1、湖北省荆门市两校湖北省荆门市两校 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月月考试题月月考试题 理（含解析）理（含解析） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.tan165 ( ) A. 2 3 B. 23 C. 23 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】 根据诱导公式可转化为求解tan15，利用两角和差正切公式求得结果. 【详解】 tan60tan45 tan165tan 18015tan15tan 6045 1tan60 tan45 2 31 31 23 213 本题正确选项：B 【点
2、睛】本题考查利用诱导公式和两角和差正切公式求解三角函数值的问题，考查对于基础 公式的应用. 2.已知集合 1 |0 x Ax x ， |lg(21)Bx yx，则AB ( ) A. 1 0 2 ， B. 1 ,1 2 C. 1 1 2 ， D. 1 ,1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求解出集合A和集合B，根据交集定义求得结果. 【详解】 1 00,1 x Ax x ， 1 lg 21210, 2 Bx yxxx 1 ,1 2 AB 本题正确选项：C 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是能够根据分式不等式运算和对数型函数定 义域的要求求解出两个集合. 3.命题“对任意 2 1
3、,2),0xxa”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A. 4a B. 4a C. 1a D. 1a 【答案】B 【解析】 【分析】 在命题为真命题的情况下求得a的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可. 【详解】命题为真命题，则 2 ax 对1,2x恒成立 4a 4a a 是4a a 的真子集 4a 是命题为真的充分不必要条件 本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分不必要条件的求解问题，关键是明确充分不必要条件与集合包含关系 之间的关系. 4.函数( )sinlnf xxxx在区间 2 ,2 上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，分析函
4、数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x0 时， xsinx+lnx0，分析可得答案 【详解】根据题意，f（x）xsinx+ln|x|，其定义域为x|x0， 有f（x）（x）sin（x）+ln|（x）|xsinx+ln|x|f（x） ，即函数f（x）为偶 函数， 在区间2，0）（0，2上关于y轴对称，排除A、D； 又由x0 时，xsinx+lnx0，排除C； 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析 5.已知R上的单调函数 log,3 ( ) 7,3 a x x f x mxx 满足(2)1f，则实数a的取值范围是（ ） A.
5、3 (0, 3 B. (0,1) C. 3 ,1) 3 D. (1, 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 21f可求得3m ，可知 f x在3x 时单调递减，从而得到 f x在R上单调 递减；根据对数函数单调性和临界点的大小关系可得到不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】 2271fm 3m 当3x 时， f x单调递减 f x为R上的单调函数 01 3 37log 3 a a ，解得： 3 ,1 3 a 本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，关键是明确分段函数在R上 单调需保证在每一段上单调，且在临界点位置大小关系满足单调性，属于常考题型. 6.电
6、流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数 IAsin x (A0,0,0) 2 的图 象如图所示,则当 1 t 100 秒时,电流强度是( ) A. 5A B. 5A C. 5 3A D. 10A 【答案】A 【解析】 由函数最值可得：10A ，函数的最小正周期为： 411 2 30030050 T ， 则 2 100 T ，当 1 300 x 时函数取得最大值， 即： 1 1002 3002 xk ， 则2 6 kkZ ，令0k 可得： 6 ， 函数的解析式为：10sin 100 6 Ix ， 则当 1 100 t 秒时,电流强度是 11 10sin 10010sin105 100662 I
