 2 1k 2， yk 1k 2 1k 2 或 x2 1k 2 1k 2， yk 1k 2 1k 2， 所以 N(2 1k 2 1k 2，k 1k 2 1k 2)(7 分) 由 yk（x2）， x 2 4 y 2 31， 得(34k 2)x216k2x16k2120，解得
15、 x2， y0 或 x8k 26 34k 2， y12k 34k 2， 所以 M(8k 26 34k 2， 12k 34k 2)(10 分) 代入AM 13 2 AN 得(8k 26 34k 22， 12k 34k 2) 13 2 ( 1k 2 1k 2，k 1k 2 1k 2)， 即(4k 29)(52k251)0，又 k0，解得 k3 2，(13 分) 所以 M(1，3 2)，又 F 1(1，0)，可得直线 F1M 的斜率为 3 2 1（1） 3 4.(14 分) 18. 解：(1) 在图 1 中连结 AC，BD 交于点 O，设 BD 与 FG 交于点 M，在图 2 中连结 OP. 因为
16、ABCD 是边长为 10 2 cm 的正方形，所以 OB10(cm) 由 FGx，得 OMx 2，PMBM10 x 2.(2 分) 因为 PMOM，即 10x 2 x 2，所以 0x10.(4 分) 因为 S41 2FGPM2x(10 x 2)20xx 2，(6 分) 由 20xx 275，得 5x15，所以 5x10. 答：x 的取值范围是 5x10.(8 分) (2) 在 RtOMP 中，因为 OM 2OP2PM2， 所以 OP PM 2OM2 （10x 2） 2（x 2） 2 10010x， V1 3FG 2OP1 3x 2 10010x1 3 100x 410x5，0x10.(10 分
17、) 设 f(x)100x 410x5，0x10，所以 f(x)400x350x450x3(8x) 令 f(x)0，解得 x8 或 x0(舍去)，(12 分) 列表： x (0，8) 8 (8，10) f(x) 0 f(x) 极大值 所以当 x8 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值，(14 分) 所以当 x8 时，V 的最大值为128 5 3 . 答：当 x8 cm 时，包装盒容积 V 最大为128 5 3 (cm 3)(16 分) 19. (1) 函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)(2ax2)ln x(ax 22x)1 xax2(ax1)ln x2ax22(ax1)(ln x
18、1)，(2 分) 则 f(1)2(a1)2，所以 a0.(3 分) 此时 f(x)2xln x1，定义域为(0，)，f(x)2(ln x1)， 令 f(x)0，解得 x1 e；令 f(x)0，解得 x 1 e； 所以函数 f(x)的单调增区间为(1 e，)，单调减区间为(0， 1 e)(6 分) (2) 函数 f(x)(ax 22x)ln xa 2x 21 在区间1，e上的图象是一条不间断的曲线 由(1)知 f(x)2(ax1)(ln x1)， 1) 当 a0 时，对任意 x(1，e)，ax10，ln x10，则 f(x)0，所以函数 f(x)在区间1，e上单调递增，此时对任意 x(1，e)，
19、都有 f(x)f(1)a 210 成立， 从而函数 f(x)在区间(1，e)上无零点；(8 分) 2) 当 a0 时，令 f(x)0，得 x1 e或 1 a，其中 1 e1， 若1 a1，即 a1，则对任意 x(1，e)，f(x)0，所以函数 f(x)在区间1， e上单调递减，由题意得 f(1)a 210，且 f(e)ae 22ea 2e 210， 解得2a 2（2e1） 3e 2，其中 2（2e1） 3e 2(1) 3e 24e2 3e 20，即 2（2e1） 3e 21， 所以 a 的取值范围是2a1；(10 分) 若1 ae，即 1 ea0，则对任意 x(1，e)，f(x)0，所以函数
20、f(x)在区间1， e上单调递增，此时对任意 x(1，e)，都有 f(x)f(1)a 210 成立，从而函数 f(x)在 区间(1，e)上无零点；(12 分) 若 11 ae，即1a 1 e，则对任意 x(1， 1 a)，f(x)0，所以函数 f(x) 在区间1，1 a上单调递增，对任意 x(1， 1 a，都有 f(x)f(1) a 210 成立；(1 分) 对任意 x(1 a，e)，f(x)0，函数 f(x)在区间 1 a，e上单调递减， 由题意得 f(e)ae 22ea 2e 210，解得 a2（2e1） 3e 2， 其中2（2e1） 3e 2(1 e) 3e4e2 3e 2e2 3e 2
21、0，即2（2e1） 3e 2(1 e)， 所以 a 的取值范围是1a2（2e1） 3e 2.(15 分) 综上，实数 a 的取值范围是2a2（2e1） 3e 2.(16 分) 20. 解：(1) 设等比数列an公比为 q，由 8a34a21 得 8a1q 24a 1q1， 解得 a1q1 2，故 a n 1 2 n.(3 分) (2) |an(a 2 n1)| 1 2 n（ 1 4 n1） （1 2 n1 2） 23 4 (1 2 n1 2) 23 4.(5 分) 对任意正整数 m，当 nN N *，且 nm 时，有 01 2 m 1 2 n1 2， 则(1 2 n1 2) 23 4 1 4