7、A. 本题选择A选项. 点睛：点睛： 已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图 得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： (1)由 2 T 即可求出； 确定时， 若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零 点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图 形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要 求. 7.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种 情况，因此有 361 3 种不同的情况；
8、而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过 这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 52 10000 ，下列 数据最接近 361 52 3 10000 的是 （lg30.477） A. 37 10 B. 36 10 C. 35 10 D. 34 10 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，对 361 52 3 10000 取对数可得 361 36152 52 3 310000361352 435.8 10000 lglglglg ，即可得 361 35.8 52 3 10 10000 ，分 析选项即可得答案 【详解】据题意，对 361 52 3 1000
9、0 取对数可得 361 36152 52 3 310000361352 435.8 10000 lglglglg ，即可得 361 35.8 52 3 10 10000 分析选项：B 中 36 10与其最接近， 故选 B. 【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质 8.如图，四边形OABC是边长为 2 的正方形，曲线段DE所在的曲线方程为1xy ，现向该 正方形内抛掷 1 枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A. 32ln2 4 B. 1 2ln2 4 C. 52ln2 4 D. 12ln2 4 【答案】A 【解析】 根据条件可知， 1 2 2 E， ，阴影部分的面积为
10、2 2 1 1 2 2 111 2d2ln22ln2ln32ln2 22 xxx x ， 所以，豆子落在阴影部分的概率为 32ln2 4 .故选 A. 9. 2 66 2 sin70cos430 ( ) A. 8 B. 8 C. 8 6 D. 4 6 【答案】C 【解析】 【分析】 利用诱导公式将cos430化为cos70，通分后可利用二倍角公式和辅助角公式将所求式子化 为 8 6sin40 sin140 ，由sin40sin140可约分得到结果. 【详解】 26622662266226cos7062sin70 sin70cos430sin70sin70cos70sin70cos70cos36
11、070 13 4 6cos70sin70 4 6sin 307022 8 6sin40 8 6 sin70 cos70sin70 cos70sin140 本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角 公式的应用. 10.已知(2)f x是偶函数， ( )f x在2， 上单调递减，(0)0f，则 (2 3 )0fx 的 解集是 A. 2 ()(2) 3 ， B. 2 (2) 3， C. 22 () 33 ， D. 22 ()() 33 ， 【答案】D 【解析】 【分析】 先由(2)f x是偶函数，得到 ( )f x关于直线 2x 对称；进而得
12、出 ( )f x单调性，再分别讨论 232x和232x，即可求出结果. 【详解】因为(2)f x是偶函数，所以 ( )f x关于直线 2x 对称； 因此，由(0)0f得(4)0f； 又( )f x在 2， 上单调递减，则( )f x在 2,上单调递增； 所以，当232x即0x时，由 (23 )0fx 得 (23 )(4)fxf ，所以234x， 解得 2 3 x ； 当232x即0x 时，由 (23 )0fx 得 (23 )(0)fxf ，所以230x， 解得 2 3 x ； 因此， (23 )0fx 的解集是 22 ()() 33 ，. 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数
13、的奇偶性、对称性、单调性等 性质即可，属于常考题型. 11.已知函数 2 ln2 ,0 3 ,0 2 xxx x f x xx x 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y 对称的 点在( )1g xkx的图像上，则k的取值范围是( ) A. 1 3 ( , ) 3 4 B. 1 3 ( , ) 2 4 C. 1 ( ,1) 3 D. 1 ( ,1) 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对称关系可将问题转化为 f x与1ykx 有且仅有四个不同的交点；利用导数研究 f x的单调性从而得到 f x的图象；由直线1ykx 恒过定点0, 1A，通过数形结 合的方式可确定, ACAB kkk ；利用
14、过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得 AC k和 AB k， 进而得到结果. 【详解】 1g xkx关于直线1y 对称的直线方程为：1ykx 原题等价于 f x与1ykx 有且仅有四个不同的交点 由1ykx 可知，直线恒过点0, 1A 当0x 时， ln1 2ln1fxxx f x在0,e上单调递减；在, e 上单调递增 由此可得 f x图象如下图所示： 其中AB、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为,B C 由图象可知，当, ACAB kkk 时， f x与1ykx 有且仅有四个不同的交点 设,ln2C m mmm，0m ，则 ln21 ln1 0 AC mmm km m ，解得：1m
15、1 AC k 设 2 3 , 2 B n nn ，0n，则 2 3 1 3 2 2 20 AB nn kn n ，解得：1n 31 2 22 AB k 1 1, 2 k ，则 1 ,1 2 k 本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切 线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题， 通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 12.若对任意的1,5x，存在实数a，使 2 26 (,0)xxaxbx aR b恒成立，则实 数b的最大值为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答
16、案】A 【解析】 【分析】 将 不 等 式 化 为 22 26xxaxbxx ， 令 2 215fxxxx ， 2 615g xxxx ， 可在平面直角坐标系中作出两函数图象， 由图象可知若b最大， 则yaxb恒过1,5A且与 f x相切； 联立直线与 f x方程， 利用0 求出切线斜率， 即为a的值，从而求得b的最大值. 【详解】由1,5x时， 2 26xxaxbx 恒成立可得： 22 26xxaxbxx 令 2 215f xxxx ， 2 615g xxxx 可得 f x， g x图象如下图所示： 要使b最大，则yaxb必过1,5A，且与 yf x相切于点B 则此时5ba ，即直线方程为：
17、5yaxa 联立 2 5 2 yaxa yxx 得： 2 250xaxa 2 24 50aa ，解得： 2 16a 由图象可知0a 4a max 549b 本题正确选项：A 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将不等式转化为三个函数之间的位置关系， 通过数形结合的方式找到最大值取得的情况，利用切线的求解方法求得切线斜率，从而得到 所求最值. 二、填空题。二、填空题。 13.在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边作角，角 4 的终边经过点( 2,1)P .则 sin2_ 【答案】 3 5 - 【解析】 【分析】 根据任意角三角函数定义可得 5 sin 45 ；根据sin2cos 2 2
18、 ，利用二倍 角公式即可求得结果. 【详解】由题意得： 5 sin 45 2 13 sin2cos 21 2sin1 2 2455 本题正确结果： 3 5 - 【点睛】本题考查三角恒等变换中的三角函数值的求解问题，涉及到诱导公式的应用、任意 角三角函数的定义、二倍角公式应用等知识. 14.已知tan()7cos() 2 ， 11 cos() 14 ，,(0,) 2 ，则 _ 【答案】 3 【解析】 分析】 利用诱导公式化简可得 1 cos 7 ，根据角所处的范围和同角三角函数关系可求得sin和 sin；根据coscos ，利用两角和差余弦公式可求得cos ，根据 0, 2 可求得结果. 【详解
19、】tan7cos 2 sin tan7sin cos 0, 2 sin0 1 cos 7 ，则 4 3 sin 7 ,0, 2 0,，又 11 cos 14 5 3 sin 14 coscoscoscossinsin 1115 34 31 1471472 0, 2 3 本题正确结果： 3 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式求解角度的问题，涉及到诱导公式的应用、同角三 角函数值的求解、两角和差余弦公式的应用等知识；关键是能够通过构造的方式，将所求角 用已知角表示出来. 15.已知函数 2 ( )lnf xxaxx有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_ 【答案】( 1,0) 【解析】 【分析】