22、3 41，即|a n(a 2 n1)|1 成立， 故对任意正整数 m，数列an，a 2 n1是“(m，1)接近的”(8 分) (3) 由S n（bn1bn） bnbn1 1 2，得到 S n(bn1bn)1 2b nbn1，且 bn，bn10， 从而 bn1bn0，于是 Sn bnbn1 2（bn1bn）.(9 分) 当 n1 时，S1 b1b2 2（b2b1），b 11，解得 b22； 当 n2 时，bnSnSn1 bnbn1 2（bn1bn） bn1bn 2（bnbn1），又 b n0， 整理得 bn1bn12bn，所以 bn1bnbnbn1，因此数列bn为等差数列 因为 b11，b22，
23、则数列bn的公差为 1，故 bnn.(11 分) 根据条件，对于给定正整数 m(m5)，当 nN N *且 nm 时，都有 1 an（b 2 nk） |2 n(n2k)|L 成立， 即L2 nn2kL2nn2 对 n1，2，3，m 都成立(12 分) 考查函数 f(x)2 xx2，f(x)2xln 22x，令 g(x)2xln 22x， 则 g(x)2 x(ln 2)22，当 x5 时，g(x)0，所以 g(x)在5，)上是增函数 因为 g(5)2 5ln 2100，所以当 x5 时，g(x)0，则 f(x)0， 所以 f(x)在5，)上是增函数 注意到 f(1)1，f(2)f(4)0，f(3
24、)1，f(5)7， 故当 n1，2，3，m 时，L2 nn2的最大值为L2mm2， L2 nn2的最小值为 L1.(14 分) 欲使满足的实数 k 存在，必有L2 mm2L1，则 L2 mm21 2 ， 因此 L 的最小值2 mm21 2 ，此时 k2 mm21 2 .(16 分) 20202020 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷( (常州常州) ) 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 解：(1) A A 1 2 3 2 11 2 .(4 分) (2) 点(a，b)在矩阵A A 13 24 对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A A a b 4 6
25、，(6 分) 所以 a b A A 1 4 6 2 3 2 11 2 4 6 1 1 ，(8 分) 所以 a1，b1，得 ab2.(10 分) B. 解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2rcos . 因为点 P(2 3， 6 )在圆上，所以 2 32rcos 6 ，解得 r2. 因此所求圆的极坐标方程是 4cos .(10 分) C. 解：函数 yx2 x6 x1 的定义域为0，)， x10.(2 分) x2 x6 x1 （ x1） 24（ x1）9 x1 (x1) 9 x1 42（ x1） 9 x142， 当且仅当 x1 9 x1，即 x4 时取到“”(8 分)
26、 所以当 x4 时，函数 yx2 x6 x1 的最小值为 2.(10 分) 22. 解：(1) 记“取出的 3 个样品中有优等品”为事件 A，则 A 表示“取出的 3 个样品 中没有优等品”，P(A)(10.3) 3 343 1 000，所以 P(A)1P(A)1 343 1 000 657 1 000.(3 分) 答：取出的 3 个样品中有优等品的概率是 657 1 000.(4 分) (2) XB(3，0.3)，P(Xk)C k 30.3 k(10.3)3k，k0，1，2，3，(6 分) 随机变量 X 的分布如表： X 0 1 2 3 P 343 1 000 441 1 000 189 1
27、 000 27 1 000 (8 分) E(X)0 343 1 0001 441 1 0002 189 1 0003 27 1 000 9 10. 答：随机变量 X 的数学期望是 9 10.(10 分) 23. 解：(1) A1t|ta13a0，其中 aiA，i0，14，5，7，8 所以 A1中所有元素的和为 24，集合 An中元素的个数为 2 n1.(2 分) (2) 取 sl2 n.下面用数学归纳法进行证明 当 n2 时，A213，14，16，17，22，23，25，26，(3 分) 取 b113，b217，b323，b425，c114，c216，c322，c426，有 b1b2b3b4c1c2c3c478，且 b 2 1b 2 2b 2 3b 2 4c 2 1c 2 2c 2 3c 2 41 612 成立(4 分) 即当 nk1 时也成立(9 分) 综上可得：能将集合 An，n2 分成两个没有公共元素的子集 Bs b1，b2，b3，bs 和 Clc1，c2，c3，cl，s，lN N *，使得 b2 1b 2 2b 2 sc 2 1c 2 2c 2 l成立(10 分)