20、 将 f x有两个不同的零点转化为直线1yax 与 ln x g x x 图象有两个不同的交点；利 用导数得到 g x图象，结合直线1yax 过定点0, 1A，利用数形结合可知当 1ykx与 g x相切时，只需0,ak 即可；利用过一点曲线切线斜率的求解方法求出 切线斜率k，从而得到a的范围. 【详解】由题意得： f x的定义域为：0, 由 2 lnf xxaxx有两个不同的零点可知：方程 ln 1 x ax x 有两个不同的解 令 ln x g x x 直线1yax 与 ln x g x x 图象有两个不同的交点 又 2 1 ln x gx x 则当0,xe时， 0gx ；当,xe时， 0g
21、x g x在0,e上单调递增；在, e 上单调递减 又0x时， g x ；x 时， 0g x 可得 g x图象如下图所示： 1yax 恒过点0, 1A 如图所示，当1ykx与 g x相切时，只需0,ak 即可使得直线1yax 与 ln x g x x 图象有两个不同的交点 设切点 0 0 0 ln , x B x x 0 00 2 00 ln 1 1 ln 0 x xx k xx ，解得： 0 1x 1k，即0,1a 当1,0a 时，直线1yax 与 ln x g x x 图象有两个不同的交点 即1,0a 时， 2 lnf xxaxx有两个不同的零点 本题正确结果：1,0 【点睛】本题考查根据
22、函数零点个数求解参数范围的问题，常用方法是将问题转化为直线与 曲线交点个数的问题，通过数形结合的方式来进行求解；关键是能够通过直线恒过定点，确 定临界状态，进而利用过某点切线斜率的求解方法求得临界值. 16.已知函数 ( )f x，对于任意实数 , xa b ，当 0 axb时，记 0 |( )()|f xf x的最大值为 , 0 () a b Dx . 若 2 ( )(1)f xx，则 0,3(2) D_； 若 2 2 ,0, ( ) 21,0, xxx f x xx 则 ,2( 1)a a D 的取值范围是_ 【答案】 (1). 3 (2). 1,4 【解析】 【分析】 根据 0,a b
23、Dx 定义可知 0,3 max 21Df x， 求出0,3x时， 1f x 的取值范围， 从而可得 max 1f x ，即为结果；根据定义将 ,2 1 a a D 化为 max 1f x ；画出 1f x 的图象，根据区间长度为2且1,2a a 可得到临界值为1a 和21a ， 由此可确定取值范围. 【详解】由 21f得： 0,3 max 21Df x，0,3x 2 111f xx 当0,3x时， min 11f x ， max 13f x max 13f x，即 0,3 23D 由题意得：11 21f ,2 max 11 a a Df x ，,2xa a 又 2 2 211,0 1 2111
24、1 ,0 xxxx f x xxx ，可得 1f x 图象如下图所示： 1,2a a 区间长度为2 当1a 时， ,21,1 max 111111 a a DDf xf 当21a 时， ,23, 1 max 111314 a a DDf xf ,2 1 a a D 的取值范围为：1,4 本题正确结果：3；1,4 【点睛】本题考查新定义运算的求解，关键是明确新定义的含义为含绝对值的函数最值的求 解；难点是在区间不确定时，能够根据区间长度确定上下限的情况，从而可具体求解出临界 状态的值. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已
25、知 :p 1 x和 2 x是方程 2 20xmx的两个实根， 不等式 2 12 53aaxx 对任意的 1,1m 恒成立， :q 关于x的方程 2 210axx 的解集有唯一子集， 若 p或q为真，p且 q为假，求实数a的取值范围 【答案】(, 1(1,6) 【解析】 【分析】 当 p为真时，利用韦达定理可求得 12max 3xx，可得 2 533aa ，解不等式求得a的 范围； 当q为真时， 根据方程无解可求得a的范围； 根据复合命题的真假性可知 , p q一真一假； 分别讨论p真q假和p假q真两种情况，从而得到结果. 【详解】 若p为真， 则 12 xxm，1 2 2x x 2 2 121
26、212 48xxxxx xm 当1,1m 时， 2 max 81 83m 2 533aa 解得： , 16,a 若q为真，则方程 2 210axx 的解集为空集，即方程 2 210axx 无实根 当0a 时， 1 2 x ，不合题意 当0a 时，440a 1,a 综上所述：若q为真，则1,a p或q为真，p且q为假 , p q 一真一假 当 p真q假时， , 1a ；当p假q真时，1,6a 综上所述：, 11,6a 【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题；关键是能够利用恒成立问题 的求解方法和由方程根的个数求解参数范围的方法求解出两个命题分别为真时参数的取值范 围. 18.已知
27、函数 44 ( )3sin2cossin1f xxxx (其中01)，若点(,1) 6 是 函数 ( )f x图象的一个对称中心 (1)求 ( )f x的解析式，并求( )f x的最小正周期； (2)将函数( )yf x的图象向左平移 6 个单位， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数( )yg x的图象，用 “五点作图法”作出函数 ( )f x在区间 ,3 上的图象 【答案】(1) ( )2sin() 1 6 f xx ； 2T；(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角和辅助角公式化简得 2sin 21 6 f xx ；利用对称中心坐标，采用 整体对应
28、的方式得到 36 kkZ ，结合01可求得，从而得到函数解析 式， 再根据 2 T 求得最小正周期； （2） 根据三角函数平移变换和伸缩变换原则得到 g x解 析式；列表得到五点作图法所需的点的坐标，依此得到函数图象. 【详解】 （1） 2222 3sin2cossincossin1f xxxxxx 3sin2cos212sin 21 6 xxx ,1 6 是 f x的一个对称中心 36 kkZ 1 3 2 k ，kZ 又01 1 2 2sin1 6 f xx ，则 f x最小正周期2T （2）由（1）知， f x向左平移 6 个单位得：2sin1 3 yx 横坐标伸长为原来的2倍得： 1 2
29、sin1 23 g xx 当,3x 时，列表如下： 1 23 x 6 0 2 3 2 11 6 x 2 3 3 4 3 7 3 3 f x 0 1 3 1 1 0 则 f x在,3上的图象如下图所示： 【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、五点作图法的应用，涉及到二倍角公 式和辅助角公式化简三角函数、三角函数的平移变换和伸缩变换、根据三角函数对称性求解 函数解析式等知识；关键是能够灵活应用整体对应的方式来进行求解. 19.某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件） 之间近似满足关系式： 2 (1)() 2 ktx b p ，其中k、b均为常数.当关
30、税税率为75%时，若市场 价格为 5 千元，则市场供应量约为 1 万件；当关税税率为75%时，若市场价格为 7 千元，则 市场供应量约为 2 万件. （1）试确定k、b的值； （2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：2 x q .当p q 时，市场 价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最大值. 【答案】 （1）1,5kb.（2）当市场平衡价格为 4 千元时，关税税率的最大值为 500. 【解析】 【分析】 （1）根据“关系式：p=2 （1kt） （xb）2，及市场价格为 5 千元，则市场供应量均为 1 万件；市场 价格为 7 千元，则市场
31、供应量约为 2 万件”，可得到 2 2 1 0.75(5) 1 0.75(7) 12 22 kb kb 从而求得结果； （2） 当 p=q 时， 可得 2 （1t） （x5）2=2x， 可求得 t=1+ 2 5 x x =1+ 1 25 10x x ， 由 f （x） =x+ 25 x 在（0，4上单调递减，可知当 x=4 时，f（x）有最小值 【详解】 （1）由已知得，若75%t ， 当5x 时，1p ，当7x 时，2p 所以有 2 2 1 0.755 1 0.757 12 22 kb kb ， 解得1,5kb. （2）由于1,5kb，则 215 2 tx p ， 当p=q时， 215 22
32、 txx ,所以 2 15txx ， 所以 2 1 5 x t x ，0,4x， 设 12 04xx， 则 12 12 22 12 11 55 xx tt xx = 12 22 12 55 xx xx = 22 1221 22 12 55 55 xxxx xx = 22 122211 22 12 10251025 55 xxxxxx xx = 1212 22 12 25 55 xxx x xx ， 由于 12 04xx， 则 12 0xx， 22 12 550xx， 12 16x x ， 所以 12 250x x，所以 12 tt， 所以 2 1 5 x t x 在区间0,4上是增函数， 所以
33、当4x 时， 2 1 5 x t x 取得最大值，为 5, 即当市场平衡价格为 4 千元时，关税税率的最大值为 500. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法 20.已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点， 过点A 的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D (1)若当点A的横坐标为3，且ADF为等边三角形，求C的方程； (2)对于(1)中求出的抛物线C，若点 00 1 (,0)() 2 D xx ，记点B关于x轴的对称点为E，AE 交x轴于点P，且APBP，求证：点P的坐标为 0 (,0)x，并求点P到直线
34、AB的距离d 的取值范围 【答案】(1) 2 4yx； (2)证明见解析， 6 ,2) 3 d 【解析】 【分析】 （1）由抛物线焦半径公式知3 2 p AF ，根据等边三角形特点可知DFAF，从而得到 D点坐标；利用中点坐标公式求得DF中点 63 ,0 4 p M ；根据AMDF可构造方程求 得 p，从而得到所求方程； （2）设直线 AB的方程为： 0 0xmyxm， 11 ,A x y， 22 ,B xy，将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；利用,A E P三点共线，根 据向量共线坐标表示可得 12 4 P y y x ， 代入韦达定理整理得到P点坐标； 利用EPB为等腰直 角三
35、角形可求得1 AP k，从而构造出方程求得 12 4yy，根据韦达定理的形式可确定 0 x的 取值范围；利用点到直线距离公式可将问题转化为关于 0 x的函数值域的求解问题；利用函数 单调性求得所求的范围即可. 【详解】 （1）由题意知：,0 2 p F ，3 2 p AF ADF等边三角形 3 2 p DFAF 3,0Dp DF中点为： 63 ,0 4 p M 由ADF为等边三角形知：AMDF，即AMx轴 63 3 4 p ，解得：2p C的方程为： 2 4yx （2）设直线AB的方程为： 0 0xmyxm， 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 22 ,E xy 由 2 0 4yx x
36、myx 得： 2 0 440ymyx 0 1 2 x 2 0 16160mx 12 120 4 4 yym y yx 设,0 P P x，则 22 , P PExxy， 11 , P PAxxy ,A E P三点共线 2121 0 PP xxyyxx 即 22 1212 2112 211212 44 P y yyyy yy y x yx yyyx 12 0yy 012 0 4 44 P xy y xx 0,0 Px EPB为等腰直角三角形 1 AP k 即 12 1212 22 121212 12 4 1 1 4 yyyyyy xxyyyy yy 12 4yy 2 2 12120 416161
37、6yyy ymx，可得： 2 0 1mx 2 0m 0 1x，又 0 1 2 x 0 1 ,1 2 x 0 00 22 0 22 2 11 P xxxx d x mm 令 0 2xt， 6 1, 2 t ，则 2 0 2xt 2 424 2 t dt tt 4 2yt t 在 6 1, 2 上单调递减 6 ,2 3 d 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用的问题，涉及到抛物线方程的求解、点到直线距离 公式的应用、抛物线中取值范围类问题的求解等知识；求解取值范围类问题的常用方法是利 用变量表示出所求量，将问题转化为函数值域的求解问题；本题易错点是缺少对于 0 x范围的 求解，造成取值范围缺少上限
38、. 21.已知函数 2 1 ( )(1)2, 2 x f xxeaxax aR. (1)讨论 ( )f x极值点 个数； (2)若 00 (2)x x 是( )f x的一个极值点，且 -2 ( 2)ef ，证明: 0 ()1f x. 【答案】(1) 当 2 ae 时， f x无极值点；当0a 时， f x有1个极值点；当 2 ae 或 2 0ea 时， f x有2个极值点；(2)证明见解析 【解析】 分析】 （1）求导得到 2 x fxxea；分别在0a 、 2 ae 、 2 ae 和 2 0ea 四 种情况下根据 fx 的符号确定 f x的单调性， 根据极值点定义得到每种情况下极值点的个 数
39、； （2）由（1）的结论和 2 2fe可求得 2 ,ae ，从而得到 0 lnxa，代入 函数解析式可得 0 fx；令 ln2,ta 可将 0 fx化为关于t的函数 g t，利用 导数可求得 g t的单调性，从而得到 1g t ，进而得到结论. 【详解】 （1） 222 xx fxxeaxaxea 当0a 时，0 x ea 当, 2x 时， 0fx；当2,x 时， 0fx f x在, 2 上单调递减；在2,上单调递增 2x 为 f x的唯一极小值点，无极大值点，即此时 f x极值点个数为：1个 当0a 时，令 0fx ，解得： 1 2x ， 2 lnxa 当 2 ae 时， 12 xx 1 ,xx 和 2, x 时， 0fx； 12 ,xx x时， 0fx f x在 1 ,x， 2, x 上单调递增；在 12 ,x x上单调递减 1 xx为 f x的极大值点， 2 xx为 f x的极小值点，即 f x极值点个数为：2个 当 2 ae 时， 12 xx，此时 0fx恒成立且不恒为0 f x在R上单调递增，无极值点，即 f x极值点个数为：0个
